高中数学 黄金100题系列 第73题 椭圆中的基本问题 理

第73题 椭圆中的基本问题I题源探究黄金母题【例1】如图，圆的半径为，是圆内的一个定点，是圆上任意一点线段AP的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？【解析】连接，由于线段AP的垂直平分线和半径相交于点，则，则，由于为圆内一点，则，根据椭圆定义，点的轨迹是以为焦点的椭圆精彩解读【试题来源】人教版A版选修2-1P49习题21A组T7【母题评析】定义法是求轨迹的一种方法，本题动点满足到两个定点距离之和是一个常数（大于两定点距离），符合椭圆定义，可以利用定义法求出动点的轨迹同理，符合圆、双曲线、抛物线的定义也是如此利用定义不仅可以求轨迹，也可以解决很多相关问题，如求曲线方程、求离心率等，因此在解决圆锥曲线问题时要时刻牢记“勿忘定义”【思路方法】根据题意找出动点是否符合圆锥曲线的定义，如圆的定义，椭圆、双曲线、抛物线的定义，考虑问题注意运用线段的垂直平分线性质，两圆内切、外切的条件等II考场精彩真题回放【例1】【2017高考浙江卷】椭圆的离心率是（ ）AB C D【答案】B【解析】，故选B【例2】【2017新课标III】已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 （ ）AB C D【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点 ，半径为 ，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：，整理可得，即，从而 ，椭圆的离心率，故选A【命题意图】这类题主要考查椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质等【考试方向】高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：（1）根据椭圆的定义求椭圆的标准方程（选择、填空，解答题第一问，常与椭圆性质、其它圆锥曲线和直线等综合考察）；（2）椭圆性质的初步运用（选择、填空、解答题第一问）；（3）求椭圆中距离、周长或者面积等；（4）求直线与椭圆相交时弦长、中点轨迹（解答题第二问）；（5）确定椭圆中的弦长、式子的定值问题，确定与椭圆有关的曲线经过的定点问题（解答题第二问）；（6）求椭圆中的弦长（或其它量）的最值或者范围（解答题第二问）【难点中心】1利用定义解题，是数学常见题，灵活应用定义，一方面考查对定义的理解，另一方面体现在灵活应用的“活”字上，利用定义解题的题型很多，涉及求离心率，求轨迹，求焦三角形的周长、面积等2解决椭圆的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等【例3】【2016高考新课标II】已知，是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，与轴垂直，则E的离心率为 （ ）A. B C D2【解析】离心率，故选A【例4】【2017高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为8点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的交点在椭圆上，求点的坐标F1 O F2xy(第17题)【答案】（1）；（2）【解析】（1）设椭圆的半焦距为椭圆的离心率为，两准线之间的距离为8，联立得，故椭圆E的标准方程为（2）解法一：由（1）知从而直线的方程： 直线的方程： 由，解得，点在椭圆上，由对称性，得，即或因此点P的坐标为解法二：设，则，由题意得，整理得，点在椭圆上，故点的坐标是解法三（参数方程）：设，则直线方程分别为联立解得又在椭圆上，整理得又点的坐标是解法四（秒杀技）：由已知得，故这四个点共圆若四点共圆，则圆以为直径，方程为，但它与椭圆无交点，故应该是四点共圆（即在以为直径的圆上），从而关于轴对称设，则，且是圆与椭圆的交点，又在此圆上，解得（注意）3涉及直线与椭圆的位置关系的问题，只要联立直线与椭圆的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量等于“中点弦问题”，可以利用“点差法”处理III理论基础解题原理考点1 椭圆的定义椭圆的概念（1）文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距（2）代数式形式：集合若，则集合P为椭圆；若，则集合P为线段；若，则集合P为空集考点2 椭圆的标准方程1椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，2满足条件：考点3 椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴及原点对称顶点长轴顶点 ，短轴顶点长轴顶点 ，轴顶点焦点焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度较小，往往以椭圆、抛物线、双曲线为载体，考查圆锥曲线的定义、性质等基本知识椭圆问题借助定义，结合试题所给其它条件解题，特别是在焦三角形中，经常利用三角形的边角关系（正弦定理、余弦定理、有时利用勾股定理、面积公式）解题，注意之间的联系，灵活应用定义解题椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线，在高考中出现的次数也最多，主要考查椭圆的定义、性质、方程，在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题【易错指导】1判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小2注意椭圆的范围，在设椭圆上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因3学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：（1）椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为ac)，过焦点垂直于长轴的通径长为等（2）设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当xa时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处（3）椭圆上任意一点P(x，y)(y0)与两焦点F1(c，0)，F2(c，0)构成的PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(ac)（4）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2b2c24重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征V举一反三触类旁通考向一 