高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课后习题新人教A版.docx

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、A组1.已知a=(-4,3),b=(1,2),则a2-(a-b)b=() A.8B.3+C.28D.32解析:a2-(a-b)b=a2-ab+b2=25-(-4+6)+5=28.答案:C2.若a=(3,4),则与a共线的单位向量是()A.(3,4)B.C.D.(1,1)解析:与a共线的单位向量是=(3,4),即与a共线的单位向量是.答案:C3.已知a=(1,2),b=(-2,m),若ab,则|2a+3b|等于()A.B.4C.3D.2解析:ab,m=-4,b=(-2,-4).2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).|2a+3b|=4.答案:B4.(2016广东深圳南山期末)已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka-2b与a垂直,则实数k的值为()A.-1B.1C.2D.-2解析:向量a=(1,1),b=(2,-3),ka-2b=k(1,1)-2(2,-3)=(k-4,k+6).ka-2b与a垂直,(ka-2b)a=k-4+k+6=0,解得k=-1.故选A.答案:A5.已知a=(1,),b=(x,2),且b在a方向上的投影为2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:b在a方向上的投影为2,则=2,=2,解得x=-2,b=(-2,2).设a,b的夹角为,则cos =.0,=.答案:D6.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),ab=2,则|a|=.解析:a=(1,n),b=(-1,n),ab=2,-1+n2=2,n2=3.|a|2=1+n2=4,|a|=2.答案:27.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45,则y=.解析:ab=-1+3y,|a|=,|b|=,a与b的夹角为45,cos 45=.解得y=2或y=-(舍去).答案:28.在ABC中,C=90,=(k,1),=(2,3),则k的值是.解析:C=90,=0.又=(2-k,2),2(2-k)+6=0,k=5.答案:59.在平面直角坐标系内,已知三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求:(1)的坐标;(2)|的值;(3)cosBAC的值.解:(1)=(0,1)-(1,0)=(-1,1),=(2,5)-(1,0)=(1,5).(2)因为=(-1,1)-(1,5)=(-2,-4),所以|=2.(3)因为=(-1,1)(1,5)=4,|=,|=,所以cosBAC=.10.导学号08720071已知向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xR).(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|a-b|.解:(1)因为ab,所以ab=0,即(1,x)(2x+3,-x)=0.所以x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1.(2)因为ab,所以1(-x)-(2x+3)x=0,即x2+2x=0,所以x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),a-b=(-2,0),所以|a-b|=2;当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),所以|a-b|=2.二、B组1.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于()A.4B.-4C.2D.-2解析:如图所示,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2).故=(1,2)(0,2)=0+4=4.答案:A2.已知向量a=(2,0),|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.30B.60C.120D.150解析:|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+4ab+4=12,ab=1.设a与b的夹角为,则cos =,又0180,=60.答案:B3.设a=(2,3),a在b方向上的投影为3,b在x轴上的投影为1,则b=()A.B.C.D.解析:由b在x轴上的投影为1,设b=(1,y).a在b方向上的投影为3,=3,解得y=,则b=.故选A.答案:A4.已知向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(ab)b,则|c|=.解析:a=(2,4),b=(-1,2),ab=-2+8=6.c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8).|c|=8.答案:85.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab=,则b=.解析:设b=(x,y).|b|=1,x2+y2=1.ab=x+y=,x2+(1-x)2=1.4x2-6x+2=0.2x2-3x+1=0.x1=1,x2=,y1=0,y2=.(1,0)是与x轴平行的向量,b=.答案:6.已知a=(,-1),b=,且存在实数k和t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy,试求的最小值.解:a=(,-1),b=,ab=-1=0.|a|=2,|b|=1,ab=0,ab.xy,a+(t2-3)b(-ka+tb)=0,即-ka2+(t3-3t)b2+(t-t2k+3k)ab=0.k=.(t2+4t-3)=(t+2)2-.故当t=-2时,有最小值-.7.导学号08720072平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),点Q为直线OP上的一个动点.(1)当取最小值时,求的坐标;(2)当点Q满足(1)的条件和结论时,求cosAQB的值.解:(1)设=(x,y).点Q在直线上,向量共线.又=(2,1),x=2y,=(2y,y).又=(1-2y,7-y),=(5-2y,1-