高考数学热点难点突破技巧第08讲立体几何探究点的位置的方法

第08讲：立体几何探究点的位置的方法【知识要点】一、立体几何中经常出现探究点的位置的习题，有些同学遇到这种类型的习题, 感到比较迷茫. 立体几何中探究点的位置的方法一般有三种：猜想证明法、直接探究法和设点解方程法.二、由于文科生没有空间向量，所以文科生一般不用设点解方程法，文科生一般选择猜想证明法和直接探究法. 【方法讲评】方法一猜想证明法使用情景点的位置刚好很特殊（中点或1:2等分点等），证明也比较方便.解题步骤一般先猜想特殊位置（中点，等分点等），再证明.【例1】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，侧面底面. 若.（1）求证：平面；（2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（3）求二面角的余弦值. 在底面中，因为，所以 ， 所以.又因为， 所以平面. （3）由（1）知，底面，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，则（0，0，1），(1,0,0)，(0,2,0),(1,1,0)，则=(1,1,-1),=(-1,1,0)，显然平面，所以为平面的一个法向量.设面的一个法向量=()，则=0且=0，取=1，则=1，=2，则.设二面角的大小为，由图可知，为锐角，所以 ，即二面角的余弦值为. 【点评】 (1)由于,所以观察联想取的中点试验证明，刚好又可以证明点满足条件，所以这种方法此时是可行的. （2）这种猜想证明法是有局限的，如果动点不是特殊点，那就不好处理，既浪费了考试的时间， 又给自己制造了紧张气氛 . 【反馈检测1】在长方体中，过，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为.（1）证明：直线平面； （2）求棱的长；（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由. 方法二直接探究法使用情景直接求解.解题步骤直接通过解三角形(正弦定理、余弦定理、直角三角函数和相似三角形) 等求解.【例2】如图,直三棱柱中，侧棱长为2，,是的中点，上是否存在点,交于点,且,如果存在，求线段的长. 【解析】假设上是否存在点，设 则. 【点评】（1）本题如果利用猜想证明法，猜想中点，但是本题恰好不是中点，所以显示出猜想证明法的局限性了. (2)本题利用的是直接探究法，直接通过解三角形（相似三角形）求得. 解三角形可以利用正弦定理、余弦定理、三角函数和相似三角形. 【反馈检测2】如图，四边形为矩形，平面，平面，且点在上(1)求证：；(2)求三棱锥的体积；(3)设点在线段上，且满足，试在线段上确定一点，使得平面. 方法三设点解方程法使用情景方法比较普遍，已知条件适合建立空间直角坐标系，适用于大多数题目 .（文科生一般不用此法，因为文科没有空间向量）解题步骤先设点,且，再用表示点的坐标，最后把点的坐标代入已知的某个条件等式求出的值，即得点的位置.【例3】如图，四棱柱中, 侧棱底面，为棱的中点. (1) 证明：；(2) 设点在线段上, 且直线与平面所成角的正弦值为, 求线段的长. (2) 设有.可取为平面的一个法向量.设为直线与平面所成角，则于是解得所以.【点评】(1)本题试验中点，发现证明不了，所以最好直接利用设点解方程组法.先设点,且，再用表示点的坐标，最后把点的坐标代入已知的某个条件等式求出的值，即得点的位置.(2)在设点时，要注意的范围，以免出现增解.(3)设点时，有时不需要设三个未知数，要结合实际情况，确定未知数的个数，未知数越少越好. 【反馈检测3】如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【反馈检测4】如图，的外接圆的半径为，所在的平面，且， （1）求证：平面平面（2）试问线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由高中数学热点难点突破技巧第08讲：立体几何探究点的位置的方法参考答案【反馈检测1答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）存在， （2）解：设，几何体的体积为， 即，即，解得的长为4（3）在平面中作交于，过作交于点，则因为，而，又， 且.为直角梯形，且高.【反馈检测2答案】(1)见解析；(2)见解析.(3)点为线段上靠近点的一个三等分点.【反馈检测2详细解析】 (3)解：在中，过点作交于点，在中过点作交于点，连结，则由，得.由，平面，平面，则平面.再由，平面，平面，得平面，所以平面平面.又平面，则平面.故当点为线段上靠近点的一个三等分点时，平面.【反馈检测3答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在, 【反馈检测3详细解析】（1)连结交于，连结,因为四边形为正方形，所以为的中点，又点为的中点，在中，有中位线定理有/，而平面，平面，所以，/平面. 依题意，以为坐标原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，则，所，易知为平面的法向量，设，所以平面的法向量为，所以，即，所以，取，则，又二面角的大小为，所以，解得.故在线段上是存在点，使二面角的大小为，且.【反馈检测4答案】（1）答案详见解析；（2）存在，且【反馈检测4详细解析】（1）C平面， 平面， =1， ，从而 的半径为，是直径， 又CD 平面，CD，故平面平面BCDE，平面平面（2）方法1：假设点存在，过点作于，连结，作于，连结平面平面，平面，为与平面所成的角 故，从而满足条件的点存在，且方法2：建立如图所示空间直角坐标系， 则：（4，0，0），（0，2，0），（0，0，4），（0，2，1），（0，0，0），则易知平面的法向量为，假设点存在，设，则，再