高考数学二轮复习 第1部分 知识专题突破 专题10 平面解析几何学案

专题十平面解析几何命题观察高考定位(对应学生用书第44页)1(2016江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距是_2a27，b23，c2a2b27310，c，2c2.2(2016江苏高考)如图101，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0) 的右焦点，直线y 与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_图101由题意得B，C，0，因此c22203c22a2e.3(2015江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_(x1)2y22直线mxy2m10经过定点(2，1)当圆与直线相切于点(2，1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2(12)2(01)22.4(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是_2如图所示，双曲线y21的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)，所以|F1F2|4.双曲线y21的右准线方程为x，渐近线方程为yx.由得P.同理可得Q.|PQ|，S四边形F1PF2Q|F1F2|PQ|42.5(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_ 【导学号：56394068】5，1法一：因为点P在圆O：x2y250上，所以设P点坐标为(x，)(5x5)因为A(12,0)，B(0,6)，所以(12x，)或(12x，)，(x,6)或(x,6)因为20，先取P(x，)进行计算，所以(12x)(x)()(6)20，即2x5.当2x50，即x时，上式恒成立；当2x50，即x时，(2x5)250x2，解得x1，故x1.同理可得P(x，)时，x5.又5x5，所以5x1.故点P的横坐标的取值范围为5，1法二：设P(x，y)，则(12x，y)，(x,6y)20，(12x)(x)(y)(6y)20，即2xy50.如图，作圆O：x2y250，直线2xy50与O交于E，F两点，P在圆O上且满足2xy50，点P在上由得F点的横坐标为1，又D点的横坐标为5，P点的横坐标的取值范围为5，16(2016江苏高考) 如图102，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)图102 (1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围【导学号：56394069】解圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心M到直线l的距离d.因为BCOA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为A(2,4)，T(t,0)，所以因为点Q在圆M上，所以(x26)2(y27)225.将代入，得(x1t4)2(y13)225.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆x(t4)2(y3)225上，从而圆(x6)2(y7)225与圆x(t4)2(y3)225有公共点，所以5555，解得22t22.因此，实数t的取值范围是22，22命题规律(1)题量稳定：解析几何在高考试卷中试题大约出现3个题目左右，其中填空题占两道，解答题占一道；其所占平均分值为22分左右，所占平均分值比例约为14%.(2)整体平衡，重点突出：重点内容重点考，直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是高考命题的重点主要集中在如下几个类型：求曲线方程(类型确定，甚至给出曲线方程)；直线、圆和圆锥曲线间的交点问题(含切线问题)；与圆锥曲线定义有关的问题(涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等)；与曲线有关的最值问题(含三角形和四边形面积)；与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)；探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征(很少)主干整合归纳拓展(对应学生用书第45页)第1步 核心知识再整合1直线的方程点斜式：yy1k(xx1); 截距式：ykxb；两点式：； 截距式：1；一般式：AxByC0，其中A、B不同时为0.2两条直线的位置关系(1)两直线平行两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在；(2)两直线垂直两直线的斜率之积为1或一直线斜率不存在，另一直线斜率为零；(3)与已知直线AxByC0(A0，B0)平行的直线系方程为AxBym0(Cm)；(4)若给定的方程是一般式，即l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20，则有下列结论：l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20.(5)两平行直线间距离公式：AxByC10(A0，B0)与AxByC20(A0，B0，C1C2)的距离d.3圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为，半径为r.4直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理(2)两个公式：点到直线的距离公式d，弦长公式|AB|2(弦心距d)5圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d为M点到准线的距离)6圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：1(ab0)(焦点在x轴上)或1(ab0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：1(a0，b0)(焦点在x轴上)或1(a0，b0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p0)7圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e.(2)双曲线：e；渐近线方程：yx或yx；(3)抛物线：设y22px(p0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)为抛物线上的点，F为其焦点焦半径|CF|x1；过焦点的弦长|CD|x1x2p；若直线CD过焦点，则x1x2，y1y2p2.8直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若0，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若0，则直线与椭圆相离(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2bxc0(或ay2byc0)若a0，当0时，直线与双曲线相交；当0时，直线与双曲线相切；当0时，直线与双曲线相离 .