初中数学竞赛试题汇编.doc

井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 1 页 共 82 页 2012 年全国初中数学竞赛预赛试题年全国初中数学竞赛预赛试题 江西省吉安市江西省吉安市 一、一、选择题：（每题选择题：（每题 7 分，共分，共 42 分）分） 1、化简的结果是（ ）38194233122172 A、2 B、 2 C、 D、3333 2、一次考试共有 5 道题，考后统计如下，有 81%的同学做对第 1 题，91%的同学做对第 2 题，85%的同学做对第 3 题，79%的同学做对第 4 题，74%的同学做对第 5 题，如果做对 3 题以上的（含 3 题）题目的同学考试合格，那么这次考试合格率的同学至少（ ） 。 A、70% B、 79% C、74% D、81% 3、如图：在ABC 中， 则 AN:NL:LE 等于（ ）, 3 1 , 3 1 , 3 1 CACFBCBEABAD A、2：1：1 B、3：2：1 C、3：3：1 D、2：3：1 4、满足方程的所有非负整数解的组数有xyyxyx)(2 22 （ ） A、1 B、2 C、3 D、4 5、如图：正方形 ABCD 的边长为，E、F 分别是 AB、BC 的中点，AF 分别交152 DE，DB 于 M，N,则DMN 的面积为（ ） A、8 B、9 C、10 D、11 6、使分式的值为整数的实数 x 的值的个数是（ ） 33 42 2 2 xx xx A、4 B、5 C、6 D、7 二、填空题（每题填空题（每题 7 分，共分，共 28 分）分） 7、边长为整数，且面积的数值与周长相等的直角三角形的个数为 . 8、边长为 9cm, 40cm,41cm 的三角形的重心到外心的距离是 9、已知二次函数,一次函数，若它们的图像对于问题任cbxaxy 2 4 ) 1( 2 k xky 意的数 k 都只有一个公共点，则二次函数的解析式为 10、代数式的最小值是 49)8(9 22 xx 三、解答题（共三大题，解答题（共三大题，70 分）分） 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 2 页 共 82 页 11、已知关于 x 的方程的根是整数，求满足条件024)2810()4)(2( 2 xkxkk 的所有实数 k 的值（20 分） 12、如图：在矩形 ABCD 中，点 P 在 AB 上，且ACP 是等腰三角形，O 是 AC 的中点， OE AB 于有，点 Q 是 OE 的中点，求证：PQ CE（25 分）. 13、已知二次函数图像与轴交于(x1yz； （B）、x=y=z； （C）、x=yz； （D）、xy=z 6、将 1,2,3,4,5,6,7,8 这八个数分别填写于一个圆周八等分点上， 使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数， 如果圆周旋转后能重合 的算作相同填法，那么不同的填法有（ ） (A)、4 种； (B)、 8 种； (C)12 种、； (D)、16 种 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 8 页 共 82 页 二、二、 填空题（每小题填空题（每小题 7 7 分，共分，共 2828 分）分） 1、若 k 个连续正整数之和为 2010，则 k 的最大值是 2、单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆） 的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 . 3、圆内接四边形 ABCD 的四条边长顺次为： AB=2,BC=7,CD=6,DA=9，则四边形的面积为 . 4、在123520 中，适当选择+、-号，可以得到不同代数 和的个数是 第 二二 试试 一、（20 分）边长为整数的直角三角形，若其两直角边长 a,b 是方程 =0 的两根，求 k 的值并确定直角三角形三边之长 kxkx4)2( 2 二、（25 分）如图，自ABC 内的任一点 P，作三角形三条边的垂线： PDBC，PECA，PFAB，若 BD=BF,CD=CE；证明：AE=AF 三、（25 分）已知 a,b,c 为正整数，且为有理数，证明为整 cb ba 3 3 cba cba 222 数 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 9 页 共 82 页 P D O y x C A B 第 9 题图 “数学周报数学周报杯杯”20102010 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共一、选择题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 7 7 分，共分，共 3535 分分. . 