考研数三真题及解析.doc

Born to win1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1) 设,其中可微,则_.(2) 若,则_.(3) 差分方程的通解为_.(4) 若二次型是正定的,则的取值范围是_.(5) 设随机变量和相互独立且都服从正态分布,而和分别是来自总体的简单随机样本,则统计量服从_分布(2分),参数为_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 设,则当时,是的 ( )(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小(2) 若,在内,且,则在内有 ( )(A) , (B) ,(C) , (D) ,(3) 设向量组,线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )(A) , (B) ,(C) ,(D) ,(4) 设为同阶可逆矩阵,则 ( )(A) (B) 存在可逆矩阵,使(C) 存在可逆矩阵,使 (D) 存在可逆矩阵和,使(5) 设两个随机变量与相互独立且同分布：,则下列各式中成立的是 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题满分6分)在经济学中,称函数为固定替代弹性生产函数,而称函数为Cobb-Douglas生产函数(简称CD生产函数).试证明：但时,固定替代弹性生产函数变为CD生产函数,即有. 四、(本题满分5分)设有连续偏导数,和分别由方程和所确定,求.五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系(万元/吨),为销售量(单位：吨),商品的成本函数(万元).(1) 若每销售一吨商品,政府要征税(万元),求该商家获最大利润时的销售量；(2) 为何值时,政府税收总额最大.六、(本题满分6分)设函数在上连续、单调不减且,试证函数在上连续且单调不减(其中).七、(本题满分6分)从点作轴的垂线,交抛物线于点；再从作这条抛物线的切线与轴交于,然后又从作轴的垂线,交抛物线于点,依次重复上述过程得到一系列的点.(1) 求；(2) 求级数的和.其中为自然数,而表示点与之间的距离.八、(本题满分6分)设函数在上连续,且满足方程,求.九、(本题满分6分)设为阶非奇异矩阵,为维列向量,为常数.记分块矩阵，其中是矩阵的伴随矩阵,为阶单位矩阵.(1) 计算并化简；(2) 证明：矩阵可逆的充分必要条件是.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3；矩阵的属于特征值1,2的特征向量分别是.(1) 求的属于特征值3的特征向量；(2) 求矩阵.十一、(本题满分7分)假设随机变量的绝对值不大于1；在事件出现的条件下,在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求的分布函数.十二、(本题满分6分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行. 假设一游客在早晨八点的第分钟到达底层候梯处,且在上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.十三、(本题满分6分)两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度、数学期望和方差.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：由 可知 (2)【答案】 【分析】本题中是个常数,只要定出这个数问题就解决了.【解析】令,则,两边从0到1作定积分得,解得. 【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分表示单位圆在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用.(3)【答案】 【解析】对应的齐次差分方程是,显然有不恒等于零的特解.因方程的右端函数,可设非齐次差分方程的特解有形式,代入方程得 由于,于是可确定,即非齐次差分方程有一个特解是.从而,差分方程的通解是.(4)【答案】【解析】二次型对应的矩阵为.因为正定的顺序主子式全大于零.又,故正定,即.(5)【答案】分布,参数为9【解析】由是来自总体的简单随机样本,故独立,且都服从正态分布.类似有相互独立,且都服从正态分布.又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即.其中,.由期望的性质,；由独立随机变量方差的性质,故.因,故,所以,.由分布的定义,现已有,将其标准化得,故.化简有,即.【相关知识点】1.数学期望的性质：,其中为常数.2.方差的性质：与相互独立时,其中为常数.3.分布的定义：若相互独立,且都服从标准正态分布,则,.4.若,则.5.分布的定义：若,独立,则.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(B)【分析】只要求出极限 就能判断出正确的选项.【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得故应选(B).【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若,均一阶可导,则.2.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限 ,(1) 若称在该极限过程中为同阶无穷小；(2) 若称在该极限过程中为等价无穷小,记为；(3) 若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为.若不存在(不为),称不可比较.(2)【答案】(C) 【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.方法1：由知,的图形关于轴对称.由在内,且知,的图形在内单调上升且是凸的；由对称性知,在内,的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).方法2：由可知.当时,此时由题设知,则,故应选(C).方法3：排除法.取,易验证符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选项均不正确,故应选(C).方法4：由题设可知是一个二阶可导的偶函数,则为奇函数,为偶函数,又在内,则在内,故应选(C).(3)【答案】(C) 【分析】这一类题目最好把观察法与技巧相结合.