八年级数学下册 第十七章 勾股定理教案 （新版）[新人教版]

1 第十七章第十七章 勾股定理勾股定理 17171 1 勾股定理 第 1 1 课时 勾股定理(1 1) 了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理， 能应用勾股定理进行简单的计算 重点 勾股定理的内容和证明及简单应用 难点 勾股定理的证明 一、创设情境，引入新课 让学生画一个直角边分别为 3 cm和 4 cm的直角ABC，用刻度尺量出斜边的长 再画一个两直角边分别为 5 和 12 的直角ABC，用刻度尺量出斜边的长 你是否发现了 3242与 52的关系，52122与 132的关系，即 324252，52122132，那么就有勾 2股2弦2. 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 由一学生朗读“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说，引导学生观察身边 的地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？ 拼图实验，探求新知 1多媒体课件演示教材第 2223 页图 17.12 和图 17.13，引导学生观察思考 2组织学生小组合作学习 问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法 引导学生用拼图法初步体验结论 生：这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和 师：这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明 归纳验证，得出定理 (1)猜想：命题 1：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2. (2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进 行证明到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看我国数学家 赵爽是怎样证明这个定理的 用多媒体课件演示 小组合作探究： a以直角三角形 ABC 的两条直角边 a，b 为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼 成弦图的样子吗？ b它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？ c利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法想一想还有什么 方法？ 师：通过拼摆，我们证实了命题 1 的正确性，命题 1 与直角三角形的边有关，我国把 2 它称为勾股定理 即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫 做弦 二、例题讲解 【例 1】填空题 (1)在RtABC 中，C90，a8，b15，则 c_； (2)在RtABC 中，B90，a3，b4，则 c_； (3)在RtABC 中，C90，c10，ab34，则 a_，b_； (4)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_； (5)已知等边三角形的边长为 2 cm，则它的高为_cm，面积为_cm2. 【答案】(1)17 (2) (3)6 8 (4)6，8，10 (5) 733 【例 2】已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边 分析：已知两边中，较大边 12 可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别 进行计算让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想 【答案】或 13 119 三、巩固练习 填空题 在RtABC 中，C90. (1)如果 a7，c25，则 b_； (2)如果A30，a4，则 b_； (3)如果A45，a3，则 c_； (4)如果 c10，ab2，则 b_； (5)如果 a，b，c 是连续整数，则 abc_； (6)如果 b8，ac35，则 c_ 【答案】(1)24 (2)4 (3)3 (4)6 (5)12 32 (6)10 四、课堂小结 1本节课学到了什么数学知识？ 2你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？ 3你还有什么困惑？ 本节课的设计关注学生是否积极参与探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积 极思考、能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想(数形结合)以及学生能否有条 理地表达活动过程和所获得的结论等关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的 正方形验证勾股定理 第 2 2 课时 勾股定理(2 2) 能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题 重点 将实际问题转化为直角三角形模型 难点 如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题 一、复习导入 问题 1：欲登 12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物 5 米，至少需要 多长的梯子？ 师生行为： 学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型 3 教师深入到小组活动中，倾听学生的想法 生：根据题意，(如图)AC 是建筑物，则 AC12 m，BC5 m，AB 是梯子的长度，所以 在RtABC 中，AB2AC2BC212252132，则 AB13 m. 所以至少需 13 m长的梯子 师：很好！ 由勾股定理可知，已知两直角边的长分别为 a，b，就可以求出斜边 c 的长由勾股定 理可得 a2c2b2或 b2c2a2，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另 一条直角边的长，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长 问题 2：一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m、宽 2.2 m的长方形薄木板能否从门框 内通过？为什么？ 学生分组讨论、交流，教师深入到学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决 问题的途径 生 1：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着 能否通过 生 2：在长方形 ABCD 中，对角线 AC 是斜着能通过的最大长度，求出 AC，再与木板的 宽比较，就能知道木板是否能通过 师生共析： 解：在RtABC 中，根据勾股定理 AC2AB2BC212225. 