射影直线和射影平面.ppt

第二章 射影平面,本章地位,学习平面射影几何的基础,本章内容,在欧氏几何的基础上，本章添加无穷远元素的方法来定义射影平面，引入齐次坐标，学习对偶原则,附带一个重要定理,Desargues透视定理,学习要求,认真思考，牢固掌握基本概念，排除传统习惯干扰,中心投影,无穷远元素,齐次坐标,对偶原则,Desargues定理,齐次点坐标,复元素,齐次线坐标,主要内容：,附带内容：,第一节 射影直线和射影平面,2. 1. 1 中心射影, 2.1. 2 无穷远元素,2. 1. 3 一维、二维射影空间,2. 1. 4 图形的射影性质, 2.1.1 中心投影,定义2.1,OP 投射线,P l 上的点P在l上的像,P l 上的点P 在l上的像,一、平面上两直线间的中心射影,OV 与l不相交， V 为l上的影消点,影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个双射 (一一对应)。,X=ll 自对应点(不变点),OU与l 不相交， U 为l上的 影消点,三个特殊的点：,因此 ，1: l l 是 l 到 l 的中心射影,OP 投射线,二、平面到平面的中心射影,定义2.2,P 上的点P 在上的像,P 上的点P在上的像,因此 ，,是 到的中心射影,三条特殊的直线：,自对应直线(不变直线),u为由影消点构成的影消线,v 为由影消点构成 的影消线,注：影消线的存在，导致两平面间的中心射影不是一个 双射（一一对应)。,中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线,存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点， 平行的平面没有交线。,如何使得中心射影成为一个双射(一一对应)？,给平行线添加交点！,例：求一个中心射影将任意一个三角形射影成等腰三角形。,解：,目标：,改造空间，使得中心射影成为双射,途径：,给平行直线添加交点,要求：,不破坏下列两个基本关系,两条相异直线确定唯一一个点(交点),两个相异点确定唯一一条直线(连线),点与直线的关联关系, 2.1.2 无穷远元素,一、无穷远点,为区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(普通点)，,(2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同,约定一：,(1) 平面内在每一条直线上添加唯一一个点，,此点不是该直线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，,记作P,不平行的直线上添加的无穷远点不同.,注：,1）无穷远点实际上是二维空间中平行直线的交点。,记作P,2）由于平面内有无数多组平行线，因此一个平面内有无数 多个无穷远点。,例：一条直线和它的平行平面相交于一个无穷远点。,证明：,如图，,二、无穷远直线,区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l,约定二：,按约定一的(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全,体无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，,记作l,无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线,注：,即 空间中任意一组平行平面交于一条无穷远直线。,推导：,理解约定一,1、对于平面上每一方向，有唯一无穷远点. 平行的直线交,2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.,3、平面上添加的无穷远点个数过一个通常点的直线数.,4、不平行的直线上的无穷远点不同.,于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.,总结：,线的关联关系，同时使得中心射影成为双射（一一对应）.,在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直,两直线,平 行,不平行,交于唯一,无穷远点,有穷远点,平面上任二直线总相交,5、空间中每一组平行直线交于唯一无穷远点.,6、任一直线与其平行平面交于唯一无穷远点.,因而，对于通常直线：,理解约定二,1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为,2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直,3、每一平面上有且仅有一条无穷远直线.,4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；,无穷远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.,线上的无穷远点.,过同一条无穷远直线的平面相互平行。,两平面,平 行,不平行,交于唯一,无穷远直线,有穷远直线,空间中任二平面必相交于唯一直线,因而，对于通常平面：,定义2.3,添加无穷远直线后的平面称为仿射平面;,在仿射直线上不区分有穷远点和无穷远点，则这条直线称,添加无穷远点后的欧氏直线统称为仿射直线；,一、射影直线和射影平面的定义,若在仿射平面上不区分有穷远线和无穷远线，则这个平面,称为射影平面（拓广平面）, 2.1.3 射影直线和射影平面,为射影直线(拓广直线）.,(1) 拓广直线的封闭性,拓广直线：向两方前进最终都到达同,二、射影直线、射影平面的基本性质及模型,欧氏直线：向两个方向无限伸展,1、射影直线(拓广直线),定理2.1,(1) 两个相异的拓广点确定唯一一条拓广直线；,在拓广平面上, 点与直线的关联关系成立：,(2) 两条相异的拓广直线确定唯一一个拓广点.,一个无穷远点,(2) 射影直线在欧氏平面的模型为圆,注：,通常点和无穷远点统称为拓广点；添加无穷远点之 后的直线和无穷远直线统称为拓广直线。,(3) 拓广直线上点的分离关系,欧氏直线：一点区分直线为两个部分。,拓广直线：一点不能区分直线为两个部分。,欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。,拓广直线：不同的两点把直线分成两条线段，其中一条含 无穷远点，另一条不含无穷远点。,点偶A,B分离点偶C,D,点偶A,B不分离点偶C,D,(i) 任一直线划分欧氏平面为两个不同的区域,任一直线不能划分拓广平面为两个不同的区域,2、射影平面(拓广平面),(1) 拓广平面的封闭性,从两个方面理解：,(ii) 两条相交直线划分欧氏平面为四个不同的区域,两条相交直线划分拓广平面为两个不同的区域,在拓广平面上，可以证明：,I，II为同一区域,III，IV为同一区域,(2) 拓广平面的拓扑模型,Mbius带,注： 默比乌斯带（ Mbius带）是射影平面的一部分。,默比乌斯带的作法：,三、射影基本形,1、一维基本形,(1) 点列,记号,l(A,B,C,) 或 l(P),底,元素,(1) 线束,记号,L(a,b,c,) 或 L(p),线束中心,元素,同一直线上点的集合,平面上过同一点的直线的集合,2、二维基本形,(2) 点场,(2) 线场,称为点场的底，,称为线场的底，,同一平面上点的集合,同一平面上直线的集合,其上的点称为元素.,其上的直线称为元素.,3、一对重要的基本图形,不共线三点及其两两连线 构成的图形,三线形,三点形,不共点三直线及其两两交点 构成的图形,顶点：A, B, C 边：BC, CA, AB,显然，射影基本形、三点形和三线形都在中心射影下不变,边：a, b, c 顶点：bc, ca, ab,记号：三点形ABC,记号：三线形abc, 2.1.4 图形的射影性质,一、透视对应,二、射影不变性和射影不变量,引进无穷远元素以后，便可以通过中心射影建立,直线上点之间的一一对应，这种一一对应称为透视对应。,定义2.4：,同样，以通过中心射影建立二平面之间点的一一对应， 也称为透视对应。,定义2.5：,经过一切中心射影(透视对应)后图形所具有的不变,性和不变量，叫做图形的射影不变性和射影不变量。,注：,1）同素件，结合性都是射影不变性。,3） 圆经过某些中心射影后不变，但经过另一些中心 射影可能变成其它二次曲线而不一定是圆，因此圆这一图 形不具有射影性质。,2）圆锥曲线经过中心射影后的象还是圆锥曲线，所 以我们说圆锥曲线具有射影性质。,例1：相交于影消线的二直线必射影成平行直线。,证明：,反例：,例2：单比不是射影不变量。,1) 透视对应不保留平行性.(由例1),2) 透视对应不保留两点距离不变。（由例2）,注：,3）透视对应不保留二直线间的夹角不变。（由例1）