基于Matlab的时滞系统PID参数稳定域研究_毕业论文.doc

基于 matlab 的时滞系统 pid 参数稳定域研究 i 基于基于 matlabmatlab 的时滞系统的时滞系统 pidpid 参数稳定域研究参数稳定域研究 目目 录录 1 绪论1 1.1 时滞的产生1 1.2 纯滞后的定义2 1.3 纯滞后的特点3 1.4 时滞系统控制常规方法3 1.5 本文主要内容7 2 滞后过程 pid 控制器参数整定方法8 2.1 pid 控制方法简介.8 2.1.1 比例作用 .9 2.1.2 积分作用 .9 2.1.3 微分作用 .10 2.2 pid 控制器性能设计方法.11 2.2.1 pid 参数的稳定边界法整定（基于 simulink 环境）.11 2.2.2 临界比例度法 13 2.2.3 图解稳定性准则的参数整定方法 14 2.2.4 pi 控制器参数稳定域.16 2.2.5 相角裕度和幅值裕度 17 2.2.6 仿真算例 .18 2.2.7 pid 控制器参数稳定域图解法22 3 一阶时滞系统的 pid 控制器 matlab/simulink 仿真28 3.1 一阶开环不稳定时滞系统 28 3.2 一阶开环稳定时滞系统 29 结束语32 参考文献33 致 谢35 1 1 绪论 工业现场有很多时滞现象，具有时滞特性的控制对象是非常普遍的，例如造纸 生产过程、精馏塔提馏级湍度控制过程、火箭发动机燃烧室中的燃烧过程等都是典 型的时滞系统。由于时滞的存在使得被调量不能及时反映控制信号的动作，控制信 号的作用只有在延迟:以后才能反映到被调量;另一方面，当对象受到干扰而引起被调 量改变时，控制器产生的控制作用不能及时对干扰产生抑制作用。因此，含有时滞 环节的闭环控制系统必然存在较大的超调量和较长的调节时间。时滞对象也因此成 为难控对象，而且时滞占整个动态过程的时间越长，难控的程度越大。因此时滞系 统的控制一直受到许多学者的关注，成为重要的研究课题之一1-3。 本章阐述了滞后系统产生的原因，给出了滞后的定义，以及把研究重点转移到 对纯滞后系统上，并说明转移重点的原由，同时对纯滞后对象的特点进行简要分析， 介绍了时滞系统的控制方法研究的现状以及国内外 pid 控制和研究现状，最后介绍 本文的主要内容。 1.1 时滞的产生时滞的产生 滞后是工业过程中的一种普遍现象，其特点是当控制量发生变化时，被控量并 不立即改变，而要延迟一段时间才开始变化。包含时间滞后环节的系统就称为时滞 系统。在时滞系统中，由于时间延迟的存在，使得被控量不能及时反映系统所承受 的扰动，即使测量信号到达控制器，调节机构接受控制信号后立即动作，也需要经 过纯延迟时间以后，才波及被控量，使之受到控制。在工业过程中造成时滞的机 理各不相同，可以认为主要由以下几种因素造成的： (1)由控制对象的结构造成的。在控制对象中，由于设备结构和工艺的要求，控 制量和被控制量之间有一段距离。这样在被控量发生变化时，由于需要物料的传送、 传热、传质等过程，因而要经过一段时间被控量才发生变化，这就产生了时滞。因 为被控量是由检测装置测量的，故可以说时滞是由测量点的位置所引起的。 (2)由在线分析仪表造成的。在某些过程控制系统中，为了有效的控制产品的质 量，用在线质量分析仪表直接对产品质量进行分析。仪表每分析一次样品都需要一 定的时间才能分析出结果，这段时间必然会增加系统的时滞。 (3)由等效辩识模型造成的。前面两种情况中的时滞都是系统中确实存在时间延 迟造成的。有些系统中并不存在严格意义下的时间延迟，而只是为了分析上的方便 而做的近似，这种近似也是时滞产生的原因之一4。 