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1.5 正弦函数的图像与性质知识梳理1.任意角的正弦函数(1)单位圆:圆心在原点O,半径等于1的圆称为单位圆.(2)定义如图1-4-1所示,单位圆与角的终边交于P点.设P(a,b),则P点纵坐标b是角的函数,称为正弦函数,记为b=sin(R).通常用x、y表示自变量和因变量,将正弦函数表示为y=sinx(xR).图1-4-1(3)正弦线如图1-4-1所示,过点P作x轴的垂线PM,垂足为M.单位圆中的有向线段MP叫做角的正弦线.当角的终边在x轴上时,M与P重合,此时正弦线变成一个点.(4)正弦线所表示的正弦值可如下确定:正弦线的方向是表示正弦值的符号,同y轴一致,向上为正,向下为负;正弦线的长度是正弦值的绝对值.(5)正弦函数定义的推广如图1-4-2所示,设P(x,y)是的终边上任意一点,图1-4-2P到原点的距离|OP|r,有r=,则sin.对于每一个确定的角,总有唯一确定的正弦值与之对应,所以这个对应法则是以角为自变量的函数,叫做正弦函数.正弦函数值与点P在角终边上的位置无关,只依赖于角的大小.2.周期函数一般地,对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期,今后提到的三角函数的周期,如没特别指明,一般都是指它的最小正周期.3.任意角的正弦值的符号(1)图形表示:各象限正弦函数符号,如图1-4-3所示.图1-4-3(2)表格表示.的终边sinx非负半轴0第一象限+y非负半轴+第二象限+x非正半轴0第三象限-y非正半轴-第四象限-4.正弦函数的图像和性质(1)图像:如图1-4-4所示.图1-4-4(2)性质.函数性质y=sinx定义域R值域-1,1当x=2k+ (kZ)时,y取最大值1;当x=2k- (kZ)时,y取最小值-1周期2奇偶性奇函数单调性增区间-+2k, +2k(kZ)减区间-+2k, +2k(kZ)5.诱导公式x-+2-2k+(kZ)sinx-sinsin-sin-sinsin知识导学1.复习初中学过的锐角的正弦函数,本节是锐角的正弦函数的补充和延伸.2.任意角的正弦值的符号记忆口诀:“上正下负”.其含义是终边在x轴上方的任意角正弦值为正,在x轴下方的任意角正弦值为负.3.诱导公式的记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”.其
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