因此 AC2.236. 5 因为 AC木板的宽，所以木板可以从门框内通过 二、例题讲解 【例 1】如图，山坡上两棵树之间的坡面距离是 4米，则这两棵树之间的垂直距离 3 是_米，水平距离是_米 分析：由CAB30易知垂直距离为 2米，水平距离是 6 米 3 【答案】2 6 3 【例 2】教材第 25 页例 2 三、巩固练习 1如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B，C 两点，在江对岸取一点 A，使 AC 垂直 江岸，测得 BC50 米，B60，则江面的宽度为_ 【答案】50米 3 4 2某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲到达地点 B 200 米， 结果他在水中实际游了 520 米，求该河流的宽度 【答案】约 480 m 四、课堂小结 1谈谈自己在这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单的应用题；会构造直角三 角形 2本节是从实验问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解答 这是一节实际应用课，过程中要充分发挥学生的主导性，鼓励学生动手、动脑，经历 将实际问题转化为直角三角形的数学模型的过程，激发了学生的学习兴趣，锻炼了学生独 立思考的能力 第 3 3 课时 勾股定理(3 3) 1利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 2利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点 3进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的 实际问题 重点 在数轴上寻找表示， ， ，这样的表示无理数的点 235 难点 利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段 一、复习导入 复习勾股定理的内容 本节课探究勾股定理的综合应用 师：在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等你们能用勾股定理证明这一结论吗？ 学生思考并独立完成，教师巡视指导，并总结 先画出图形，再写出已知、求证如下： 已知：如图，在RtABC 和RtABC中，CC90， ABAB，ACAC. 求证：ABCABC. 证明：在RtABC 和RtABC中，CC90，根据勾股定理，得 BC ，BC.又 AB2AC2AB2AC2 ABAB，ACAC，BCBC，ABCABC(SSS) 师：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出 所对应的点吗？ 13 教师可指导学生寻找像长度为， ， ，这样的包含在直角三角形中的线段 235 师：由于要在数轴上表示点到原点的距离为， ， ，所以只需画出长为， ， 23523 ，的线段即可，我们不妨先来画出长为， ， ，的线段 5235 5 生：长为的线段是直角边都为 1 的直角三角形的斜边，而长为的线段是直角边为 25 1 和 2 的直角三角形的斜边 师：长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？ 13 生：设 c，两直角边长分别为 a，b，根据勾股定理 a2b2c2，即 a2b213. 13 若 a，b 为正整数，则 13 必须分解为两个平方数的和，即 1349，a24，b29，则 a2，b3，所以长为的线段是直角边长分别为 2，3 的直角三角形的斜边 13 师：下面就请同学们在数轴上画出表示的点 13 生：步骤如下： 1在数轴上找到点 A，使 OA3. 2作直线 l 垂直于 OA，在 l 上取一点 B，使 AB2. 3以原点 O 为圆心、以 OB 为半径作弧，弧与数轴交于点 C，则点 C 即为表示的 13 点 二、例题讲解 【例 1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4800 米处，过 了 10 秒后，飞机距离这个男孩头顶 5000 米，飞机每小时飞行多少千米？ 分析：根据题意，可以画出如图所示的图形，A 点表示男孩头顶的位置，C，B 点是两 个时刻飞机的位置，C 是直角，可以用勾股定理来解决这个问题 解：根据题意，得在RtABC 中，C90，AB5000 米，AC4800 米由勾股定 理，得 AB2AC2BC2，即 50002BC248002，所以 BC1400 米 飞机飞行 1400 米用了 10 秒，那么它 1 小时飞行的距离为 1400660504000(米) 504(千米)，即飞机飞行的速度为 504 千米/时 【例 2】在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面 3 分米，一阵风吹来，水草被吹 到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为 6 分米，问这里的水深是多少？ 解：根据题意，得到上图，其中 D 是无风时水草的最高点，BC 为湖面，AB 是一阵风吹 过水草的位置，CD3 分米，CB6 分米，ADAB，BCAD，所以在RtACB 中， AB2AC2BC2，即(AC3)2AC262，AC26AC9AC236，6AC27，AC4.5，所 以这里的水深为 4.5 分米 【例 3】在数轴上作出表示的点 17 解：以为长的边可看作两直角边分别为 4 和 1 的直角三角形的斜边，因此，在数轴 17 上画出表示的点，如下图： 17 师生行为： 由学生独立思考完成，教师巡视指导 6 此活动中，教师应重点关注以下两个方面： 学生能否积极主动地思考问题； 能否找到斜边为，另外两条直角边为整数的直角三角形 17 三、课堂小结 1进一步巩固、掌握并熟练运用勾股定理解决直角三角形问题 2你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数，并理解数轴上的点与 实数一一对应 本节课的教学中，在培养逻辑推理的能力方面，做了认真的考虑和精心的设计，把推 理证明作为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，注重数学与生活的联系，从学生 的认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学 的兴趣，培养了学生善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力 17.217.2 勾股定理的逆定理 第 1 1 课时 勾股定理的逆定理(1 1) 1掌握直角三角形的判别条件 2熟记一些勾股数 3掌握勾股定理的逆定理的探究方法 重点 探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系 难点 归纳猜想出命题 2 的结论 一、复习导入 活动探究 (1)总结直角三角形有哪些性质； (2)一个三角形满足什么条件时才能是直角三角形？ 