综合上述内容，我们可以把由因素(1) (2)造成的时滞现象归结为纯滞后现象，可 2 以知道纯滞后产生的原因是被控对象的物理性质，以及实际系统变量的测量传递和 处理等方面的因素，是一种比较不易忽视的输出对于输入时间的滞后现象。事实上， 工业生产过程中的各种由时滞引起的误差都可归结为或者近似归结为纯滞后现象引 起的，所以本文将重点转移到对纯滞后系统的研究上。 1.2 纯滞后的定义纯滞后的定义 对于纯滞后环节，当输入一个信号后输出不立即有所反应，而是经过一定的时 间后才会反应出来，而且输入和输出在数值上无不同，仅是在时间上有一定的滞后， 称这段时间为纯滞后时间，常用表示。纯滞后环节的输入输出特性如图 1-1 所示。 其中图(a)表示阶跃响应，图(b)为任一时间函数的响应。这种纯滞后的产生通常是由 于物料传输时间造成的，此时，纯滞后可用= l/v(l 为物料传输距离、v 为物料传 输速度)来计算。 输入x 输出y 0t t0 输入x 输出y 0 0 t t （a） （b） 图 1-1 纯滞后环节的时间特性 在流程工业过程中，生产过程的动态特性一般很复杂（非线性、时变、分布参 3 数等），常常借用实验的方法来测取其动态特性。图 1-2 为常用的一种实验方法， 通过获取生产过程的阶跃响应曲线，来求取纯滞后时间，此时的纯滞后时间我们称 为等效纯滞后时间，这种方法在流程工业中普遍采用。 xy y(t) x(t) t 0 图 1-2 实验法求取纯滞后时间 1.3 纯滞后的特点纯滞后的特点 一般工业过程控制对象的数学模型可以近似表示为： (1-1) ( ) 1 s k g se ts 衡量过程具有纯时滞的大小通常采用过程纯滞后时间和过程惯性时间常数 t 之比/t。当/t 0.5 时， 称为具有大纯滞后的过程。 当采用闭环控制回路时，一旦对象具有纯时滞性质，这类控制系统纯时滞时间 会使得被控量不能及时反映控制信号的动作，控制信号的作用只有在延迟以后才 能反映到被控量；另一方面，当对象受到干扰而引起被控量改变时，控制器产生的 控制作用也不能及时对干扰产生抑制作用5。 1.4 时滞系统控制常规方法时滞系统控制常规方法 1942 年齐格勒(ziegler)和尼科尔斯(nichols)首先提出了动态特性参数法(z-n 调 节器参数整定公式)。因此在单变量控制系统中，可以利用常规调节器适应性强，调 整方便的特点，经过仔细少量的调整，在控制要求不太苛刻的情况下满足生产过程 的要求。这种方法比较简单，但是在精度要求很高的场合下这种方法就不行了，而 需要采取其他的控制手段，其中史密斯(smith)预估补偿方法最有影响。补偿控制是 按照过程的特性设想出一种新的模型加入到反馈系统中，以补偿过程的动态特性。 史密斯预估补偿的基本原理图如图 1-3。 4 - y(s)r(s) ( ) c g s ( ) s p gs e ( ) p gss e 图 1-3 闭环系统 如果没有矩形框所示的支路，加上控制器器 g(s)，则整个闭环系统的传递函数 为： (1-2) ( )( )( ) ( )1( )( ) s s y sgc s gp s e r sgc s gp s e 上式表明即使加了控制器 gc(s)，整个闭环系统的特征方程还是有时滞部分。而 加上史密斯预估补偿器以后，则整个闭环系统的传递函数为： (1-3) ( )( )( )( )( ) ( )1( )( )( )(1)1( )( ) ss ss y sgc s gp s egc s gp s e r sgc s gp s egp segc s gp s 显然，式(1-3)的特征方程已经没有时滞部分了，也就是说，这个系统已经消除 了时滞对系统特征方程的影响。