数学与艺术.ppt

0.618 数学是一门艺术，如果你和它交上了朋友， 你就会懂得，你再也离不开它。 爱因斯坦 我向你推荐一个人，他精通音乐与数学。 由他用这些科学来教育女士们，那么女 士们将个个成为世界名人。 莎士比亚 数学当做一门艺术来看时最近似与绘画，二者 在两种目标间维持这一种张力。在绘画中，既 要表达可见世界的形状与色彩，又要在两种一 块二维的画布上构造出赏析悦目的图案；在数 学中，既要研究自然的规律，又要编制出优美 的模式。 拉克斯 数学与音乐的联系可以说是源远流长的。在 古时候，音乐可以说是数学的一部分或说是是数 学的一个分支。 古希腊的毕达哥拉斯与他的弟子们都认真研究过音乐 ，他们发现，单弦音质的变化与单弦弦长之间存在比 例关系：两根绷得很紧的弦，若一根是另一根的两倍， 就产生谐音，而且两个音正好差八度。若两弦长之比 为3:2，则产生另一种谐音，此时短弦发出的声音比 长弦发出的声音高五度。事实上，产生美一种谐音的 各弦的长度都成正整数比，既音乐现象可以用数学得 到解释。 毕达哥拉斯学派关于邪淫的研究对于其核心观念 万物皆数的形成起到了十分重要的作用。毕达哥 拉斯八一越解释为宇宙的普 遍和谐，认为这种美丽旋律不过是数学美的一种体 现。 欧几里得也有过音乐方面的著作，研究过谐音的配 合，制定过音阶。 我国明代数学家朱载堉在一个八度音程内算出了十二 音程值相等的半音，创造了“十二平均值”，成为音乐的 基本理论。 文艺复兴时期，希腊文化的这种精神在欧洲传播。 卡迪尔作为卓越的数学家，哲学家，他有一部著作 名为音乐概论。 莱布尼兹认为音乐是一种无意识的数学运算，这更直接 的把数学与音乐联系起来，从某种意义上讲，这也是后 来出现的用数学结构思想分析音乐的的思想先驱。 数学与绘画 维纳斯诞生图 创作者: 波提切利 Botticelli 画面上人物的体态和衣纹表现十分出 色，人物与自然背景也达到巧妙的统 一和谐，维纳斯是那样无动于衷地以 羞怯和幽怨的感情在对待一切，她对 于生活的未来不是充满乐观的信心， 而是感到惆怅和迷惑，这也是波提切 利矛盾的世界观的反应。此画中的维 纳斯形象，虽然仿效希腊古典雕像， 但风格全属创新，强调了秀美与清纯 ，同时也具有含蓄之美。 最 后 的 晚 餐 达芬奇 这幅画中画家把耶稣安排在既是画面中心， 又是视觉中心的位置，用背景中大门的透光，更 加清楚地衬托出耶稣的形象，餐桌、墙壁门窗和 天花板的处理取平行透视，都集中地消失在基督 的形象上，这一切很自然地把观众的视线首先吸 引到基督身上。并且有意识地把两侧的门徒和耶 稣分开，初看耶稣似乎很孤立，实际上内在情绪 和感情以及整个事件都把他们紧密联系在一起。 十二个门徒三人一组平均分配在两边，以其各自 的动作和表情与基督发生联系和呼应，整个环境 和道具的处理比较简单，为的是更加突出激动的 人物，再通过这些人物的动作和表情将整个画面 的中心引向基督。 林荫道 林荫道 这件作品是荷兰著名的现实主义画家，杰出的风 景画画家霍贝玛的著名作品。作品描绘的是美丽 的乡间田野风光。虽然作品上的景色看似平淡， 但却非常的耐人寻味，能让欣赏者心旷神怡。对 称的小树于平稳中见动感，随小道向前远望还能 看到左旁的教堂尖顶，右旁两幢高顶茅屋，车辙 印在泥泞的村道上，表现出一种正在延续着的平 静而艰难的生活，占有大部分画面的天空则云蒸 霞蔚，美得令人陶醉。这幅画中还带着一种忧伤 的讽刺意味，长长的林荫大道在灰暗的地平线处 消失到一点，画中这种忧伤的讽喻也是霍贝玛现 实生活的真实反映。 雅典学院 霍贝玛 两千年以来，人们一直用欧几里得的对象和概 念（诸如点、线、面、空间、三角形、正方形、圆 等）来描述我们这个生存的世界。进入20世纪 以来，人们常常发现自然界许多随机现象已经很难 用欧式几何来描述了。如对植物形态的描述，对晶 体裂痕的研究，还有对海岸线、山脉、星系分布、 运毒聚合物、大脑皮层褶皱、肺部支气管分布及血 液微循环管道等。我们需要新的数学方法分形 几何。 分形【fractal】一词源于拉丁文形容词fractus，对 应的拉丁文动词是frangere(破碎、产生无规则碎片 ），意是不规则的、破碎的、分数的。