若a0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线的方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2bxc0(或ay2byc0)当a0时，用判定，方法同上当a0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点9有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|x2x1|或|P1P2|y2y1|，其中求|x2x1|与|y2y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2x1|，|y2y1|.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)10弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算第2步 高频考点细突破直线方程【例1】已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是_解析由题意，m8，所以直线方程为6x8y140，即3x4y70，d2.答案2规律方法(1)若给定的方程是一般式，即l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20，则有下列结论：l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10；l1l2A1A2B1B20. 给定两条直线l1：yk1xb1和l2：yk2xb2，则有下列结论：l1l2k1k2且b1b2；l1l2k1k21；(2)求直线方程就是求出确定直线的几何要素，即直线经过的点和直线的倾斜角，当直线的斜率存在时，只需求出直线的斜率和直线经过的点即可对于直线的点斜式方程和两点式方程，前者是直线的斜率和直线经过的一点确定直线，后者是两点确定直线举一反三已知直线l1：ax(a2)y10，l2：xay20.若l1l2，则实数a的值是_0或3由题意得：aa(a2)0a0或a3.圆的方程及应用【例2】(江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研) 如图103所示，已知圆A的圆心在直线y2x上，且该圆存在两点关于直线xy10对称，又圆A与直线l1：x2y70相切，过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.图103(1)求圆A的方程；(2)当|MN|2时，求直线l的方程；(3)()是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由. 【导学号：56394070】解(1)由圆存在两点关于直线xy10对称知圆心A在直线xy10上，由得A(1,2)，设圆A的半径为R，因为圆A与直线l1：x2y70相切，所以R2，所以圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0，连接AQ(图略)，则AQMN，|MN|2，|AQ|1，由|AQ|1，得k，直线l的方程为3x4y60，所求直线l的方程为x2或3x4y60.(3)AQBP，0，()22()2()2，当直线l与x轴垂直时，得P，则，又(1,2)，()2210.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)，由解得P，()22210，综上所述，()是定值，且为10.规律方法求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数其一般步骤：根据题意选择方程的形式：标准方程或一般方程；利用条件列出关于a，b，R，或D，E，F的方程组；解出a，b，R，或D，E，F的值，代入标准方程或一般方程，此外，根据条件要尽量减少参数设方程，这样可减少运算量举一反三(2017江苏省淮安市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x4)2(y8)21，圆C2：(x6)2(y6)29.若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是_x2y281由题意，圆C与圆C1和圆C2的公共弦分别为圆C1和圆C2的直径，设C(x,0)，则(x4)2(08)21(x6)2(06)29，x0，圆C的方程是x2y281.直线与圆的位置关系【例3】(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是_解析由圆的方程得：圆心(2,3)，半径r2，圆心到直线ykx3的距离d，|MN|2，222，变形得：43，即4k244k23k23，解得：k，则k的取值范围是.答案规律方法直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与半径r的关系确定，dr相切；dr时相离解有关直线与圆的相交问题要灵活运用圆的几何性质，特别是半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，满足勾股定理圆的切线问题一般利用dr求解，但要注意切线斜率不存在的情形，与圆有关的最值，范围问题要注意数形结合思想的运用直线与圆中常见的最值问题：圆外一点与圆上任一点的距离的最值直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题两圆相离，两圆上点的距离的最值举一反三(2017江苏省无锡市高考数学一模)在平面直角坐标系xOy中，过点M(1,0)的直线l与圆x2y25交于A，B两点，其中A点在第一象限，且2，则直线l的方程为_. 【导学号：56394071】xy10由题意，设直线xmy1与圆x2y25联立，可得(m21)y22my40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y22y1，y1y2，y1y2，联立解得m1，直线l的方程为xy10.圆锥曲线的定义及标准方程【例4】(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)如图104，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：图1041(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(3,1)在椭圆上，PF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；若F1QF2，求QF1QF2的值(2)直线yxk与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值解(1)由条件可知1，c2，又a2b2c2，所以a212，b24，所以椭圆的标准方程为1.当时，有所以QF1QF2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得4x26kx3k2120，由根与系数的关系及直线方程可知：x1x2，x1x2，y1y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点，则x1x2y1y2k260，解得k，此时1200，满足条件，因此k.