此时就可以直接用经典控制理论的方法来设计控制 器 gc(s)。整个过程的结果只是系统的输出向后推迟了时间而已。虽然史密斯预估 补偿法能够很好的消除掉时滞对系统的影响，但是缺陷也是很明显的，就是史密斯 预估补偿法要求整个系统的模型参数精确度很高6。因此在工业中的应用范围受到 局限。为了弥补和改善史密斯预估补偿器的缺点和性能，后来的学者提出了很多方 法，例如 1977 年 giles 和 bartley 在史密斯方法的基础上提出了增益自适应补偿方 案，1980 年 hang 等提出的改进型史密斯预估器。但是至今仍无一个通用的行之有 效的方法来克服时滞对消所带来的鲁棒稳定性的影响，因此这方面的研究也在发展 中7。 还有一种发展比较快的整定方法就是预测控制8。预测控制是一类利用计算机 5 的控制算法，被控对象的表示方法都是基于离散时间的。它具有建立预测模型方便、 采用滚动优化策略、采用模型误差反馈校正等特征，此外由于预测控制采用了多步 预测的方法，增加了反映过程未来变化趋势的信息量，因而能克服各种不确定性因 素和复杂变化对系统所造成的影响，使预测控制能在各种复杂生产过程中获得好的 应用效果，并具有较强的鲁棒性。但是目前的预测控制算法普遍存在模型预测精度 不高、滚动优化策略少、反馈校正方法单调等问题9。 pid 控制，smith 预估算法，预测控制是在时滞系统整定过程中用的比较多的三 种方法9。pid 控制是生命力最强的基本控制方式，具有结构简单，原理清晰，适 应性强和鲁棒性强的优点而成为工业控制中最广泛应用的基本控制方式之一。smith 预估算法能够在过程的动态模型和时滞项都比较精确的情况下消除时滞对系统控制 性能的影响。预测控制能适应于复杂生产过程，并且鲁棒性也不错。这三种方法广 泛地运用在工业过程控制中，其中占统治地位的仍然是 pid 调节器10。 pid 控制是比例积分微分控制的简称。pid 控制具有以下优点：l)原理简单，使 用方便。2)适应性强，可以广泛地应用到化工、热工、冶金、炼油以及造纸、建材 等各种生产部门。3)鲁棒性强。由于具有这些优点，过程控制系统中的对象通常是 用 pid 控制器来整定的，实际在过程控制中，超过 95%的控制器是 pid 控制器11。 ziegler 和 nichols 阶跃响应是确定 pid 参数的简单方法，这种方法仅根据时滞 时间和时间常数来整定控制器的参数12。但是该方法仅在时滞时间与时间常数之比 处于 0.1-1 之间时才适用，对于大的时滞需采取专门补偿措施。另外该方法借助于作 图来确定特征参数，得到的控制器是使用尚可的或次优的。知名学者 astrom 曾提出 基于继电反馈的方法，该方法的基本思路是在继电反馈下观测过程的极限环振荡， 并由极限环的特征来确定过程的基本性质，然后算出 pid 控制器的参数。传统的 pid 参数整定方法都具有物理意义明确的优点，并且这些方法还将长期被人们使用， 曾经为过程工业自动化的发展起到极大的促进作用，但是随着人们对过程工业综合 自动化的要求越来越高，多回路强祸合系统控制器的整定要求对 pid 参数的整定提 出了更大的挑战13。 为解决传统的 pid 参数整定的不足，相继有人提出了各种形式的 pid 参数自整 定方案14。pid 参数的自整定一般包括两部分内容：一是过程特性的提取，也称为 初期校正部分，即对过程进行辨识，得到过程的动特性，求得过程的增益、时间常 数、延迟时间，然后根据过程的特征参数按照部分模型匹配法设定 pid 参数;二是确 定相应的最优控制器参数，也称为在线校正部分，是通过对控制响应的波形进行在 线监视，求出控制性能指标，即超调量、振幅衰减比等，然后建立调整规则对 pid 参数进行更新。