椭圆的定义与焦点三角形【例1】设是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，_【答案】【解析】由椭圆方程可知，即，因为，所以，所以，因为，解得因为，所以【例2】(2018浙江省名校联考)已知F1，F2是椭圆1的两个焦点，过点F2作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，则F1AB的周长为_【名师点睛】1涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解2涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解3应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y0)与两焦点F1(c，0)，F2(c，0)构成的PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(ac)（2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2b2c2【例3】【2018江苏扬州模拟】已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是_【答案】椭圆【跟踪练习】1已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为_【答案】2已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且若PF1F2的面积为9，则b_【答案】3考向二 椭圆的标准方程【例4】已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2离心率为，过F2的直线l交C与A，B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为_【答案】【解析】由椭圆的定义可得，又因为，所以，解得，又因为，所以， ，所以椭圆方程为【例5】求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1）长轴是短轴的3倍且经过点；（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(，)【答案】（1）或；（2）或；(3)1（3）设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn)椭圆经过点P1，P2，点P1，P2的坐标适合椭圆方程则两式联立，解得所求椭圆方程为1【名师点睛】1求椭圆标准方程的方法求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 (A0，B0且AB)，这种形式在解题中更简便2椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量等之间的关系，并能熟练地应用【温馨提醒】1用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：（1）作判断：根据条件判断焦点的位置（2）设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 （3）找关系：根据已知条件，建立关于的方程组（4）求解，得方程2（1）方程与有相同的离心率（2）与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便【跟踪练习】1【湖北省八校2018届第一次联考】如图，已知椭圆的中心为原点，为的左焦点， 为上一点，满足且，则椭圆的方程为（）A B C D【答案】C考向三 椭圆的几何性质（离心率、通径等）【例6】椭圆上一点关于原点的对称点为，为其左焦点，若，设，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D【例7】【2018福建厦门模拟】设，分别是椭圆的左、右焦点，过 的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【解析】由条件，而，为等边三角形，而周长为4a，等边三角形的边长为，在焦点三角形中，即，【例8】设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若且的最小内角为，则C的离心率为_【解析】不妨设，则，所以，因为，所以，所以【跟踪练习】1【2018贵州贵阳高中高三8月摸底考试】椭圆的左顶点为，右焦点为，过点且垂直于轴的直线交于两点，若，则椭圆的离心率为( )A B C D【答案】A ，据此得到关于离心率的方程： ，分解因式有： ，结合椭圆离心率的取值范围可得椭圆的离心率，故选A2【2018重庆一中11月月考】已知椭圆的左、右焦点分别为， ， 是椭圆上一点， 是以为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意可得PF2=F1F2=2c，再由椭圆的定义可得 PF1 =2a-PF2=2a-2c设PF2F1 = ，则，PF1F2中，由余弦定理可得 cos= 由-1cos可得 3e2+2e-10，e，由cos，可得 2aca2，e=，综上，故选D3已知椭圆短轴的端点、，长轴的一个端点为，为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若的斜率之积等于，则到直线的距离为_【答案】4【2018河南师大附中高三8月开学考试】椭圆：的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】设为右焦点，则，因此椭圆的离心率为【方法点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)5【2018河南八市重点高中高三第一次测评】已知圆，定点为圆上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，设点的轨迹为曲线；（）求曲线的方程；（）若经过的直线交曲线于不同的两点，（点在点，之间），且满足，求直线的方程【答案】（）（）（）设当直线斜率存在时，设直线的斜率为则直线的方程为： ，整理得： ，由，解得： -又，由，得，结合得，即，解得直线的方程为： ，当直线斜率不存在时，直线的方程为与矛盾直线的方程为： 