规律方法(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求，双曲线的定义中要求0，n0)，双曲线的标准方程可设为1(mn0)，这样可以避免讨论和繁琐的计算举一反三(江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研)已知椭圆C：1的左焦点为F，点M是椭圆C上一点，点N是MF的中点，O是椭圆的中点，ON4，则点M到椭圆C的左准线的距离为_设点M到右焦点的距离为MF，则MF248，由定义可知该点到左焦点的距离MF1082，由圆锥曲线的统一定义可得点M到椭圆C的左准线的距离为d.圆锥曲线的几何性质【例5】(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)已知抛物线y216x的焦点恰好是双曲线1的右焦点，则双曲线的渐近线方程为_解析根据题意，抛物线的标准方程：y216x，其焦点坐标为(4,0)，则双曲线1的右焦点坐标为(4,0)，则c4，有12b216，解可得b2，则双曲线的方程为1，则该双曲线的渐近线方程yx.答案yx规律方法求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求的值；在双曲线中由于e212，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到关于a，c的不等式，由这个不等式确定a，c的关系举一反三(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图105，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：1(ab0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点若B2FAB1，则椭圆C的离心率是_图105由题意得1b2aca2c2ac1e2e,0e1e.直线与圆锥曲线的位置关系【例6】(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)如图106，椭圆C：图1061(ab0)，圆O：x2y2b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：ykxb分别交圆O、椭圆C于不同的两点P、Q，设.(1)若点P(3,0)，点Q(4，1)，求椭圆C的方程；(2)若3，求椭圆C的离心率e的取值范围 【导学号：56394072】解(1)由P(3,0)在圆O：x2y2b2上，可得b3.又点Q在椭圆C上，得1，解得a218.椭圆C的方程为1；(2)联立得x0或xP，联立得x0或xQ.，3，即k24e21.k20，4e21，得e或e.又0e1，e1.规律方法(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若0，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若0时，直线与双曲线相交；当0时，直线与双曲线相切；当0)的过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.同样可得抛物线y22px，x22py，x22py类似的性质(4)解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|y1y2|，而|x1x2|.举一反三(2017江苏省泰州市高考数学一模)如图107，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.图107(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y于点Q，求的值解(1)由题意得，c1，解得a，c1，b1.所以椭圆的方程为y21.(2)由题意知OP的斜率存在当OP的斜率为0时，OP，OQ，所以1.当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为ykx.由得(2k21)x22，解得x2，所以y2，所以OP2.因为OPOQ，所以直线OQ的方程为yx.由得xk，所以OQ22k22.所以1.综上，可知1.圆锥曲线中的范围问题【例7】(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连接PF1并延长交椭圆于另一点Q，设.(1)若点P的坐标为，且PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；(2)若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e，求实数的取值范围解(1) 因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，所以PF1PF2QF1QF22a，从而PQF2的周长为4a.由题意，得4a8，解得a2.因为点P的坐标为，所以1，解得b23.所以椭圆C的方程为1.(2)法一：因为PF2x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y00.设Q(x1，y1)因为P在椭圆上，所以1，解得y0，即P.因为F1(c,0)，所以，(x1c，y1)由，得2c(x1c)，y1，解得x1c，y1，所以Q.因为点Q在椭圆上，所以2e21，即(2)2e2(1e2)2，(243)e221，因为10，所以(3)e21，从而3.因为e，所以e2，即5.所以的取值范围为.法二因为PF2x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y00.因为P在椭圆上，所以1，解得y0，即P.因为F1(c,0)，故直线PF1的方程为y(xc)由得(4c2b2)x22b2cxc2(b24a2)0.因为直线PF1与椭圆有一个交点为P.设Q(x1，y1)，则x1c，即cx1.因为，所以3.因为e，所以e2，即5.所以的取值范围为.规律方法(1)求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围(2)求解特定字母取值范围问题的常用方法：构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解举一反三(2017江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知椭圆C：1(a0，b0)的左焦点为F(1,0)，左准线为x2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l交椭圆C于A，B两点若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足，求证：为常数；若OAOB(O为原点)，求AOB的面积的取值范围解(1) 椭圆C：1(a0，b0)的左焦点为F(1,0)，左准线为x2，由题设知c1，2，a22c，a22，b2a2c21，椭圆C的标准方程为y21.