高中物理 第五章 曲线运动 5 向心加速度教学案 新人教版必修2

5向心加速度学习目标 1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能够运用向心加速度公式求解有关问题.一、向心加速度的方向1.定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度.2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响.二、向心加速度的大小1.向心加速度公式(1)基本公式an2r.(2)拓展公式anrv.2.向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动.即学即用1.判断下列说法的正误.(1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变.()(2)匀速圆周运动是匀变速运动.()(3)匀速圆周运动的加速度的大小不变.()(4)根据a知加速度a与半径r成反比.()(5)根据a2r知加速度a与半径r成正比.()2.在长0.2 m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6 m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为_，向心加速度为_.答案3 rad/s1.8 m/s2解析角速度 rad/s3 rad/s小球运动的向心加速度an m/s21.8 m/s2.一、向心加速度及其方向导学探究如图1甲所示，表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动.图1(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？(2)地球受到的力沿什么方向？小球受到几个力的作用，合力沿什么方向？(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？答案(1)地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化.运动状态发生变化的原因是因为受到力的作用.(2)地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心.小球受到重力、支持力、线的拉力作用，合力等于线的拉力，方向沿半径指向圆心.(3)物体的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是时刻沿半径指向圆心，即加速度方向是变化的.匀速圆周运动是一种变加速曲线运动.知识深化对向心加速度及方向的理解1.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变.2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响.3.圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动.例1下列关于向心加速度的说法中正确的是()A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B.向心加速度描述线速度方向变化的快慢C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D.匀速圆周运动是匀变速曲线运动答案B解析匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A错，B正确；向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故C、D错误.二、向心加速度的大小导学探究(1)匀速圆周运动的速度方向不断发生变化，如图2所示，经过t时间，线速度由vA变为vB，圆周的半径为r.图2试根据加速度的定义式推导向心加速度大小的公式.(2)结合vr推导可得向心加速度与角速度关系的表达式为：an_.(3)有人说：根据an可知，向心加速度与半径成反比，根据an2r可知，向心加速度与半径成正比，这是矛盾的.你认为呢？答案(1)如图，由于A点的速度vA方向垂直于半径r，B点的速度vB方向垂直于另一条半径r，所以AOBCBD，故等腰AOB和CBD相似，根据对应边成比例可得：，由于时间t很短，故弦长AB近似等于弧长，而弧长vAt，所以，根据an得an.(2)由vr，代入an可得an2r.(3)不矛盾.说向心加速度与半径成反比是在线速度一定的情况下；说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下，所以二者并不矛盾.知识深化1.向心加速度的几种表达式：an2rrv.2.向心加速度与半径的关系(如图3所示)图33.向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动(1)物体做非匀速圆周运动时，加速度不是指向圆心，但它可以分解为沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其中指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时向心加速度仍满足：an2r.(2)无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度都指向圆心.例2如图4所示，一球体绕轴O1O2以角速度匀速旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是()图4A.A、B两点具有相同的角速度B.A、B两点具有相同的线速度C.A、B两点的向心加速度的方向都指向球心D.A、B两点的向心加速度之比为答案A解析A、B为球体上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A对；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错；设球的半径为R，则A运动的半径rARsin 60，B运动的半径rBRsin 30，B错；，D错.故选A.例3如图5所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r1，O2从动轮的轴心，从动轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径.已知r22r1，r31.5r1.A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)()图5A.123 B.243C.843 D.362答案C解析因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率.根据向心加速度公式an，可得aAaBr2r121.由于B、C是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同.根据向心加速度公式anr2，可得aBaCr2r321.5.由此得aAaBaC843，故选C.讨论圆周运动的向心加速度与线速度、角速度、半径的关系，可以分为两类问题：(1)皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式an.(2)同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an2r.针对训练如图6所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍.压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是12 cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度是多少？大轮上距轴心距离为的C点的向心加速度大小是多少？图6答案aB0.24 m/s2aC0.04 m/s2解析大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等.