1若，则的值为（ ）10,20 c b b a cb ba （A） （B） （C） （D） 21 11 11 21 21 110 11 210 2若实数a，b满足，则a的取值范围是（ ）02 2 1 2 baba （A）a （B）a4 （C）a或 a4 （D）a4 3如图，在四边形ABCD中，B135，C120， AB=，BC=，CD，则AD边的长为（ ）3222424 （A） （B）6264 （C） （D）64622 4在一列数中，已知，且当k2 时，, 321 xxx1 1 x （取整符号a表示不超过 4 2 4 1 41 1 kk xx kk 实数的最大整数，例如2.6=2,0.2=0），则等于（ 2010 x ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点 坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，1）， D（1，1）y轴上一点P（0，2）绕点A旋转 180得点P1， 点P1绕点B旋转 180得点P2，点P2绕点C旋转 180得点P3， 点P3绕点D旋转 180得点P4，重复操作依次得到点 P1，P2， 则点P2010的坐标是（ ） A D C B 第 3 题图 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 10 页 共 82 页 （A）（2010，2） （B）（2010，） （C）（2012，） （D）（0，2） 二、填空题二、填空题 6已知a，则 2a37a22a12 的值等于 15 7一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一 方向匀速行驶在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与 小轿车的正中间过了 10 分钟，小轿车追上了货车；又过了 5 分钟， 小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t 8如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0）， A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直线l经过点M（2，3）， 且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 9如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC 分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为 D若CDCF，则 AD AE 10对于i=2，3，k，正整数n除以i所得的余数为 i1若的最小值满足，则正整数的最 0 n3000200 0 n 小值为 三、解答题（共三、解答题（共 4 4 题，每题题，每题 2020 分，共分，共 8080 分）分） 11、如图：ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE 和CF分别是ABD和ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： BC EF PAD tan （第 12A 题） 12如图，抛物线（a0）与双曲bxaxy 2 线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且AOB的面 x k y 积为 3（O为坐标原点）. (1）求实数a，b，k的值； （2）过抛物线上点A作直线ACx轴，交抛物线于另 一点C，求所有满足EOCAOB的点E的坐标. 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 11 页 共 82 页 13求满足的所有素数p和正整数m.mmpp282 22 20092009 年全国初中数学江西赛区预赛试题年全国初中数学江西赛区预赛试题 （2009 年 3 月 22 日上午 9：3011：30） 一、选择题（共一、选择题（共 5 小题，每小题小题，每小题 7 分，满分分，满分 35 分）分） 1、已知非零实数 a、b 满足 |2a4|+|b+2|+4=2a，则 a+b 等于（ ） (a - 3)b2 A、1 B、0 C、1 D、2 2、如图所示，菱形 ABCD 边长为 a，点 O 在对角线 AC 上一点，且 OA=a，OB=OC=OD=1,则 a 等于（ ） A、 B、1 C、 D、 2 1 51 2 51 3、将一枚六个面编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方形骰子先后投掷两 次，记第一次掷出的点数为 a，第二次掷出的点数为 b，则关于 x、y 的方程组 只有正数解的概率为（ ） 22 3 yx byax A、 B、 C、 D、 1 12 2 9 5 18 13 36 4、如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，ABCD， B=90，动点 P 从点 B 出发，沿梯形的边由 B CDA 运动，设点 P 运动的路程为 x，ABP 的面 积为 y，把 y 看作 x 的函数，函数图象如图 2 所示，则ABC 的面积为（ ） A、10 B、16 C、18 D、32 5、关于 x、y 的方程的整数解（x、y）的组数为（ ）292 22 yxyx A、2 组 B、3 组 C、4 组 D、无穷多组 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 35 分）分） 6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶 5000km 后报废；若把它安装在 后轮，则自行车行驶 3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 12 页 共 82 页 后轮胎。