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文档简介
海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学(理科) 2013.11 本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1. 已知集合,则( a )a. b. c. d. 2. 下列函数中,值域为的函数是( c )a. b. c. d. 3. 在中,若,则=( b )a. b.c. d. 4. 在平面直角坐标系中,已知点,若,则实数的值为( c )a. b. c. d. 5.若,则“”是“”的( b )a. 充分而不必要条件 b. 必要而不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件6. 已知数列的通项公式,则数列的前项和的最小值是( b )a. b. c. d. 7. 已知,函数若,则实数的取值范围为( d )a. b. c. d. 8. 已知函数,在下列给出结论中: 是的一个周期; 的图象关于直线对称; 在上单调递减.其中,正确结论的个数为( c )a. 0个b.1个 c. 2个d. 3个二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。9. _.210. 已知数列为等比数列,若,则公比_.23111. 已知,则的大小关系为_.12. 函数的图象如图所示,则_,_.,13. 已知是正三角形, 若与向量的夹角大于,则实数的取值范围是_.14. 定义在上的函数满足: 当时,; .设关于的函数的零点从小到大依次为.若,则 ;若,则_. 答案:14;三、解答题: 本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。15.(本小题满分13分)在中,角的对边分别为,.()求的值;()求的值.解:()由和可得, -2分所以, -3分又所以. -5分()因为,由余弦定理可得 -7分,即. -9分由正弦定理可得 -11分, -12分所以. -13分16. (本小题满分14分)已知函数.(i)求的最小正周期;(ii)求在区间上的取值范围.解:(i) -2分 -4分 -6分最小正周期为, -8分(ii)因为,所以 -10分 所以 -12分 所以, -13分所以取值范围为. -14分17. (本小题满分13分)如图,已知点,直线与函数的图象交于点,与轴交于点,记的面积为.(i)求函数的解析式;(ii)求函数的最大值.解:(i)由已知 -1分 所以的面积为. -4分(ii)解法1. -7分由得, -8分函数与在定义域上的情况下表:3+0极大值-12分所以当时,函数取得最大值8. -13分解法2.由设, -6分则.-7分函数与在定义域上的情况下表:3+0极大值-11分所以当时,函数取得最大值, -12分所以当时,函数取得最大值.-13分18.(本小题满分13分)已知数列满足: ; 对于任意正整数都有成立.(i)求的值;(ii)求数列的通项公式;(iii)若,求数列的前项和.解:(i)由可得, -2分由可得. -3分(ii)由可得, -6分所以数列的通项公式. -7分(iii)由(ii)可得, 易得分别为公比是4和2的等比数列, -8分由等比数列求和公式可得.-13分19.(本小题满分14分)已知函数.(i)当时,求曲线在点处的切线方程;(ii)求的单调区间;(iii)若在区间上恒成立,求实数的取值范围.解:(i)因为,, 所以, -1分,, -3分所以切线方程为. -4分(ii), -5分由得, -6分当时,在或时,在时,所以的单调增区间是和,单调减区间是; -7分当时,在时,所以的单调增区间是;-8分当时,在或时,在时.所以的单调增区间是和,单调减区间是. -10分(iii)由(ii)可知在区间上只可能有极小值点, 所以在区间上的最大值在区间的端点处取到, -12分即有且, 解得. -14分20.(本小题满分13分)已知数列的首项其中,令集合.(i)若是数列中首次为1的项,请写出所有这样数列的前三项;(ii)求证:;(iii)当时,求集合中元素个数的最大值.解:(i)27,9,3;8,9,3;6,2,3. -3分(ii)若被3除余1,则由已知可得,;若被3除余2, 则由已知可得,;若被3除余0,则由已知可得,; 所以,所以所以,对于数列中的任意一项,“若,则”.因为,所以.所以数列中必存在某一项(否则会与上述结论矛盾!)若,则;若,则,若,则,由递推关系易得. -8分(iii)集合中元素个数的最大值为21.由已知递推关系可推得数列满足:当时,总有成立,其中.下面考虑当时,数列中大于3的各项:按逆序排列各项,构成的数列记为,由(i)可得或9,由(ii)的证明过程可知数列的项满足: ,且当是3的倍数时,若使最小,需使,所以,满足最小的数列中,或7,且,所以,所以数列是首项为或的公比为3的等比数列,所以或,即或,因为,所以,当时,的最大值是6,所以,所以集合重元素个数的最大值为21. -13分更多试题下载: (在文字上按
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