芒德勃罗 是想用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学派 所不能描述的一大类复杂无规则对象。 例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平 的山脉、粗糙不平的断面、变幻无常的 浮云、九曲回肠的河流、纵横交错的血管、 令人眼花缭乱的满天繁星等，它们的特 点是极不规则或极不光滑，直观而粗糙 地说，这些对象都是分形。 下面我们介绍几个典型的分形图形及分 形艺术。 例1 芒德勃罗集（简称M集） 芒德勃罗集是于1980 年发现的。它被公认为 迄今为止发现的最复杂 的形状，是人类有史以 来最奇异最瑰丽的几何 图形。它是由一个主要 的心形图与一系列大小 不一的突起圆盘“芽苞” 连在一起构成的。 由其局 部放大图可看出，有的 地方像日冕，有的地方 像燃烧的火焰， 那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆棘 ，上面挂着鳞茎状下垂的微笑颗粒，仿佛是葡萄藤 上熟透的累累硕果，它的每一个局部都可以演绎出 美丽的梦幻般仙境的图案。它们像漩涡、海马、发 芽的仙人掌、繁星、斑点乃至宇宙的闪电。因为不 管你把它的局部放大多少倍，都能显示出更加复杂 与令人伤心悦目的新局部，这些局部既与整体表现 出不同，又有某种相似的地方，好像梦幻般的图案 具有无穷无尽的细节和自相似性。而这种放大可以 无限地进行下去，使你感到这座具有无穷层次结构 的雄伟建筑的每一个角落都存在着无限嵌套的迷宫 和回廊，催生起你无穷探究的欲望。难怪芒德勃罗 自己称M集为“魔鬼的聚合物”。 例二 美丽的四季与自然图集 春 夏 秋 冬 可以看出，在分形的图形 中蕴含着无穷的嵌套结构，这种结 构嵌套性带来了画面极大的丰富性， 仿佛里面蕴藏着无穷的创造力，使欣 赏者不能轻而易举一览无余地看出里 面的所有内涵。正如法国印象派大师 雷诺所说的“一览无余则不成艺术”。 因而，可以说，分形图形是一种深 层次的艺术。 镶嵌画历史悠久，最早见于公元前4000余年的 美索不达米亚，苏美尔人是这种艺术的始祖。镶嵌 画以其色 彩的真实性和永久性，制作的多样性以 及题材的广泛性 而得以在世界上绵延流传。公元1 4世纪，镶嵌画得到 很大的发展，色彩技巧日臻 完善，当时罗马人对它十分 推崇。在美术史上， 罗马以及中世纪东罗马时期的镶嵌 画无论在数量 上或质量上都名列前茅。如意大利庞培城 出土的 伊苏之战、拜占庭时期君士坦丁堡的圣索菲 亚教堂中的佐伊皇帝像等许多镶嵌画，都是这个时 期的 艺术珍品，在历史上产生过深远的影响。随 着罗马人的 足迹，镶嵌画传入其他地方，各国艺 术家都以各自的民 族风格，发展了这一 艺术。镶嵌画在现代世界艺术中日 益占有重要地位。墨西哥、苏联和民 主德国等国家的镶 嵌画以其规模的宏 大和新颖的技艺而著称，由平面镶嵌 发展到在高低浮雕上再加镶嵌，丰富 了镶嵌艺术的表现 形式。 圆的极限 彩色木板画圆的极 限中，各系列的所有 点都有相同的颜色，并 且沿着一条从一边到另 一边的圆形是多线首尾 相连游动的。离中心越 近，它们变化越大。为 了使每一行都与周围 形成完全对比，需要四种颜色。当所有这些成串 的鱼像来自无穷远距离的火箭从边界射出，并再 次落回到它射出的地方时，没有单个的鱼能到达 边缘。因为边界是“绝对的虚无”。然而，如果没 有周围的空虚，这个圆形的世界也就不存在。这 实际上就是一个双曲线空间。 瀑 布 瀑布是埃舍尔依据数 学家彭罗斯（R.Penrose） 的不现实的三角形原理，将 两个正常三角形以非正常方 式连接在一起，组成了不现 实的瀑布水流。这种不合情 理的结构亦见于埃舍尔的其 他作品中。埃舍尔的作品初 看起来没有什么奇怪的地方 ，但其实 当中蕴藏的幻觉 事物是最引人入胜的，埃舍尔虚构的景象，现实世 界是找不到的。瀑布的流水川流不息，从各个 局部看，水在不断下流，可是水柱又回到了起点， 违反了物理学原理。 埃舍尔作品特点： 1.许多作品源与数学 、悖论、幻觉和双重意义。 2.埃舍尔利用非欧几何与拓扑模型创造了许多美丽 的双曲线空间的作品。 3.透视与摄影几何、错觉与不可能图形成为埃