《wjzh211导数概念》PPT课件.ppt

重点导数与微分的定义 导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导隐函数和参量函数求导 难点导数的实质，用定义求导，链式法则 第二章 导数与微分 第二章 导数与微分 导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步 深化。 导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程 度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变 化时，函数大体上变化多少。 微分学 导数描述函数变化快慢 微分描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 第一节 导数的概念 第二章 一、 引例 1. 变速直线运动的瞬时速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 速度反映了路程对时间变化的快慢程度. 一、 引例 1. 变速直线运动的瞬时速度问题 2.1 导数的概念 物体在时刻 t0 的瞬时速度定义为 2.切线问题 切线MT的斜率为: 极限位置即 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 如图, 2.切线的斜率问题 割线的极限位置切线位置 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 二、导数的定义 定义: 设函数 y=f (x)在点x0的某邻域内有定义, 当 自变量x在x0处取得增量x(点x0+x仍在该邻域内)时, 相应地函数取得增量 y = f (x0+x) f (x0); 如果当 x0时, y与x之比的极限存在, 则称函数 y=f (x)在 点x0处可导, 此极限值称为函数y=f (x)在点x0处的导数, 并记为f (x0), 即 也可记作: 1.函数在一点处的导数与导函数 即 注 1) 函数f(x)在点x0处可导也可说成函数f(x)在点x0处具有导数 2) 或导数存在. 2) 导数定义可取不同的形式 若 不存在, 则称y=f(x)在x0点不可导. 其中当 时 ,称y=f(x)在x0点的导数为无穷大. 3) 若f(x)在(a,b)内每一点可导,函数f(x)在(a,b)内可导. 4) 函数f(x)在(a,b)内可导, 即 对应着f(x)的一个确 定的导数值, 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原 来函数y=f(x)的导函数简称导数. 记作 即 或 函数函数y y= =f f ( (x x) )在点在点x x 0 0 处可导处可导左导数左导数f f - - ( (x x 0 0 ) )和右和右 导数导数f f + + ( (x x 0 0 ) )都存在且相等都存在且相等. 如果函数y=f (x)在开区间(a, b)内可导, 且f+(a) 和 f-(b)都存在, 就说函数函数 f f ( (x x) )在闭区间在闭区间 a a, , b b 上可导上可导. 2.单侧导数 f(x)在x0点的导数: f(x)在x0点的左导数: f(x)在x0点的右导数: 例1: 讨论函数 f (x) =| x |在 x = 0 处的可导性. 例1 解 用定义求导数(三步法) 步骤: 2.求导数举例 求导步骤 1)求增量y= f(x+x)- f(x)； 2)求比值 3)求极限 注: 1) 在求导函数的过程中视x为变量( ), 而x认为是常量. 2) 求函数在某一点的导数, 可先求导函数, 再代值; 也可先代值, 按定义求出某点处的导数值. 例2 解 例3 解 例4 解 更一般地 例如, 例5 解 特别地 例6 解 特别地 例5: 求函数 y = a x 的导数( a0, a1). 例6: 求函数 y = loga x 的导数( a0, a1). 例7. 设存在, 求极限 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 三、导数的几何意义 物理意义: 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度. 过点M(x0,y0)的切线方程与法线方程. 过点 M(x0,y0) 且与切线垂直的直线 叫曲线 y=f(x) 在点M处的法线. 切线方程为 法线方程为 切线方程为 法线方程为 切线方程为 法线方程为 例 在点(0,0)处的切线方程为 y=0 例 在点(0,0)处的切线方程为 x=0 例8 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 四、函数可导性与连续性的关系 定理: 若函数 f (x)在点x0处可导, 则f (x)在点x0处连续. 证 注意:1)该定理的逆定理不成立,即连续函数不一定存在导数. 函数可导一定连续，但连续不一定可导 2)若 f(x)在x0点不连续，则 f(x)在x0点必不可导。 连续函数不存在导数举例 例如, 1. 若函数 f (x)在点x0处连续, 且f-(x0)和 f+(x0)均 存在, 但 f-(x0) f+(x0), 则称点x0为f (x)的角点. 由于, f-(0)=0, f+(0)=1. 故 f (x)在点x =0处不可导, x =0为f (x)的角点. 例如, 2. 若函数 f (x)在点x0处连续, 但f (x0)=(不可导), 则称f (x)在点x0处有无穷导数. 即f (x)在x =0处有无穷导数. 3. 若函数 f (x)在点x0处连续, 但f (x0)=(不可导), 且两个单侧导数符号相反, 则称点x0为函数f (x)的尖点 . 例如, 即x =1处为函数 f (x) 和 g (x)的尖点. 和 4. 若函数 f (x)在点x0处连续, 但f (x0)不存在(不可 导), 也不为无穷大, 如摆动不定情况. 例9: 讨论函数 在=0处的连续性与可导性. 解 0 1 1/1/ 小结 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续 直接用定义; 看左右导数是否存在且相等. 思考题 由导数的定义知, f (x0)是一个具体的数值, f (x) 是由于在某区间 I 上每一点都可导而定义在 I 上的一 个新函数, 即xI, 有唯一值 f (x)与之对应.所以 两者的区别是: 一个是数值, 另一个是函数. 两者的联系是: 在某点x0处的导数f (x0)即是导函 数f (x)在x0处的函数值. 函数f (x0)在某点x0 处的导数f (x0)与导函数f (x) 有什么区别与联系？ 思考题解答 显然 导数f (x0)就是导函数f (x)在点x0处的函数值. 即函数 f (x)在点x0处的 导函数f (x)简称为导数