高中数学第三章数系的扩展与复数的引入3.1.2复数的几何意义学案含解析.docx

31.2复数的几何意义复数的几何意义平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的关系是一一对应的，即平面直角坐标系内的任一点对应着一对有序实数；任一对有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一的点与它对应问题1：复数zabi(a，bR)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？提示：一一对应问题2：有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？提示：一一对应问题3：复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？提示：由问题1、问题2可知能一一对应1复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR)对应平面向量内的点Z(a，b)；(2)复数zabi(a，bR) 平面向量(a，b)3复数的模复数zabi(a，bR)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|或|abi|，且|z|.探究复数的几何意义根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数zabi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用如下图表示：复数zabi(a，bR)对应点的坐标不是(a，bi)，而是(a，b)，做题时要注意这一点复数与复平面内点的一一对应实数x取什么值时，复平面内表示复数zx2x6(x22x15)i的点Z：(1)位于第三象限？(2)位于第四象限？(3)位于直线xy30上？因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足即3x2时，点Z位于第三象限(2)当实数x满足即2x5时，点Z位于第四象限(3)当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即3x60，x2时，点Z位于直线xy30上探究复数z对应复平面内的点的位置如果Z是复平面内表示复数zabi(a，bR)的点，则(1)当a0，b0时，点Z位于第一象限；当a0，b0时，点Z位于第二象限；当a0，b0时，点Z位于第三象限；当a0，b0时，点Z位于第四象限(2)当a0时，点Z在虚轴上；当b0时，点Z在实轴上(3)当b0时，点Z位于实轴上面的半平面内；当b0时，点Z位于实轴下面的半平面内在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i(mR)的对应点：(1)在虚轴上，求复数z；(2)在实轴负半轴上，求复数z.解：(1)若复数z对应点在虚轴上，则m2m20，所以m1，或m2，此时，z6i或z0.(2)若复数z对应点在实轴负半轴上，则解得m1，所以z2.复数与平面向量的一一对应(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量对应的复数是()A55iB55iC55i D55i(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2i，12i.求向量，对应的复数；判定ABC的形状(1)选B向量，对应的复数分别为23i，32i，根据复数的几何意义，可得向量(2，3)，(3,2)由向量减法的坐标运算可得向量(23，32)(5，5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是55i.(2)由复数的几何意义知：(1,0)，(2,1)，(1,2)，(1,1)，(2,2)，(3,1)，对应的复数分别为1i，22i，3i.|，|2，|，|2|2|2，ABC是以BC为斜边的直角三角形 复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数为2i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数；(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数解：(1)设向量OB对应的复数为z1x1y1i(x1，y1R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2,1)根据对称性可知x12，y11，故z12i.(2)设点C对应的复数为z2x2y2i(x2，y2R)，则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知x22，y21，故z22i.复数模的计算求复数z168i及z2i的模，并比较它们的模的大小z168i，z2i，|z1|10，|z2| .10，|z1|z2|.复数模的计算方法计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围解：z3ai(aR)，|z|，由已知得 4，a27，即a，a(，).设zC，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)|z|2；(2)2|z|3.(1)因为|z|2，即|2，所以满足|z|2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图.(2)不等式2|z|3可化为不等式组不等式|z|2的解集是圆|z|2外部所有的点组成的集合，不等式|z|3的解集是圆|z|3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集因此，满足条件2|z|3的点Z的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图.解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决要注意掌握复数模的几何意义常与轨迹、最值等问题相结合命题1满足条件|zi|34i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是_解析：由已知得|zi|5，令zxyi(x，yR)，则|x(y1)i|5，x2(y1)225，复数z在复平面上对应点的轨迹是圆答案：圆2已知z12(1i)，且|z|1，则|zz1|的最大值为_解析：|z|1，即|1，所以满足|z|1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆又因为复数z12(1i)在坐标系内对应的点为(2，2)，故|zz1|的最大值为点Z1(2，2)到圆上的点的最大距离，即|zz1|的最大值为21.答案：211(全国甲卷)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3,1)B(1,3)C(1，) D(，3)解析：选A由题意知即3m1.故实数m的取值范围为(3,1)2在复平面内，复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，则()Aa0或a2 Ba0Ca1且a2 Da1或a2解析：选A复数z(a22a)(a2a2)i对应的点在虚轴上，a22a0，a0或a2.3若复数z135i，z21i，z32ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数_.解析：复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，5)，P2(1，1)，P3(2，a)，由已知可得，从而可得a5.答案：54已知34ixyi(x，yR)，则|15i|，|xyi|，|y2i|的大小关系为_解析：由34ixyi(x，yR)，得x3，y4，而|15i|，|xyi|34i|5，|y2i|42i|.5，|y2i|xyi|15i|.答案：|y2i|xyi|15i|5在复平面内画出复数z1i，z21，z3i对应的向量，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(1,0)，则向量，如图所示|z1|1，|z2|1|1，|z3|1.如上图，在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上 一、选择题1设zabi对应的点在虚轴右侧，则()Aa0，b0Ba0，b0Cb0，aR Da0，bR解析：选D复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数2已知复数zabi(i为虚数单位)，集合A，B.若a，bAB，则|z|等于()A1 B.C2 D4解析：选B因为AB，所以a，b，所以|z|.3在复平面内，O为原点，向量对应的复数为12i，若点A关于直线yx的对称点为点B，则向量对应的复数为()A2i B2iC12i D12i解析：选B因为复数12i对应的点为A(1,2)，点A关于直线yx的对称点为B(2,1)，所以对应的复数为2i.4当m1时，复数z(3m2)(m1)i在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D由m0，解得m2或0m2.(