(2)由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，则P(0，k)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l代入椭圆得x22k2(x1)22，整理，得(12k2)x24k2x2k220，x1x2，x1x2，由，知，4(定值)为常数4.当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，AOB的面积SAOB，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：ykx，OB：yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将ykx代入椭圆C，得到x22k2x22，x，y，同理，x，y，AOB的面积SAOB，令tk211，)，则SAOB，令(0,1，则SAOB.综上所述，AOB的面积的取值范围是.圆锥曲线中的存在性问题【例8】(淮安市20142015学年度第二学期高二调查测试)已知椭圆M：1(ab0)，点F1(1,0)、C(2,0)分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l(不与x轴重合)交M于A，B两点(1)求椭圆M的标准方程；(2)若A(0，)，求AOB的面积；(3)是否存在直线l，使得点B在以线段F1C为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)由F1(1,0)、C(2,0)得：a2，b，所以椭圆M的标准方程为1；(2)因为A(0，)，F1(1,0)，所以过A，F1的直线l的方程为：1，即xy0，解方程组得y1，y2，SABC1|y1y2|；(3)设B(x0，y0)(2x02)，则1.因为C(2,0)，F1(1,0)，所以(1x0，y0)(2x0，y0)23x0xyx3x050，解得：x02或10，又因为2x02，所以点B不在以F1C为直径的圆上，即不存在直线l，使得点B在以F1C为直径的圆上规律方法(1)求解存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程(2)解决存在性问题应注意以下几点：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径(3)解决存在性问题的解题步骤：第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)；第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论举一反三(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，P是动点，且POA的三边所在直线的斜率满足kOPkOAkPA.图108(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M.问：是否存在点P，使得PQA和PAM的面积满足SPQA2SPAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【导学号：56394073】解(1)设点P(x，y)kOPkOAkPA，(1)，化为yx2(x0且x1)即为点P的轨迹方程(2)假设存在点P(x1，x)，Q(x2，x)，使得PQA和PAM的面积满足SPQA2SPAM，如图所示，点M为线段AQ的中点，PQOA，得kPQkAO1.解得此时P(1,1)，Q(0,0)分别与A，O重合，因此不符合题意故假设不成立，此时不存在满足条件的点P.如图所示，当点M在QA的延长线时，由SPQA2SPAM，可得2，2，PQOA.由PQOA，可得kPQkAO1.设M(m，n)由2，2，可得：1x22(m1)，x12m，化为x1x23.联立解得此时，P(1,1)满足条件综上可知：P(1,1)满足条件.圆锥曲线中的定值问题【例9】(2017江苏省无锡市高考数学一模)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.图109(1)求该椭圆的方程；(2)过点D(，)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值解(1)由题意可知：椭圆1(ab0)，焦点在x轴上，2c1，c1，椭圆的离心率e，则a，b2a2c21，则椭圆的标准方程为y21；(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，由题意PQ的方程：yk(x)，则整理得：(2k21)x2(4k24k)x4k28k20，由根与系数的关系可知：x1x2，x1x2，则y1y2k(x1x2)2k2，则kAPkAQ，由y1x2y2x1k(x1)x2k(x2)x12kx1x2(k)(x1x2)，kAPkAQ1，直线AP，AQ的斜率之和为定值1.规律方法(1)解析几何中的定值问题是指某些几何量线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值(2)求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(3)定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量举一反三(江苏省南京市2017届高考三模)如图1010，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为点A，B，M是线段AB的中点，且b2.图1010(1)求椭圆的离心率；(2)若a2，四边形ABCD内接于椭圆，ABCD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值解(1)A(a,0)，B(0，b)，线段AB的中点M.(a，b)，.b2.b2b2，化为：a2b.椭圆的离心率e.(2)证明：由a2，可得b1，椭圆的标准方程为y21，A(2,0)，B(0,1)设直线BC的方程为yk2x1，联立化为：(14k)x28k2x0，解得xC，yC.即C.直线AD的方程为yk1(x2)，联立化为(14k)x216kx16k40，2xD，解得xD，yD，可得D，kCD，化为：116kk2k12k28k1k8k2k0.(4k1k24k14k21)0，k1k2.圆锥曲线中的最值问题【例10】如图1011，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左，右顶点分别为A1(，0)，A2(，0)，若直线3x4y50上有且仅有一个点M，使得F1MF290.图1011(1)求椭圆C的标准方程；(2)设圆T的圆心T(0，t)在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点点P，Q分别为椭圆C和圆T上的一动点若0时，PQ取得最大值为，求实数t的值 【导学号：56394074】解(1)因为椭圆C：1(ab0)左，右顶点分别为A1(，0)，A2(，0)，所以a22.