如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时 报废，那么这辆自行车将能行驶 ； 7、已知线段 AB 的中点为 C，以点 C 为圆心，AB 长为半径作 圆，在线段 AB 的延长线上取点 D，使得 BD=AC；再以点 D 为圆心， DA 的长位半径作圆，与A 分别相交于点 F、G 两点，连接 FG 交 AB 于点 H，则的值为 ； AH AB 8、已知满足条件的五个不同的整数，若 54321 ,aaaaa 9 54321 aaaaa b 是关于 x 的方程的2009)()()()( 54321 axaxaxaxax 整数根，则 b 的值为 ； 9、如图所示，在ABC 中，CD 是高，CE 为ACB 的平分线， 若 AC=15，,BC=20，CD=12，则 CE 的长等于 10、10 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都 想好一个数，并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人，然后每个 人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若抱出来的数如图所示，则报 3 的人心 里想的数是 ； 三、解答题（共三、解答题（共 4 小题，每题小题，每题 20 分，共分，共 80 分）分） 11、函数的图像与 x 轴的两个交点是否都在直线 x=1 的右侧？ 22 ) 12(kxkxy 若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线 x=1 的右侧时 k 的取值范围？ 12、在平面直角坐标系 xoy 中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完成平方数的点称为 “好点” ，求二次函数的图像上的所有“好点”的坐标.4907)90( 2 xy 13、如图，给定锐角ABC，BCCA，AD，BE 是它的两条高，过点 C 作ABC 的 外接圆的切线 l，过电 D、E 分别作 l 的垂线，垂足分别为 F、G，试比较线段 DF 和 EG 的 大小，并证明你的结论？ 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 13 页 共 82 页 14、n 个正整数满足如下条件： n aaa, 21 且中任意 n1 个不同的数的算术平20091 321 n aaaa、 n aaa, 21 均数都是正整数，求 n 的最大值。 2009 年初中数学竞赛江西赛区决赛试题年初中数学竞赛江西赛区决赛试题 第一试 一、一、选择题（每小题选择题（每小题 7 分，共分，共 42 分）分） 1、化简的值是（ ）. 2471 23 2471 23 A、 B、 C、 D、.2 2 3 3 6 4 7 2、a,b,c 是互不相同的实数， 则代数式经化简后得到（ ）. )( )( )( )( )( )( 222 bcac bxaxc cbab axcxb caba cxbxa A、 B、 C、 D、. 2 a 2 b 2 c 2 x 3、设实数 a2 4一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一 部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一， 还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分如此下去，最后得到了 34 个六十二边 形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） （A）2004 （B）2005 （C）2006 （D）2007 5如图，正方形ABCD内接于O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q若 QP=QO，则的值为（ ） QA QC （A）（B） （C）（D）1323223 23 二、填空题二、填空题 （共（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，满分分，满分 3030 分）分） 6已知a，b，c 为整数，且ab=2006，ca=2005若a 0 B.a 4 C.2 0，a2 -2ab + c2 = 0，bc a2，则实数 a、b、c 的大小关系是 （ ） A.b c a B.c a b C.a b c D.b a c 5.设 a、b 为有理数，且满足等式 a + b=，则 a + b 的值为 36 （ ） A.2 B.4 C.6 D.8 6.将满足条件“至少出现一个数字 0，且是 4 的倍数的正整数”从小到大排成一列数： 20，40，60，80，100，104，则这列数中的第 158 个数为 （ ） A.2000 B.2004 C.2008 D.2012 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 28 分分, ,每小题每小题 7 分）分） 1.函数 y = x2 -2006|x|+ 2008 的图象与 x 轴交点的横坐标之和等于_ 2.