《函数的奇偶性》PPT课件.ppt

1.3.2函数的奇偶性 1.创设情景，观察图片: 一 新课引入 (1)已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象 。 解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4 f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1 f(-x)=(-x)2=x2 (2)已知f(x)=x3,求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x),并画出它的图象 解:f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3= -x3 思考 : 你发现了什么规律? f(-2)=f(2) f(-1)=f(1) f(-x)=f(x) f(-2)= - f(2) f(-1)= - f(1) f(-x)= - f(x) -xx f(- x) f(x ) -x f(-x) x f(x) x y o x y o ( x,y)(-x,y) (-x,- y) (x,y) 2 创设情景，观察函数图象: x o y -aa (a,f(a) ) (-a,f(-a) 偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个 函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数. 偶函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数. 二 新课 x o y (a,f(a) ) (-a,f(-a) -a a 奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个 函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数. 奇函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有 f( -x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫奇函数. 对奇函数、偶函数定义的说明: (1). 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 。 a ,b-b,-a x o （2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。 （3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们 就说函数f(x) 具有奇偶性。 练习 说出下列函数的奇偶性: 偶函数奇函数 奇函数奇函数 f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _ 奇函数 f(x)=x -2 _ 偶函数 f(x)=x5 _ f(x)=x -3 _ 说明：对于形如 f(x)=x n 的函数， 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。 例1. 判断下列函数的奇偶性 (1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2 解: f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x = -(x3+2x) 即 f(-x)= - f(x) f(x)为奇函数 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2 =2x4+3x2 f(x)为偶函数 定义域为R 解 : 定义域为R 即 f(-x)= f(x) 练习2. 判断下列函数的奇偶性 (2) f(x)=5 (1) f(x)=x- 1 x (3) f(x)=0 说明: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。 (5). f(x)=x2 x- 1 , 3 (7) f(x)= (8). f(x)= (4). f(x)=x+1 (9) f(-x)= 1-(-x)2 -x 1-x2 x - = 即f(-x)= - f(x) f(x) 为奇函数. 例2.判断函数f(x)= 的奇偶性。 |x+2|-2 1-x2 解 ： 1-x20 |x+2|2 -1x1 x0且x-4 -1x 1且x 0 定义域为-1,0) (0,1 1-x2 f(x)= (x+2)-2 1-x2 x = 先求定义域，看定义域是否关于原点对称; 再判断f(x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立 。 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤: 4奇函数的图象(如y=x3 )偶函数的图象(如 y=x2)y x oa a P/(-a ,f(-a) p(a ,f(a) -a y x o a P/(-a ,f(-a) p(a ,f(a) -a (-a,-f(a) (-a,f(a) 5 奇偶函数图象的性质: 奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数 的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数. 偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的 图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数. 注：奇、偶函数图象的性质可用于： 1) 简化函数图象的画法; 2) 判断函数的奇偶性; 3)由图象的对称特点应用奇、偶函数的性质. (3)奇函数的图象在其定义域内对称的区间上具有相 同的单调性；偶函数的图象在其定义域内对称的区 间上具有相反的单调性. o y x 例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的 图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。 练习 已知函数， 且f(-2)=10，则f(2)等于( ) A -26 B -18 C -10 D 10 注意：奇函数若在x=0处有定义，则一定有f(0)=0. 例4已知定义在R上的函数f(x)对一切x,y满足 f(x+y)=f(x)+f(y) （1）求证：f(x)是奇函数； （2）若f(-3)=a，试用a表示f(12) 例5 (1)已知f(x)是奇函数, 且当x0时, f(x)=x(x-2)， 求当x0时，f(x)的表达式。 (2) 已知f(x)是定义在-1，1上的偶函数,且 在0，1上为增函数，若f(1+m)f(2m),求 m的取值范围. 三课堂小结 1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)= f(x) f(x