6【2018湖南岳阳一中高三上学期第一次月考】已知点是直线与椭圆的一个公共点， 分别为该椭圆的左右焦点，设取得最小值时椭圆为（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）已知为椭圆上关于轴对称的两点， 是椭圆上异于的任意一点，直线分别与轴交于点，试判断是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由【答案】(1) ；（2） （2）设，且， 【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题，属于难题探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值7【2018黑龙江大庆实验中学高三上学期期初考试】已知椭圆的右焦点，且经过点，点是轴上的一点，过点的直线与椭圆交于两点（点在轴的上方）（1）求椭圆的方程；（2）若，且直线与圆相切于点，求的长【答案】（1）（2），三者消得，最后关于的解方程组得， ，根据切线长公式可得的长试题解析：（1）由题意知，即，又，故，椭圆的方程为（2）设，直线，由，有，由，由韦达定理得，由，则，化简得，原点到直线的距离， 考向四 直线与椭圆位置关系【例9】【2018黑龙江省齐齐哈尔模拟】已知椭圆，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，其中点是椭圆的上顶点，椭圆的左顶点为，直线分别与直线相交于两点则（ ）A B C D 【答案】B本题选择B选项【跟踪练习】1【2018南京市联考】已知椭圆： 的右焦点为，过作直线（不过原点）交椭圆于两点，若的中点为，直线交椭圆的右准线于（1）若直线垂直轴时， ，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的离心率，当直线斜率存在时设为，直线的斜率设为，试求的值2【2018四川成都一诊】已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足（1）求出动点的轨迹对应曲线的标准方程；（2）直线与曲线交于两点， ，试问：当变化时，是否存在一直线，使得面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由（2）由方程组得设则所以因为直线过点，所以的面积，令则不成立，不存在直线满足题意考向五 与椭圆有关的最值、取值范围问题【例10】设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最大值为_【跟踪练习】1【2018浙江名校协作体模拟】设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A2已知椭圆的左，右焦点为，离心率为是椭圆上一点，满足，点在线段上，且若，则（ ）A B C D【答案】C3已知，M(x0，y0)是椭圆C：+y21上的一点，则的最小值= 【答案】 【注意问题】因为，所以当时，当时，4【2018安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上学期第一次联考】已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点（1）求动点的轨迹的方程；（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求的取值范围【答案】(1) ；(2) 试题解析：（1)依题，所以 (为定值)， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，所以点轨迹的方程是 ，因为直线与椭圆相切，所以，所以，同理，所以 ， (当且仅当时，不等式取等号），所以，即，由可知， 5【2018安徽合肥高三调研性检测】已知为椭圆上的动点，过点作轴的垂线段， 为垂足，点满足（）求动点的轨迹的方程；（）若两点分别为椭圆的左右顶点， 为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于点，直线的斜率分别为，求的取值范围【答案】（）动点的轨迹的方程为 （） 求出，进而借助且，及在和都是单调减函数，求出的范围为： 解：（）设依题意，且，即，则有又为椭圆上的点，可得，即，即动点的轨迹的方程为 6如图，在平面直角坐标系中，椭圆W： 的离心率为，直线l：y2上的点和椭圆W上的点的距离的最小值为1() 求椭圆W的方程；() 已知椭圆W的上顶点为A，点B，C是W上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F记直线与的斜率分别为， 求证： 为定值； 求CEF的面积的最小值证法二：直线AC的方程为， 由得，解得，同理，因为B，O，C三点共线，则由，整理得，所以 直线AC的方程为，直线AB的方程为，不妨设，则，令y2，得，而，所以，CEF的面积 由得，则 ，当且仅当取得等号，所以CEF的面积的最小值为7如图，过椭圆： 的左右焦点分别作直线， 交椭圆于与，且（1）求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时， 为定值；（2）求四边形面积的最大值（2）当的倾斜角为时， 与重合，舍去当的倾斜角不为0时，由对称性得四边形为平行四边形， ，设直线的方程为，代入，得显然， ， 所以，设，所以， 所以当且仅当即时等号成立，所以所以平行四边形面积的最大值为8已知点是长轴长为的椭圆： 上异于顶点的一个动点， 为坐标原点， 为椭圆的右顶点，点为线段的中点，且直线与的斜率之积恒为（1）求椭圆的方程；（2）设过左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，点横坐标的取值范围是，求的最小值设， 中点，的垂直平分线方程为，令，得，考向六 椭圆中的定点、定值、定直线及存在性问题【例11】【2018辽