在等腰 RtABC 中，AC = BC =1， M 是 BC 的中点， CEAM 于 E 交 AB 于 F， 则 SMBF = _. 3.使+ 取最小值的实数 x 的值为_. x2 + 4(8 - x)2 + 16 4.在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点坐标分别为 O(0,0)，A(100,0)， B(100,100)，C(0,100)若正方形 OABC 内部（边界及顶点除外）一格点 P 满足： SPOA SPBC = SPABSPOC ，就称格点 P 为“好点” ，则正方形 OABC 内部“好点”的个数为 _. （注：所谓“格点” ，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点 ） 第二试第二试 (4 月 9 日 上午 10:00-11:30) 一、一、( (本题满分本题满分 20 分分) ) 如图，D 为等腰ABC 底边 BC 的中点，E、F 分别为 AC 及其延长线上的点又已知 EDF = 90，ED = DF = 1，AD = 5求线段 BC 的长 F E D C B A 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 33 页 共 82 页 二、二、( (本题满分本题满分 25 分分) ) 在平行四边形 ABCD 中，A 的平分线分别与 BC 及 DC 的延长线交于点 E、F，点 O、O1分别为CEF、ABE 的外心 (1)求证：O、E、O1三点共线； (2)求证：若 ABC = 70，求OBD 的 度数 三三 （本题满分（本题满分 25 分）分） 设 p 为正整数，且 p 2. 在平面直角坐标系中，连结点 A（0，p)和点 B( p，0)的 线段通过 p 1 个格点 C1(1，p - 1） ， ，Ci( i，p i)， ，Cp 1 ( p 1，1）. 证明：（1）若 p 为素数，则在原点 O(0，0）与点 Ci( i，p i)的连线段 OCi（i = 1， ，p - 1）上除端点外无其它格点；(2) 若在原点 O(0，0）与点 Ci( i，p i)的连线段 OCi（i = 1， ，p - 1）上除端点外无其它格点，则 p 为素数. 20052005 年全国初中数学联赛初赛试卷年全国初中数学联赛初赛试卷 3 月 25 日下午 2：304:30 或 3 月 26 日上午 9：0011：30 学校_ 考生姓名_ 一、选择题一、选择题: :（每小题 7 分，共计 42 分） 1、若 a、b 为实数，则下列命题中正确的是（ ） （A）aba2b2; (B)aba2b2; (C)|a|ba2b2; (D)a|b|a2b2 2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则 a2005+b2005+c2005的值是（ ） （A）0 (B) 3 (C) 22005 (D)322005 1 O O F E D C B A 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 34 页 共 82 页 3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为 正六 边形， （如图） ，如果缝制好的这种足球黑皮有 12 块，则白皮有（ ）块。 (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22 4、在 RtABC 中，斜边 AB=5，而直角边 BC、AC 之长是一元二次方程 x2(2m1) x+4(m1)=0 的两根，则 m 的值是（ ） （A）4 （B）1 （C）4 或1 （D）4 或 1 5、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设 k 为整数，当直线 y=x3 与 y=kx+k 的交点为整数时，k 的值可以取（ ） （A）2 个 （B）4 个 （C）6 个 （D）8 个 6、如图，直线 x=1 是二次函数 y=ax2+bx+c 的图像的对称轴，则有（ ） （A）a+b+c=0 （B）ba+c （C）c2b （D）abc0 二、填空题二、填空题: : （每小题 7 分，共计 28 分） 1、已知：x 为非零实数，且 = a, 则 =_。 11 22 xx 2 x1 x 2、已知 a 为实数，且使关于 x 的二次方程 x2+a2x+a = 0 有实根，则该方程的根 x 所能 取到的最大值是_. 3、p 是o 的直径 AB 的延长线上一点，PC 与o 相切于点 C，APC 的角平分线交 AC 于 Q，则PQC = _. 4、对于一个自然数 n，如果能找到自然数 a 和 b，使 n=a+b+ab,则称 n 为一个“好数” ， 例如:3=1+1+11，则 3 是一个“好数” ，在 120 这 20 个自然数中， “好数”共有 _个。 三、三、 （本题满分（本题满分 20 分）分）设 A、B 是抛物线 y=2x2+4x2 上的点，原点位于线段 AB 的中 点处。试求 A、B 两点的坐标。 四、四、 （本题满分（本题满分 2525 分）分）如图，AB 是o 的直径，AB=d，过 A 作o 的切线并在其上取 一点 C，使 AC=AB，连结 OC 叫o 于点 D，BD 的延长线交 AC 于 E，求 AE 的长。 