高考数学 第2部分 必考补充专题 专题限时集训20 排列组合、二项式定理

专题限时集训(二十)排列组合、二项式定理(对应学生用书第157页) 建议A、B组各用时：45分钟A组高考题、模拟题重组练一、排列、组合1如图201，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()图201A24B18C12D9B从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有336(条)所以小明到老年公寓的最短路径条数为6318.2用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24B48 C60D72D第一步，先排个位，有C种选择；第二步，排前4位，有A种选择由分步乘法计数原理，知有CA72(个)3定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有()A18个B16个C14个D12个C由题意知：当m4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a10，a81.不考虑限制条件“对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C20(种)，其中存在k2m，a1，a2，ak中0的个数少于1的个数的情况有：若a2a31，则有C4(种)；若a21，a30，则a41，a51，只有1种；若a20，则a3a4a51，只有1种综上，不同的“规范01数列”共有20614(种)故共有14个故选C.4(2012浙江高考)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种B63种C65种D66种D满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有CC60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有560166(种)5某中学高三学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为() 【导学号：68334160】A484B472 C252D232B分两类，不选三班的同学，利用间接法，没有条件得选择3人，再排除3个同学来自同一班，有C3C208种；选三班的一位同学，剩下的两位同学从剩下的12人中任选2人，有CC264种根据分类计数原理，得208264472，故选B.6下列各式的展开式中x8的系数恰能表示从重量分别为1,2,3,4，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是() 【导学号：68334161】A(1x)(1x2)(1x3)(1x10)B(1x)(12x)(13x)(110x)C(1x)(12x2)(13x3)(110x10)D(1x)(1xx2)(1xx2x3)(1xx2x10)A从重量分别为1,2,3,4，10克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法是选一个，8克，一种方法，选两个，17,26,35，共3种方法，选三个，125，只有一种方法，其他不含1的三个的和至少是2348.四个以上的和都大于8，因此共有方法数为5.A中，x8的系数是1315(x8，xx7，x2x6，x3x5，xx2x5)，B中，x8的系数大于12345678，C中，x8的系数大于8(8x8的系数就是8)，D中，x8的系数大于C8(有四个括号里取x2，其余取1时系数为C)因此只有A是正确的，故选A.7(2017浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)660法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法由分步乘法计数原理，知共有CCA480(种)选法有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法由分步乘法计数原理，知共有CA180(种)选法所以依据分类加法计数原理知共有480180660(种)不同的选法法二：不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种，故至少有1名女生的选法有ACAC840180660(种)8(2014浙江高考)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)60把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有CA种分法，所以不同获奖情况种数为ACA243660.二、二项式定理9(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10B20C30D60C法一：(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.故选C.法二：(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC30.故选C.10(2014浙江高考)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)()A45B60C120D210C因为f(m，n)CC，所以f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.11已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a()A4B3 C2D1D(1x)5中含有x与x2的项为T2Cx5x，T3Cx210x2，x2的系数为105a5，a1，故选D.12已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，则a4_，a5_.164由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得a4C12C22C13C216，a5是常数项，所以a5C13C224.13(2016全国乙卷)(2x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写答案)10(2x)5展开式的通项为Tr1C(2x)5r()r25rCx5.令53，得r4.故x3的系数为254C2C10.14.5的展开式中x5的系数是80，则实数a_.2Tr1C(ax2)5rrCa5rx10r.令10r5，解得r2.又展开式中x5的系数为80，则有Ca380，解得a2.15(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.3设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)232，a3.16设二项式5的展开式中常数项为A，则A_.10Tr1C()5rrC(1)rx，令0，得r3，所以AC10.17已知对任意实数x，有(mx)(1x)6a0a1xa2x2a7x7，若a1a3a5a732，则m_. 【导学号：68334162】0设(1x)6b0b1xb2x2b6x6，则a1b0mb1，a3b2mb3，a5b4mb5，a7b6，所以a1a3a5a7(b0b2b4b6)m(b1b3b5)，又由二项式定理知b0b2b4b6b1b3b5(11)632，所以3232m32，m0.B组“87”模拟题提速练一、选择题1某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定：每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是()A70B98C108D120B可分为两类：选A，B，C中的一门，其它7科中选两门，有CC63；不选A，B，C中的一门，其它7科中选三门，有C35；所以共有98种，故选B.2在4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3()A20B15 C10D5DTr1C(ax6)4rrCa4rbrx247r，令247r3，得r3，则4ab320，ab35.3(2018杭州二模)某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中两个2元，两个3元(红包金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有()A36种B24种 C18种D9种C由题意可得丙、丁、戊中有1人没有抢到红包，且抢到红包的4人中有2人抢到2元红包，另2人抢到3元红包，则甲、乙两人都抢到红包的情况有CC18种，故选C.4七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有()A240种B192种 C120种D96种B不妨令乙丙在甲左侧，先排乙丙两人，有A种站法，再取一人站左侧有CA种站法，余下三人站右侧，有A种站法，考虑到乙丙在右侧的站法，故总的站法总数是2ACAA192，故选B.5某学校开设“蓝天工程博览课程”，组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有()AAA种BA54种CCA种DC54种D有两个年级选择甲博物馆共有C种情况，其余四个年级每个年级各有5种选择情况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有C54种，故选D.6在10的展开式中，含x2项的系数为()A10B30 C45D120C因为1010(1x)10C(1x)9C10，所以x2项只能在(1x)10的展开式中，所以含x2的项为Cx2，系数为C45，故选C.7(x2y)7的展开式中，系数最大的项是() 【导学号：68334163】A68y7B112x3y4C672x2y5D1 344x2y5C设第r1项系数最大，则有即即解得又rZ，r5，系数最大的项为T6Cx225y5672x2y5.故选C.8若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值是()A1B1 C0D2A令x1，则a0a1a4(2)4，令x1，则a0a1a2a3a4(2)4，(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a4)(a0a1a2a3a4)(2)4(2)41.二、填空题9若9的二项展开式的常数项是84，则实数a_. 【导学号：68334164】19的二项式展开式的通项为Tr1Carx93r，令93r0，即r3，常数项为T4Ca384a3，依题意，有84a384，a1.10如果n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是_21n的展开式的各项系数之和为n2n128，所以n7，所以n7，其展开式的通项为Tr1C(3x)7rrC37rx7r(x)r(1)rC37rx，由7r3，得r6，所以的系数是C(1)6321.11将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)480当C在第一或第六位时，有A120(种)排法；当C在第二或第五位时，有AA72(种)排法；当C在第三或第四位时，有AAAA48(种)排法所以共有2(1207248)480(种)排法12现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_472由题意，不考虑特殊情况，共有C种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C种取法，两种红色卡片，共有CC种取法，故所求的取法共有C4CCC5601672472.13已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8等于_180因为(1x)10(21x)10，所以a8等于C(2)2454180.14甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利72周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法