由aA和aB得aBaA24 cm/s20.24 m/s2；C点和A点同在大轮上，角速度相同，由aA2R和aC2得aC4 cm/s20.04 m/s2.1.(向心加速度的概念)(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是()A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直B.向心加速度的方向保持不变C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心答案AD解析向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变.物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；非匀速圆周运动的加速度不是始终指向圆心，故选A、D.2.(向心加速度公式)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是()A.由an可知，an与r成反比B.由an2r可知，an与r成正比C.由vr可知，与r成反比D.由2f可知，与f成正比答案D解析质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关.但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能给出.当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，正确答案为D.3.(传动装置中的向心加速度)如图7所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是()图7A.anCanD2anE B.anC2anD2anEC.anC2anE D.anCanE答案C解析同轴转动，C、E两点的角速度相等，由an2r，有2，即anC2anE；两轮边缘点的线速度大小相等，由an，有，即anCanD，故选C.4.(向心加速度的计算) 滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图8所示，某滑板运动员恰好从B点进入半径为2.0 m的圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接，运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s.求他到达C点前、后瞬间的加速度(不计各种阻力).图8答案50 m/s2，方向竖直向上0解析运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，加速度大小a m/s250 m/s2，方向在该位置指向圆心，即竖直向上.运动员到达C点后的瞬间做匀速直线运动，加速度为0.课时作业一、选择题(15为单项选择题，610为多项选择题)1.关于向心加速度，下列说法正确的是()A.由an知，匀速圆周运动的向心加速度恒定B.匀速圆周运动不属于匀速运动C.向心加速度越大，物体速率变化越快D.做圆周运动的物体，加速度时刻指向圆心答案B解析向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，所以A错；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，B正确；向心加速度不改变速率，C错；只有匀速圆周运动的加速度才时刻指向圆心，D错.2.如图1所示是A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知()图1A.A物体运动的线速度大小不变B.A物体运动的角速度大小不变C.B物体运动的角速度大小是变化的D.B物体运动的线速度大小不变答案A解析根据an知，当线速度v大小为定值时，an与r成反比，其图象为双曲线的一支；根据anr2知，当角速度大小为定值时，an与r成正比，其图象为过原点的倾斜直线，所以A正确.3.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为94，转动的周期之比为34，则它们的向心加速度之比为()A.14 B.41C.49 D.94答案B解析，根据题意，由anr得：24，B选项正确.4.如图2所示，A、B是两个摩擦传动轮(不打滑)，两轮半径大小关系为RA2RB，则两轮边缘上的()图2A.角速度之比AB21B.周期之比TATB12C.转速之比nAnB12D.向心加速度之比aAaB21答案C解析两轮边缘的线速度相等，由知，ABRBRA12，A错.由T知，TATBBA21，B错.由2n知，nAnBAB12，C对.由an知，aAaBRBRA12，D错.5. 如图3所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么木块()图3A.加速度为零B.加速度恒定C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心答案D解析由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误.6.一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，那么()A.角速度B.时间t内通过的路程stC.周期TD.时间t内可能发生的最大位移为2R答案ABD解析由a2R，得，A正确；由a，得线速度v，所以时间t内通过的路程st，B正确；由a2RR，得T2，C错误；对于做圆周运动的物体而言，位移大小即圆周上两点间的距离，最大值为2R，D正确.7.如图4所示，一个球绕中心轴线OO以角速度做匀速圆周运动，30，则()图4A.a、b两点的线速度相同B.a、b两点的角速度相同C.a、b两点的线速度之比vavb2D.a、b两点的向心加速度之比aaab2答案BD解析球绕中心轴线转动，球上各点应具有相同的周期和角速度，即ab，B对.因为a、b两点做圆周运动的半径不同，rbra，根据vr知vbva，A错，若30，设球半径为R，则rbR，raRcos 30R，故，C错.又根据an2r知，D对.8.如图5所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r13r，r22r，r34r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑.向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是()图5A. B.C. D.答案BD解析由于皮带不打滑，v1v2，an，故，A错，B对.由于右边两轮共轴转动，23，anr2，C错，D对.9.如图6所示，一小物块以大小为an4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R1 m，则下列说法正确的是()图6A.小物块运动的角速度为2 rad/sB.小物块做圆周运动的周期为 sC.小物块在t s内通过的位移大小为 mD.小物块在 s内通过的路程为零答案AB解析因为an2R，所以小物块运动的角速度为2 rad/s，周期T s，选项A、B正确；小物块在 s内转过，通过的位移大小为 m，在 s内转过一周，通过的路程为2 m，选项C、D错误.10.一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方处钉有一颗光滑钉子.如图7所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则()图7A.小球的角速度突然增大B.小球的线速度突然减小到零C.小球的向心加速度突然增大D.小球的向心加速度不变答案AC解析由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由vr知，角速度变为原来的两倍，A正确，B错误；由an知，小球的向心加速度变为原来的两倍，C正确，D错误.二、非选择题11.飞机由俯冲转为上升的一段轨迹可以