B A O E D C 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 35 页 共 82 页 五、五、 （本题满分（本题满分 25 分）分）设 x = a+bc ,y=a+cb ,z= b+ca ,其中 a、b、c 是待定的 质数，如果 x2=y ,=2,试求积 abc 的所有可能的值。zy 20052005 年全国初中数学竞赛试卷年全国初中数学竞赛试卷 一、选择题一、选择题( (满分满分 3030 分分) ) 1.如图 a，ABCD 是一矩形纸片，AB=6cm，AD=8cm,E 是 AD 上一点，且 AE=6cm，操作： 将 AB 向 AE 折过去，使 AB 与 AE 重合，得折痕 AF，如图 b；将AFB 以 BF 为折痕向右 折过去，得图 c，则GFC 的面积为( ) 图图c c图图b b 图图a a G G C CF F A A D D B B( (E E) )B B( (E E) ) D D C C A A F F E ED D C CF FB B A A 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 36 页 共 82 页 A.2 B.3 C.4 D.5 2.若 M=3x28xy9y24x6y13(x，y 是实数)，则 M 的值一定是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.整数 3.已知点 I 是锐角ABC 的内心，A1，B1，C1分别是点 I 关于边 BC，CA，AB 的对称点。 若点 B 在A1B1C1的外接圆上，则ABC 等于( ) A.30 B.45 C.60 D.90 4.设，则与 A 最接近的正整数是( ) 222 111 48 () 34441004 A A.18 B.20 C.24 D.25 5.在自变量 x 的取值范围 59x60 内，二次函数的函数值中整数的 2 1 2 yxx 个数是( ) A.59 B.120 C.118 D.60 二、填空题二、填空题( (满分满分 3030 分分) ) 6.在一个圆形的时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针(O 为两针的旋转中心)。若现 在时间恰好是 12 点整，则经过_秒后，OAB 的面积第一次达到最大。 7.在直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于 A，B 的两点。若 22 3 (0) 4 yxmxm m A，B 两点到原点的距离分别为 OA，OB，且满足，则 m=_. 112 3OBOA 8.有两幅扑克牌，每幅的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、 红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按 A，2，3，J，Q，K 的顺序排列。 某人把按上述排列的两幅扑克牌上下叠放在一起，然后从一到下把第 一张丢去，把第二张放在最底层，再把第三张丢去，把第四张放在底 层，如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是 _ 9.已知 D，E 分别是ABC 的边 BC，CA 上的点，且 BD=4，DC=1，AE=5，EC=2。连结 AD 和 BE，它们交于点 P。过 P 分别 作 PQCA，PRCB，它们分别与边 AB 交于点 Q，R，则PQR 的面积 与ABC 的面积的比是_ 10.已知 x1,x2,x3,x19都是正整数，且 x1+x2+x3+x19=59，x12+x22+x32+x192的最 大值为 A，最小值为 B，则 A+B 的值等于_。 三、解答题、三、解答题、( (满分满分 6060 分分) ) 11.8 人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘 4 人(不包括司机)。其中 一辆小汽车在距离火车站 15km 地方出现故障，此时距停止检票的时间还有 42 分钟。这时 惟一可用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘 5 人，且这辆车的平 均速度是 60km/h，人步行的平均速度是 5km/h。试设计两种方案，通过计算说明这 8 个人 能够在停止检票前赶到火车站。 RQ P B A C D E 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 37 页 共 82 页 12.如图，半径不等的两圆相交于 A、B 两点，线段 CD 经过点 A，且分别交两圆于 C、D 两点。连结 BC、BD，设 P，Q，K 分别是 BC，BD，CD 的中点。M，N 分别是和 : BC 的中点。求证： : BD 1 2 BPNQ PMQB KPMNQK : 13. .已知 p，q 都是质数，且使得关于 x 的二次方程 x2(8p10q)x5pq=0 至少有 一个正整数根，求所有的质数对(p，q). 14.从 1，2.，205 个共 205 个正整数中，最多能取出多少个数。使得对于取出来的 数中的任意三个数 a,b,c (a,AD),D=90,BC=CD=12, ABE=45,若 AE=10,则 CE 的长为 。 10、实数 x、y、z 满足 x+y+z=5,xy+yz+zx =3,则 z 的最大值是 。 