[高等教育]81第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念.doc

第八章多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念教学目标：掌握多元函数的概念，掌握二元函数的几何表示、极限、连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质.课时安排：2课时重点：多元函数的极限、多元函数的连续性难点：多元函数的连续性教学法：讲授法一 平面点集 n维空间 平面点集 ，坐标系平面； Def：坐标平面上具有某种性质的点的集合。记为 如 ：圆内： 邻域：设为xoy平面上一点，。与的距离小于的点的全体称为点的邻域， 记为： 注：几何上：圆内部的点全体； 。 内点，外点，边界点内点：若点P的某个邻域，则称P为E的内点；外点：若点P的某个邻域，则称P为E的外点；边界点：若点P的任一邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称P为E的边界点 注：E的边界点的全体，称为E的边界，记作； 内点，外点，不边界点不一定； ，三种关系必具之一。 聚点：如果内总有E中的点，称P为E的聚点； 注：聚点可以，也可以，如E=； 例中边界点都是聚点，但边界点不总是聚点； 聚点P的中有无穷多个E中的点。 开集 闭集 连通集 开集：E的点全是的内点，称E为开集； 闭集：E的余集为开集，E为闭集； 开集：； 闭集 ：；非开非闭集：。 连通集：若E中任何两点，可用折线连起来，且该折线上的点都属于E，称E为连通集。 区域 、闭区域 区域（开区域）：连通的开集； 闭区域：开区域加上它的边界； 注：整个平面R是最大的开域或闭域； 是开集，非区域， 是开集，非区域； n维空间 Def：取空n ，称规定了线性运算的n元数组的全体为n维空间，注：；为一个点；为第i个坐标. 线性运算：,有： ；。 距离：； 邻域，区域，内点，开集等类似可定义。二 二元函数 二元函数的概念定义：设，若存在映射f：称f是由D确定的二元函数，记作：注意问题： D为定义域，f：法则（或映射）； 的图形为空间的一个曲面，如：。定义域的求法:(自然定义域:使得对应法则有意义的数对集合)例1 求的定义域； 例2 求的定义域； 例3 设例4 已知 三、二元函数的极限聚点概念：设E是一个平面的点集.是E的聚点，使得在在该领域里有E的点，或者说；二元函数极限定义: 设定义域为D，为D的聚点，若常数A,对,使得 有注意问题: 一元：方式，左右且沿直线； 二元：方式：p以曲面入手且可以不沿直线（方向任意，线路任意）； 证明极限不存在的方法：取两条不同的特殊路径极限值不等。例:证:。 方法二:思考题： 设四、多元函数的连续性 、定义：（函数在有定义），称在点连续。（满足三条）若在区内的每一点都连续，则称在区域内连续，若在区域内连续且边界上每一点均连续，则称在区域上连续； 、连续与极限存在的关系：连续极限存在（反之不成立）；、在连续 说明二次函数在处连续一定能推出此结论，反之不能。反例：而、间断点： 、定义：不连续的点称为间断点；、注意：多元函数的间断点可以为点，也可以是线。 如：、（形成一条线）、多元初等函数的连续性 、多元初等函数的定义(三要素)： 、用一个式子表达；、用常数和具有不同自变量的一元初等函数； 、有限次四则运算和复合运算形成的。 如：、多元函数在其定义域内均连续。、闭区域上多元连续函数的性质：、最值定理：闭区域上的连续函数在此区域上一定取得最大值、最小值；、介值定理：闭区域上的连续函数在此区域上一定取得介于最大值、最小值之间的任何值；五、例题分析：求极限 求极限的方法： 、利用连续性；、转化成一元函数方法求出（多元函数