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向量的内积的概念 向量的长度 向量的正交性 向量空间的正交规范基的概念 向量组的正交规范化 正交阵、正交变换的概念 1. 预备知识：向量的内积 下页关闭 n维向量是空间三维向量的推广，本节通过定义向 量的内积，从而引进n维向量的度量概念：向量的长度 ， 夹角及正交。 定义1 设有 n 维向量 向量内积的概念 在空间解析几何中，两向量的数量积 在直角坐标系中表示为 推广到 n 维向量即有： 上页下页返回 内积。 内积的运算规律： 上页下页返回 向量的长度 由向量内积的性质(v) 自然引入向量的长度。 定义1 令 向量长度的性质： 上页下页返回 单位向量。 正交向量组：指一组两两正交的非零向量。 向量的正交性 空间解析几何中两向量垂直推广到 n 维向量，可 得向量的正交性概念。 上页下页返回 夹角。 定理1 证 上页下页返回 例1 解 已知 3 维向量空间 R 3 中两个向量 上页下页返回 上页下页返回 就是 R 4 的一个正交规范基。 向量空间的规范正交基 定义3 上页下页返回 上页下页返回 向量组的正交规范化 上页下页返回 上页下页返回 就得 V 的一个正交规范基。 然后只要把它们单位化，即取 上页下页返回 试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化 。 解 例2 上页下页返回 再把它们单位化，取 上页下页返回 解 例 3 它的基础解系为 上页下页返回 把基础解系正交化，即为所求。取 上页下页返回 由于正交化过程十分繁锁，因而在求正交向量 组时，只要抓住向量正交的本质，可以避免正交化 过程。 x1 + x2 + x3 = 0 的基础解系为例， 使得前两个分量与的前两个分量对应 乘积之和为零即可，容易验证 要求两两正交的基础解系，只要取 从而取 以例3中求齐次线性方程组 上页下页返回 Ex.1 解 其基础解系可取为 上页下页返回 定义4 如果 n 阶方阵 A 满足 AT A = E ( 即 A1 = AT ), 那么称 A 为正交阵。 上式用 A 的列向量表示，即是 上页下页返回 是正交阵。 例4 解 P 的每一个行向量都是单位向量，且两两 正交，所以 P 是正交阵。 验证矩阵 上页下页返回 这就说明：方阵A 为正交阵的充分必要条件是A 的列( 行)向量都是单位向量且两两正交。从而正交阵A 的n 个列( 行)向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基。 定义5 若 P 为正交阵，则线性变换 y = P x 称 为正交变换。 这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。 从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次 型的几何特征。 设 y = P x 是正交变换，则有 上页下页返回 (i). 正交矩阵A 的行列式 |A| = 1 或|A| = 1; (ii). 正交矩阵A 是可逆的，且A1 =AT ； (iii). 正交矩阵A 的逆矩阵A1 也是正交矩阵； (i
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