高中数学双曲线抛物线知识点总结.doc

双曲线 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值是常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹。方程简图_x_O_y_x_O_y范围顶点焦点渐近线离心率对称轴关于x轴、y轴及原点对称关于x轴、y轴及原点对称准线方程a、b、c的关系考点 题型一 求双曲线的标准方程1、给出渐近线方程的双曲线方程可设为，与双曲线共渐近线的方程可设为。2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。（1） 虚轴长为12，离心率为；（2） 焦距为26，且经过点M（0，12）；（3） 与双曲线有公共渐进线，且经过点。解：（1）设双曲线的标准方程为或。由题意知，2b=12，=。b=6，c=10，a=8。标准方程为或。（2）双曲线经过点M（0，12），M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12。又2c=26，c=13。标准方程为。（3）设双曲线的方程为x29-y216=在双曲线上 得所以双曲线方程为题型二 双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e、a、b、c四者的关系，构造出和的关系式。【例2】双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s。求双曲线的离心率e的取值范围。解：直线l的方程为，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a1，得到点（1，0）到直线l的距离， 同理得到点（-1，0）到直线l的距离，。由s，得，即。于是得，即。解不等式，得。由于e10，所以e的取值范围是。【例3】设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使，且AF1=3AF2，求双曲线的离心率。解：又AF1=3AF2，即，即。题型三 直线与双曲线的位置关系方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组，即，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。 2、直线与双曲线相交所截得的弦长：yxOBAC【例4】如图，已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，如果，且曲线E上存在点C，使，求（1）曲线E的方程；（2）直线AB的方程；（3）m的值和ABC的面积S。解：由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支， 且，a=1，易知。故直线E的方程为，(2)设, ,由题意建立方程组消去y，得。又已知直线与双曲线左支交于两点A、B，有解得。又 依题意得，整理后得，或。但，。故直线AB的方程为。（3）设，由已知，得，。又，点。将点C的坐标代入曲线E的方程，的，得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。，C点的坐标为，C到AB的距离为，ABC的面积。一、 抛物线高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。（一） 知识归纳 方程 图形顶点 （0，0）对称轴 x轴 y轴焦点离心率 e=1准线（二）典例讲解题型一 抛物线的定义及其标准方程方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为或。【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。（1）抛物线的焦点是双曲线的左顶点；（2）经过点A（2，3）；（3）焦点在直线x-2y-4=0上；（4）抛物线焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，AF=5.解：（1）双曲线方程可化为，左顶点是（-3，0）由题意设抛物线方程为且，p=6.方程为（2）解法一：经过点A（2，3）的抛物线可能有两种标准形式：y22px或x22py 点A（2，3）坐标代入，即94p，得2p点A（2，3）坐标代入x22py，即46p，得2p所求抛物线的标准方程是y2x或x2y解法二：由于A（2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为或，代入A点坐标求得m=，n=-，所求抛物线的标准方程是y2x或x2y（3）令x=0得y=2，令y=0得x=4， 直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。焦点为（0，-2），（4，0）。抛物线方程为或。（4）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为，A（m，-3），由抛物线定义得，又，或，故所求抛物线方程为或。题型二 抛物线的几何性质方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l的距离处理，例如若P（x0，y0）为抛物线上一点，则。2、若过焦点的弦AB，则弦长，可由韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。【例6】设P是抛物线上的一个动点。（1） 求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；（2） 若B（3，2），求的最小值。解：（1）抛物线焦点为F（1，0），准线方程为。P点到准线的距离等于P点到F（1，0）的距离，yxAOPF问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A（-1，1）的距离与P到F（1，0）的距离之和最小。显然P是AF的连线与抛物线的交点，最小值为（2）同理与P点到准线的距离相等，如图：过B做BQ准线于Q点，交抛物线与P1点。，。的最小值是4。题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。