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1.椭圆C:1,若直线l:ykxm与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左,右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.(1)解由e,得a2c,a2b2c2,b23c2,则椭圆方程变为1.又由题意知,解得c1,故a24,b23,即得椭圆的标准方程为1.(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(34k2)x28mkx4(m23)0,则又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.椭圆的右顶点为A2(2,0),AA2BA2,(x12)(x22)y1y20,y1y2x1x22(x1x2)40,40,7m216mk4k20,解得m12k,m2,由,得34k2m20,当m12k时,l的方程为yk(x2),直线过定点(2,0),与已知矛盾.当m2时,l的方程为yk,直线过定点,且满足,直线l过定点,定点坐标为.2.已知抛物线的焦点为,为上异于原点的任意一点,过点的直线交轴的正半轴于点,且有.若直线,且和有且只有一个公共点,证明直线过定点,并求出定点坐标.解: ,设,。因为,则,由得,故。故直线的斜率,因为直线和直线平行,设直线的方程为,代入抛物线方程得,由题意,得。设,则,。当时,可得直线的方程为,由,整理可得,直线恒过点,当时,直线的方程为,过点,所以直线过定点.3.已知抛物线 ,为直线上的两点,两点的纵坐标之积为,为抛物线上一动点,分别交抛物线于两点.问直线是否过定点,若过定点,请求出此定点;若不过定点,请说明理由.解:设、,直线方程为.由得,则.由直线的斜率,则:,即,又
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