我国有人提出模式识别法 pid 参数自整定，这是一种具有最优参数 6 的 pid 自整定系统，过程的特性在线获取，具体来说就是以模式类的描述和模式分 类来辨识系统结构，以基于模式识别的优化方法来估计系统参数，这很适合于复杂 的非线性系统及缺乏先验知识的场合，pid 参数的优化可以根据不同的性能准则进 行选取。目前，误差准则函数使用较多，由于计算机的应用使得参数寻优变得容易， 我国学者项国波曾对 itae 性能准则进行了卓有成效研究。谢新民等曾提出过具有 专家系统的 pid 自整定方法，做法是将知识库用于 pid 参数调整，该方法对特定的 工业对象还是很有效的，它能克服采用参数自适应，自调整 pid 控制算法经常出现 的计算时间、硬件花费与工业现场要求的低成本、易维护、易操作之间的矛盾。随 着系统辨识的发展，各种为 pid 参数自整定而做的过程辨识也应运而生，国内外都 有学者对此进行过深入的研究，利用时间及频率加权，在保持简单性的前提下，可 以用来辨识通用的时不变线性系统，采用模型降阶的方法，基于一阶或二阶时滞模 型的调整规划来调整 pid 控制器，所建议的方法对测量噪声及扰动表现出鲁棒性。 文献中提出的基于递推参数估计的 pid 自整定方法是针对大多数受控工业过程是稳 定的而进行的，在满足闭环可辨识的条件下，辨识受控过程的开环非参数模型，在 频域中加以整定，通过在线校正整定系数可以在较短的时间内获得理想的 pid 控制 参数。 近年来，随着智能控制理论的发展，模糊控制及神经元控制日益受到控制界的 重视，出现了基于模糊推理的 pid 自整定控制器及自寻优模糊 pid 控制器，使系统 具有学习功能，可以对模糊规则进行修改，这种控制器因不依赖于具体的模型，因 而鲁棒性很强，应用单个神经元的 pid 控制已有人提出。基于神经网络的 pid 控制 器产生的原因是由于神经网络在一定的条件下可以逼近非线性，这样可在一定程度 上解决在整个工作范围内和保持长期工作的最优化问题。模糊控制以其简单性也渗 透到 pid 参数的自整定，但模糊控制的积分作用较弱，稳态精度低，为克服这一缺 点已经有人给出相应的对策。 近年来，dcs 控制的发展为做为基础控制级的现场控制器的更新提供了更大的 机遇，但 pid 控制仍以其独有的优势被人们保留下来，只不过 pid 控制器的性能一 步步提高14。pid 控制器的参数整定主要走融合发展的道路，具体体现在以下两个 方面： (l)先进控制理论对 pid 整定的促进作用。自适应控制中的 mras，str 模型适 应与调节器适应思想可能导致非线性自适应 pid 控制器。神经网络权值的在线学习 有望摆脱 pid 参数整定对模型的依赖性。 (2)数学模型的新的辨识技术会推动人们对 pid 参数整定的概念的更深刻的理解。 经过几代研究人员和工程人员的努力，pid 及基于 pid 的各种改进型的控制器的研 究和应用己相当成熟，是当前控制工程的主流控制器，其实用性和有效性是毋庸质 7 疑的。但是 pid 控制器仍有许多不足和需要进一步改进之处，特别是把 pid 型控制 器用于复杂对象(主要是时延较大、参数时变较快、不确定性明显和非线性严重)的 控制时，控制质量还是不够理想。因此，如何成功地把 pid 型控制器用于复杂对象 的控制，是 pid 型控制器今后研究的主要方向。 1.5 本文主要内容本文主要内容 对 pid 控制器的设计和应用，核心问题是 pid 参数的整定，即确定参数的稳定 域问题。如何在被控对象的实际变化状况下，解决静态与动态性能之间，鲁棒性与 控制性能之间的矛盾，成为众多研究者和生产者非常关注的课题。