三、解答题（共三、解答题（共 4 4 题，每小题题，每小题 1515 分，满分分，满分 6060 分）分） 11、通过实验研究，专家发现：初中学生听课的注意力指标是随着老 师讲课时间的变化而变化的。讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段 时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散。学生注意力指标数 y 随时间 x（分钟） 变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中） 。当 0x10 时，图象是抛物 线的一部分，当 10x20 和 20x40 时，图象是线段。 （1）当 0x10 时，求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系式； 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 39 页 共 82 页 （2）一道数学竞赛题，需要讲解 24 分钟。问老师能否经过适当安排，使学生在听这道 题时，注意力的指标数都不低于 36。 12、已知 a、b 是实数，关于 x、y 的方程组 有整数解 （x,y） ，求 a,b 满足的关系式。 13、D 是ABC 的边 AB 上的一点，使得 AB=3AD,P 是ABC 外接圆上一点，使得 ADP=ACB,求的值。 PD PB 14、已知 ab，若 两个三角形的最小内角相等，则的值等于（ ） b a (A) (B) (C) (D) 2 13 2 15 2 23 2 25 4过点 P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为 5，这样的直线可以作（ ） (A) 4 条 (B) 3 条 (C) 2 条 (D) 1 条 5已知 b2-4ac 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的一个实数根，则 ab 的取值范围为 （ ） (A) (B) (C) (D) 8 1 ab 8 1 ab 4 1 ab 4 1 ab 6如图，在 23 矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的 等腰直角三角形的个数为（ ） (A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50 二填空题 1计算 . 20042003 1 43 1 32 1 21 1 L 2如图 ABCD 是边长为 a 的正方形，以 D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径 的圆交于另一点 P，延长 AP 交 BC 于点 N，则= . NC BN 3实数 a,b 满足 a3+b3+3ab=1,，则 a+b= . 4设 m 是不能表示为三个合数之和的最大整数，则 m= . 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 41 页 共 82 页 第二试（第二试（A） 一 已知方程的根都是整数，求整数 n 的值。03246 22 nnxx 二 已知如图，梯形 ABCD 中，ADBC, 以两腰 AB,CD 为一边分别向两边作正方 形 ABGE 和 DCHF，设线段 AD 的垂直平分线 l 交线段 EF 于点 M，EPl 于 P，FQl 于 Q。 求证：EP=FQ 三 已知点 A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t, )为抛物线 y上位于三角形 ABC 内 2 t 2 x （包括边界）的一动点，BP 所在的直线交 AC 于 E， CP 所在的直线交 AB 于 F。将 表示为自变量 t 的函数。 CE BF 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 42 页 共 82 页 A B C O D E P 2003003 年年“TRULY“TRULY 信利杯信利杯”全国初中数学竞赛试题全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共一、选择题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，满分分，满分 3030 分）分） 1、若 4x3y6z=0，x2y7z=0， （xyz0） ，则代数式的值等于（ 222 222 1032 25 zyx zyx ） A B C 15 D 13 2 1 2 19 2、在本埠投寄平信，每封信质量不超过 20g 时付邮费 0.8 元， 超过 20g 而不超过 40g 时付邮费 1.60 元，依次类推，每增加 20g 需增 加邮费 0.80 元（信的质量在 100g 以内） ，如果某人所寄一封信的 质量为 72.5g，那么他应付邮费（ ） A 2.4 元 B 2.8 元 C 3 元 D 3.2 元 3、如图所示，A+B+C+D+E+F+G=（ ） A 360 B 450 C 540 D 720 4、四条线段的长分别为 9，5，x，1（其中 x 为正实数） ，用它们 拼成两个直角三角形，且 AB 与 CD 是其中的两条线段（如图） ，则 x 可取值的个数为（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 5、某校初三两个毕业班的学生和教师共 100 人一起在台阶上拍毕业照 留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数3） ，且要求 各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处， 那么，满足上述要求的排法的方案有（ ） A 1 种 B 2 种 C 4 种 D 0 种 二、二、填空题（共填空题（共 5 5 个小题，每小题个小题，每小题 6 6 分，满分分，满分 3030 分）分） 6、已知 x=1，那么= 。