【例7】已知抛物线yx2，动弦AB的长为2，求AB的中点纵坐标的最小值。分析一：要求AB中点纵坐标最小值，可求出y1y2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到y1、y2是梯形ABCD的两底，这样使得中点纵坐标y成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x,y)由抛物线方程yx2知焦点,准线方程，设点A、B、M到准线的距离分别为|AD1|、|BC1|、|MN|，则|AD1|BC1|2|MN|，且，根据抛物线的定义，有|AD1|AF|、|BC1|BF|,|AF|BF|AB|2，,即点M纵坐标的最小值为。分析二：要求AB中点M的纵坐标y的最小值，可列出y关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值。解法二：设抛物线yx2上点A(a,a2),B(b,b2)，AB的中点为M(x，y)，则|AB|2，(ab)2(a2b2)4，则(ab)24ab(a2b2)24a2b24则2xab,2ya2b2,得ab2x2y,4x24(2x2y)4y24(2x2y)4整理得即点M纵坐标的最小值为3/4。练习：1、以y=x为渐近线的双曲线的方程是（） 、3y22x2=6 、9y28x2=1 C、3y22x2=1 D、9y24x2=36【答案D】解析：A的渐近线为，B的渐近线为 C的渐近线为，只有D的渐近线符合题意。2、若双曲线的左支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为（ ） A、 B、 C、 D、2【答案A】解析：P在双曲线上， 即（a+b）（a-b）=1 又P（a，b）到直线y=x的距离为 且 即 a+b=3、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x轴，焦点在直线上，那么抛物线的方程是（）A、 B、C、 D、【答案C】解析：令x=0得y=3，令y=0得x=4， 直线与坐标轴的交点为（0，-3），（4，0）。焦点为（0，-3），（4，0）。抛物线方程为或。4、若抛物线y=x2上一点P到焦点F的距离为5，则P点的坐标是A.（4，4）B.（4，4） C.（，） D.（，）【答案B】解析：抛物线的焦点是（0，1），准线是， P到焦点的距离可以转化为到准线的距离。 设P（x，y），则y=4， 5、若点A的坐标为（3，2），为抛物线的焦点，点是抛物线上的一动点，则 取得最小值时点的坐标是 （ C ）A（0，0） B（1，1） C（2，2） D【答案C】解析：抛物线焦点为F（1，0），准线方程为。P点到准线的距离等于P点到F（1，0）的距离，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A（3，2）的距离与P到F（1，0）的距离之和最小。显然P是A到准线的垂线与抛物线的交点，P的坐标为（2，2）6、已知A、B是抛物线上两点，O为坐标原点，若OA=OB，且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（ ）A、x=p B、x=3p C、x=p D、x=p【答案D】解析：设A（，y），B（，-y）， F（p，0）是AOB的垂心， 整理得 7、过点P（4，1），且与双曲线只有一个公共点的直线有 条。 【答案】两条 解析：因为P（4，1）位于双曲线的右支里面，故只有两条直线与双曲线有一个公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。 这两条直线是：和8、双曲线C与双曲线有共同的渐近线，且过点，则C的两条准线之间的距离为 。【答案】 解析：设双曲线C的方程为， 将点A代入，得k=。 故双曲线C的方程为： ，b=2, 所以两条准线之间的距离是。9、已知抛物线，一条长为4P的弦，其两个端点在抛物线上滑动，则此弦中点到y轴的最小距离是 【答案】 解析：设动弦两个端点为A、B，中点为C，作AA，BB，CC垂直于准线的垂线，垂足分别为A、 B、 C，连接AF、BF，由抛物线定义可知，AF=AA， BF=BB CC是梯形ABBA的中位线 CC= = =2p 当AB经过点F时取等号，所以C点到y轴的距离最小值为。10、抛物线的一条弦的中点为M，则此弦所在的直线方程是 。【答案】2x-y+1=0 解析：设此弦所在的直线方程为， 与抛物线的交点坐标分别是A(x1,y1),B(x2,y2), 则 将的方程代入抛物线方程整理得 由韦达定理得解得此直线方程为 即2x-y+1=011、已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的方程。解：由题意知， 又 12、已知双曲线的离心率，过点和B（a，0）的直线与原点的距离为。（1）求双曲线的方程；（2）直线与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围。解：（1）由题设，得解得，双曲线的方程为。（2）把直线方程代入双曲线方程，并整理得因为直线与双曲线交于不同的两点， 设，则，设CD的中点为，其中，则，依题意，APCD，整理得 将式代入式得 m4或m0又，即m的取值范围为m4或。13、已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程.（12分）解：（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，解得p=16. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F（8，0）是ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且，设点M的坐标为，则，解得，所以点M的坐标为（11，4）（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为： 由，消x得，所以，由（2）的结论得，解得BC所在直线的方程是即。14、如图, 直线y=x与抛物线y=x24交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=5交于Q点. （1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含