生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的 平方和等于斜边的平方；(4)在含 30角的直角三角形中，30的角所对的直角边是斜边 的一半 师：那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？ 生 1：如果三角形有一个内角是 90，那么这个三角形就为直角三角形 生 2：如果一个三角形，有两个角的和是 90，那么这个三角形也是直角三角形 师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边 a，b 与斜边 c 具有 一定的数量关系即 a2b2c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是 否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？ 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结、4 个结、5 个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角 这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为 3，4，5，有下面的关系： 324252，那么围成的三角形是直角三角形 画画看，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，有下面的关系： 2.52626.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 7 cm，再试一试 生 1：我们不难发现上图中，第 1 个结到第 4 个结是 3 个单位长度即 AC3；同理 BC4，AB5.因为 324252，所以我们围成的三角形是直角三角形 生 2：如果三角形的三边长分别是 2.5 cm，6 cm，6.5 cm.我们用尺规作图的方法作此 三角形，经过测量后，发现 6.5 cm的边所对的角是直角，并且 2.52626.52. 再换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm的三角形，可以发现 8.5 cm的边所对的 角是直角，且有 427.528.52. 师：很好！我们通过实际操作，猜想结论 命题 2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2b2c2，那么这个三角形是直角三角 形 再看下面的命题： 命题 1 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2. 它们的题设和结论各有何关系？ 师：我们可以看到命题 2 与命题 1 的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题 叫做互逆命题如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题例如把命题 1 当成原命题，那么命题 2 是命题 1 的逆命题 二、例题讲解 【例 1】说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ (1)同旁内角互补，两条直线平行； (2)如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等； (3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； (4)直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半 分析：(1)每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题 设和结论，并注意语言的运用； (2)理顺它们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一 真一假，还可能都假 解略 三、巩固练习 教材第 33 页练习第 2 题 四、课堂小结 师：通过这节课的学习，你对本节内容有哪些认识？ 学生发言，教师点评 本节课的教学设计中，将教学内容精简化，实行分层教学根据学生原有的认知结构， 让学生更好地体会分割的思想设计的题型前后呼应，使知识有序推进，有助于学生理解 和掌握；让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探 索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人将目标分层后， 满足不同层次学生的做题要求，达到巩固课堂知识的目的 第 2 2 课时 勾股定理的逆定理(2 2) 1理解并掌握证明勾股定理的逆定理的方法 2理解逆定理、互逆定理的概念 重点 勾股定理的逆定理的证明及互逆定理的概念 难点 理解互逆定理的概念 一、复习导入 8 师：我们学过的勾股定理的内容是什么？ 生：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2b2c2. 师：根据上节课学过的内容，我们得到了勾股定理逆命题的内容：如果三角形的三边 长 a，b，c 满足 a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形 师：命题 2 是命题 1 的逆命题，命题 1 我们已证明过它的正确性，命题 2 正确吗？如 何证明呢？ 师生行为： 让学生试着寻找解题思路，教师可引导学生理清证明的思路 师：ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2b2c2.如果ABC 是直角三角形，它应与直角 边是 a，b 的直角三角形全等，实际情况是这样吗？ 我们画一个直角三角形 ABC，使 BCa，ACb，C90(如图)， 把画好的ABC剪下，放在ABC 上，它们重合吗？ 生：我们所画的RtABC，(AB)2a2b2，又因为 c2a2b2，所以 (AB)2c2，即 ABc. ABC 和ABC三边对应相等，所以两个三角形全等，CC90，所以 ABC 为直角三角形 即命题 2 是正确的 师：很好！我们证明了命题 2 是正确的，那么命题 2 就成为一个定理由于命题 1 证 明正确以后称为勾股定理，命题 2 又是命题 1 的逆命题，在此，我们就称定理 2 是勾股定 理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互逆定理 师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立呢？ 生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们 是对顶角”不成立 师：你还能举出类似的例子吗？ 生：例如原命