又因为直线3x4y50上恰存在一个点M，使得F1MF290，即以原点O为圆心，半径为rOF1c作圆O，使得圆O与直线3x4y50相切即可(图略)又圆心O到直线3x4y50的距离d1，所以c1，b2a2c21，所以椭圆C的标准方程为y21；(2)设P(x0，y0)，因为点P在椭圆上，所以有y1，因为圆T的圆心T(0，t)在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点，所以圆T的方程为x2(yt)2t21(t0)，由0得PQ2PT2QT2x(y0t)2(t21)，又y1，所以PQ2(y0t)2t21，当t1即t1时，当y01时，PQ取得最大值，因为PQ的最大值为，所以，解得t，又t1，故舍去当t1即0t1时，当y0t时，PQ取最大值，所以，解得t2，又0t1，所以t.综上，当t时，PQ的最大值为.规律方法(1)圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解(2)常见的几何方法有：直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度；圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|R，最小值为|PC|R(R为圆C半径)；过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过P点的直径，最短的弦为过P点且与经过P点直径垂直的弦；圆锥曲线上本身存在最值问题，如a.椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；b.双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；c.椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为ac，ac，ac与ac分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；d.抛物线中顶点与抛物线的准线距离最近(3)常用的代数方法有：a.利用二次函数求最值；b.通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；c.利用基本不等式求最值；d.利用导数法求最值；e.利用函数单调性求最值举一反三已知圆M：x2(y4)24，点P是直线l：x2y0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B.(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；(2)若PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；(3)求线段AB长度的最小值解(1)由题可知，圆M的半径r2，设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以MAP90，所以MP4，解得b0或b，所以P(0,0)或P.(2)设P(2b，b)，因为MAP90，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：(xb)22，即(2xy4)b(x2y24y)0，由解得或所以圆过定点(0,4)，.(3)因为圆N方程为(xb)22，即x2y22bx(b4)y4b0.圆M：x2(y4)24，即x2y28y120.得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为2bx(b4)y124b0，点M到直线AB的距离d.相交弦长即：AB244，b时，AB有最小值.第3步 高考易错明辨析1忽视直线斜率不存在的情况已知圆C的方程为x2y24，直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点若|AB|2，求直线l的方程错解方程可设为y2k(x1)，又设圆心到直线l的距离为d.由d2r22，得k，代入y2k(x1)，得y2(x1)，即3x4y50.所以直线l的方程为3x4y50.错解分析在利用直线的点斜式与斜截式解题时，要防止由于“无斜率”而漏解，本题就是忽略斜率不存在导致圆的切线方程只有一条正解(1)当直线l的斜率不存在时，画出图象可知，直线x1也符合题意(2)当直线l的斜率k存在时，其方程可设为y2k(x1)，又设圆心到直线l的距离为d.由d2r22，得k，代入y2k(x1)，得y2(x1)，即3x4y50.所以直线l的方程为3x4y50和x1.2忽略对直线与圆锥曲线位置关系的判断的情况已知双曲线x21，问过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由错解设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，因为A(1,1)为线段PQ的中点，所以将代入得x1x2(y1y2)，若x1x2，则直线l的斜率k2，所以符合题设条件的直线l存在，其方程为2xy10.错解分析由于点A(1,1)在双曲线外，过点A(1,1)的直线，不一定都与双曲线相交，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的正解设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，因为A(1,1)为线段PQ的中点，所以将代入得x1x2(y1y2)，若x1x2，则直线l的斜率k2，再由得2x24x30，根据80，说明所求直线不存在3忽略对定义的理解的情况已知圆O1：x2y21，圆O2：x2y210x90都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程错解圆O2：x2y210x90，即为(x5)2y216，所以圆O2的圆心为O2(5,0)，半径r24，而圆O1：x2y21的圆心为O1(0,0)，半径r11，设所求动圆圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，则r|O1M|1且r|O2M|4，所以|O1M|O2M|3，即3，化简得16x280x9y2640，即1为所求动圆圆心的轨迹方程错解分析上述解法将|O1M|O2M|3看成|O1M|O2M|3，误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致正解圆O2：x2y210x90，即为(x5)2y216，所以圆O2的圆心为O2(5,0)，半径r24，而圆O1：x2y21的圆心为O1(0,0)，半径r11，设所求动圆圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，则r|O1M|1且r|O2M|4，所以|O1M|O2M|3，即3，化简得16x280x9y2640，又因为|O1M|O2M|3，表示动点M到定点O1及O2的距离差为常数3.且|O1O2|53，点M的轨迹为双曲线右支，方程为1(x4)4忽略直线与双曲线的渐进线平行只有一个交点过点(0,3)作直线l，如果它与双曲线1只有一个公共点，则直线l的条数是_错解2错解分析在探讨直线与双曲线的位置关系时，可以考虑直线方程与双曲线方程的解的情况，但容易忽视直线与渐进线平行的特殊情况，这时构成的方程是一次的直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种其判定方法有两种：一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程ax2bxc0.若a0，0，直线与双曲线相交，有两个交点；若a0，直线与渐进线平行，有一个交点若a0，0，直线与双曲线相切，有且只有一