3 2 1 4 1 2 1 2 xxx 7、若实数 x，y，z 满足 x+=4，y+=1，z+=，则 xyz 的值为 。 y 1 z 1 x 1 3 7 8、观察下列图形： 第 9 题 根据图、的规律，图中的三角形的个数为 。 9、如图所示，已知电线杆 AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地 面 BC 上，如果 CD 与地面成 45，A=60，CD=4m，BC=(42)m，则电线杆62 AB 的长为 m。 10、已知二次函数 y=ax2+bx+c（其中 a 是正整数） 的图像经过点 A(1，4)与点 B(2，1)，并且与 x 轴有两 个不同的交点，则 b+c 的最大值为 。 三、解答题（共三、解答题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 1515 分，满分分，满分 6060 分）分） 11、如图所示，已知 AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，OC 平行于弦 AD，过点 D 作 DEAB 于点 E， A B C DE F G A B C D O A E C D 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 43 页 共 82 页 A C D E B H G F O 6 1 5 7 9 1 8 1 2 1 7 1 3 1 1 5 1 0 连结 AC，与 DE 交于点 P，问 EP 与 PD 是否相等？证明你的结论。 12、某人租用一辆汽车由 A 城前往 B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所 需的时间（单位：小时） ，若汽车行驶的平均速度为 80 千米/小时，而汽车每行驶 1 千米需 要的平均费用为 1.2 元，试指出此人从 A 城出发到 B 城的最短路线（要有推理过程） ，并 求出所需费用最少为多少元？ 13、如图所示，O 的直径的长是关于 x 的二次方程 x2+2(k2)x+k=0(k 是整数的最大 整数根)，P 是O 外一点，过点 P 作O 的切线 PA 和割线 PBC，其中 A 为切点，点 B、C 是直线 PBC 与O 的交点，若 PA，PB，PC 的长都是正整数，且 PB 的长不是合数， 求 PA2+PB2+PC2的值 14、沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的 4 个数 a、b、c、d 满足不等式(ad) (bc)0，那么就可以交换 b、c 的位置，这称为一次操作。 （1）若圆周上依次放着数 1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周 上任意依次相连的 4 个数 a，b，c，d，都有(ad)(bc)0？请说明理由。 （2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着 2003 个正整数 1，2，2003，问： 是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数 a，b，c，d，都有(ad)(bc) 0？请说明理由。 A P B C O 14 1 2 3 4 5 6 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 44 页 共 82 页 20032003 年全国初中数学联合竞赛试卷年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试第一试 （4 4 月月 1313 日上午日上午 8:308:309:309:30） 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 4242 分，每小题分，每小题 7 7 分）分） 1.等于（ ）2 32 21712 2 A. B. C.5 D.154 24 21 2.在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） A.0 B.1 C.3 D.5 3.若函数 y=kx(k0)与函数的图象相交于 A，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B，则 x y 1 ABC 的面积为（ ） A.1 B.2 C.k D.-k 4.满足等式的正整数对(x,y)的2003200320032003xyyxyxyx 个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5.设ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点，且若在边 AC 上取一点 E，使四 3 1 AB AD 边形 DECB 的面积为，则的值为（ ） 4 3 EA CE A. B. C. D. 2 1 3 1 4 1 5 1 6.如图，在ABCD 中，过 A，B，C 三点的圆交 AD 于 E，且与 CD 相切若 AB=4，BE=5，则 DE 的长为（ ） A.3 B.4 C. D. 4 15 5 16 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 2828 分，每小题分，每小题 7 7 分）分） 1.抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C若ABC 是直角cbxaxy 2 三角形，则 ac=_ 2.设 m 是整数，且方程的两根都大于而023 2 mxx 5 9 小于，则 m=_ 7 3 3.如图，分别是EAB，DBC 的平分线若 AABB ，则BAC 的度数为_ AABBAB D C A B E B D A C B A E 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 45 页 共 82 页 4.已知正整数 a，b 之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍，那么 a，b 中较大的数是_ 第二试（第二试（A A） （4 4 月月 1313 日上午日上午 10:0010:0011:3011:30） 一、一、 （本题满分（本题满分 2020 分）分） 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方， 恰好等于这个四位数 二、二、 （本题满分（本题满分 2525 分）分） 在ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA，CB 到点 E，F，使 DE=DF；过 E，F 分别作 CA，CB 的垂线，相交于 P设线段 PA，PB 的中点分别为 M，N 求证：DEMDFN；PAE=PBF 三、三、 （本题满分（本题满分 2525 分）分） 1、已知实数 a，b，c，d 互不相等，且，试求 xx a d d c c b b a 1111 的值 2、已知四边形 ABCD 的面积为 32，AB，CD，AC 的长都是整数，且它们的和为 16 这样的四边形有几个？ 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 46 页 共 82 页 求这样的四边形边长的平方和的最小值 20032003 年山东省年山东省“KLT“KLT 快灵通杯快灵通杯”初中数学竞赛试题初中数学竞赛试题 （2003 年 11 月 30 日上午 8：00-11：00） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 6 分，满分分，满分 48 分）：下面各题给出的选项中，只分）：下面各题给出的选项中，只 有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题促括号内。有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题促括号内。 1如果 a,b,c 是非零数，且 a+b+c=0,那么的所有可能的值为（ abc abc c c b b c a ） （A） 0 （B） 1 或-1 （C） 2 或-2 （D） 0 或-2 2如果自然数 a 是一个完全平方数，那么与 a 之差最小且比 a 大的一个完全平方数是 （ ） （A） （B） （C） （D）1a1 2 a12 2 aa12 2 aa 3甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两人继续比赛，直到分出 胜负，负者退下，由另一人与胜者比赛。比赛若干局后，甲胜 4 局、负 2 局；乙胜 3 局、 负 3 局。若丙负 3 局，那么丙胜（ ） （A）0 局 （B）1 局 （C）2 局 （D）3 局 4关于 x 的不等式组 只有 5 个整数解，则 a 的取值范围是（ ） ax x x x 2 3 5 3 52 （A） （B） 2 11 6a 2 11 6a （C） （D） 2 11 6a 2 11 6a 5如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设 a=1,则这个正方形的面 积为（ ） （A）（B） 2 537 2 53 （C）（D） 2 15 2 21 6某种产品按质量分为 10 个档 次，生产最低档次产品，每件获利润 8 元，每提高一个档次，每件产品利润增加 2 元。用 同样工时，最低档次产品每天可生产 60 件，提高一个档次将减少 3 件。如果获利润最大的 产品是第 k 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加） ，那么 k 等于（ ） （A） 5 （B） 7 （C） 9 （D）10 b b a b a a E C A B 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 47 页 共 82 页 AB C D 7如图，在中，C=9