【解析】对于(A),即存在一组不全为零的数1,-1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知线性相关,排除(A)；对于(B),即存在一组不全为零的数1,1,-1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知线性相关,排除(B)；对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设有数使得,整理得 已知,线性无关,上式成立,当且仅当 因的系数行列式,故有唯一零解,即.故原向量组,线性无关.应选(C).或者也可以将,用线性表出,且写成矩阵形式,有,则可逆,故两向量组是等价向量组,由,线性无关知,线性无关.(4)【答案】(D)【解析】方法1：用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似,也不一定合同.例如,若,由于特征值不同,故不相似,又对应二次型的正、负惯性指数不同,故也不合同,(B)、(C)不成立；若,则 ,.故(A)不成立；应取(D).方法2：因是同阶(设为)可逆阵,故有而等价存在可逆阵使得(这里只需取既有成立),故应选(D).或者,因是同阶可逆阵,故均可以通过初等行变换化成单位阵, 即存在初等阵使得,从而有,得.故(D)成立.(5)【答案】(A)【解析】因和相互独立, 而,故有：；,故(A)正确,(B)错；,故(C)错；,故(D)错.三、(本题满分6分.)【分析】要证明,只须证明即可,因为为指数函数,因此化为对数形式便于极限计算.【解析】因为,而且 所以, ,于是, .四、(本题满分5分.)【解析】由题设有. (*)在中,将视为的函数,两边对求导,得. (1)在中,将视为的函数,两边对求导,得. (2)将(1)、(2)两式代入()式,得.【相关知识点】1.多元复合函数求导法则：若和在点处偏导数存在,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点处的偏导数存在,且. 五、(本题满分6分)【分析】要求获得最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的的关系,它是商品销售总收入减去成本和政府税收.正确写出后,满足的即为利润最大时的销售量,此时,是的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额,再由导数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值.【解析】(1)设为总税额,则.商品销售总收入为.利润函数为 .令,即,得.由于,因此,即为利润最大时的销售量.(2)将代入,得.由,得惟一驻点；由于,可见当时有极大值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大.六、(本题满分6分)【分析】当时,显然连续,故只要证,且当时,即可.【解析】方法1：显然时,连续,又由洛必达法则知,所以在上连续.当时,.由于单调不减,故,又,从而.于是有.故在上单调不减.方法2：连续性证明同上.由于可见,在上单调不减.【评注】本题主要考查变上限定积分求导,洛必达法则.请考生注意本题两种证法中对于的不同处理方法.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若,均一阶可导,则.七、(本题满分6分)【分析】先作出草图,再求出曲线在任一点上的切线方程及其与轴的交点,然后依此类推,得出一系列与轴交点的坐标.最后进行相应计算即可.O 1【解析】(1)由,得.对于任意,抛物线在点处的切线方程为.且该切线与轴的交点为,故由可见 (2)由于,可见.利用几何级数求和公式即得.【评注】本题是级数与微分学的综合题,本题中所得的级数仍为收敛的几何级数,利用几何级数求和公式即可求出它的和. 八、(本题满分6分)【解析】将直角坐标化为极坐标,由于,可得.在积分中作换元,又有.于是,满足积分关系式.在上式中令得.利用变上限积分的求导公式,将上式两端对求导,得.上述方程为关于的一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程通解公式,得,其中常数待定.由可确定常数,因此,.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若,均一阶可导,则.2. 一阶线性非齐次微分方程的标准形式为,其通解公式为 ,其中为常数.九、(本题满分6分)【解析】(1)由及,有(2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有,又因是非奇异矩阵,所以,故.由此可知可逆的充要条件是,即,亦即.评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清是1阶矩阵,是一个数.【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：设是阶矩阵,是阶矩阵,则 .2.行列式乘积公式：设是两个阶矩阵,则乘积的行列式等于和的行列式的乘积,即.十、(本题满分10分)【解析】(1)设的属于的特征向量为,因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交,故解上述方程组,设方程组的系数矩阵为,对进行初等行变换：,系数矩阵的秩为2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系,我们得到基础解系的个数为1,解得 ,即的对应于的特征向量为其中为非零常数.(2)方法1：令,则有即,其中计算如下：得 ,.方法2：因是对称矩阵,不同特征值对应的特征向量互相正交,故存在正交阵(对单位化),使,其中.方法3：由于矩阵的特征值是1,2,3,特征向量依次为,利用分块矩阵有.因为是不同特征值的特征向量,它们线性无关,于是矩阵可逆.故【评注】本题有两个难点,一是能否由“实对称矩阵”挖掘出隐含的信息,通过正交性求出,另一个难点就是反求矩阵.十一、(本题满分7分)【分析】求分布函数实质上是求的概率.【解析】由的绝对值不大于1,可得当时,；当时,；又,则；由题意在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,那么当的值属于的条件下,事件的条件概率为：(其中为比例正常数),又 ,而 ,所以,故；当时,所以.由条件概率公式,有,而 ,所以 ,故所求的的分布函数为.十二、(本题满分6分)【解析】已知在上均匀分布,则其密度函数为： 设表示游客等候电梯的时间(单位：分钟),由于电梯于每个整点的第5分钟,25分钟,55分钟起行,则当时,游客需等候时间；当时,游客需等候时间；当时,游客需等候时间；当时,游客需等候时间(这个时间段到达,就需要等下个整点的第分钟,所以是).故是关于到达时刻的函数：由随机变量函数期望的定义,有【相关知识点】1.随机变量函数期望的定义：若随机变量,且存在,则有.十三