为了解决这个问 题，人们提出了大量的理论和改进技术，众多的 pid 参数整定方法不断涌现15-17。 本文针对带滞后因子的一阶惯性环节，基于一种时滞系统图解稳定性准则，讨 论 pi 控制器参数稳定域的确定，并将这种思想推广应用于相角裕度和幅值裕度的设 计。所采用的图解稳定性准则给出了时滞系统稳定的充分必要条件，所得结果没有 任何保守性。在参数空间直接绘制 pid 控制器的稳定参数边界曲线和相角裕度、幅 值裕度曲线，避免了复杂的数学计算。给出了确定参数稳定域和相角裕度、幅值裕 度的具体算法。仿真算例说明本文给出的设计方法具有很大的灵活性和实用性。另 外实验方面在 matlab 仿真软件上模拟出 pid 控制器控制前后时滞被控对象的结果。 本文分成以下几个章节： 第一章绪论阐述了滞后系统产生的原因，给出了滞后的定义，以及把研究重点 转移到对纯滞后系统上，并说明转移重点的原由，同时对纯滞后对象的特点进行简 要分析，介绍了时滞系统的控制方法研究的现状以及国内外 pid 控制和研究现状。 第二章针对带滞后因子的一阶惯性环节的 pi 控制器，给出确定其参数稳定域的 一种图解方法。基于参数空间的图解稳定性准则，在已知比例增益范围的前提下， 针对稳定和不稳定开环对象，直接在积分一微分参数空间绘制和确定稳定区域，避 免了复杂的数学计算，并将这种思想推广应用于相角裕度和幅值裕度的设计。然后 介绍了 pid 控制器性能设计图解法，讨论了一阶稳定与不稳定时滞系统可整定 pid 控制器的参数域问题，讨论 pid 控制器参数稳定域的确定，并且用 matlab 仿真算例 来证明这种方法的正确性。 第三章是利用 matlab/simulink 仿真软件，仿真 pid 控制器控制下的时滞闭环系 统，验证第二章理论的正确性。 8 2 滞后过程 pid 控制器参数整定方法 工业过程控制领域存在大量时滞现象，如化学工业中的发酵过程、造纸过程、 加热炉的传热过程等。时滞的存在往往导致系统的不稳定和性能指标的退化，所以， 针对时滞过程的控制算法研究具有很大实际意义。适用于时滞过程的先进控制算法 层出不穷，如动态矩阵控制、广义预测控制、模糊预测控制等。但是，在这些算法 中，有的对过程模型有一定要求，有的因为复杂性和参数整定方面的原因，在实际 中并没有得到广泛的应用。pid 控制算法由于简单实用，易于实现，适用范围广， 鲁棒性好，在工业过程中获得了广泛的应用。据统计，目前工业控制器中约 90%仍 是 pid 控制器。pid 控制器的设计及其参数整定一直是控制领域所关注的问题。在 实际应用中，参数整定往往基于经验法，如对带滞后的一阶惯性环节的 ziegler- nichols 方法等。近年来，针对时滞系统，确定 pid 控制器的参数稳定域正成为研究 的热点。参数稳定域的确定为 pid 控制器参数整定提供了一种新的途径。已知参数 稳定域，可以进一步在稳定域内确定满足某种系统性能要求的参数值，实现 pid 控 制器参数的最佳整定18。 2.1 pid 控制方法简介控制方法简介 pid 控制方法自 20 世纪 40 年代提出以来，目前发展的相对比较完善。在自动 控制的发展里程中，pid 控制是历史最悠久、控制性能最强的基本控制方式。pid 控制原理简单，易于整定，使用方便;按照 pid 控制功能工作的各类控制器对受控对 象特性的稍许变化很敏感，这就极大的保证了控制的有效性;pid 控制可用于补偿系 统使之达到大多数品质指标的要求。到目前为止，pid 控制仍然是基本控制方式19。 常规 pid 控制器是一种线性控制器，根据给定值 r(t)与实际输出值 y(t)构成偏差 e(t)， 即: e(t) = r(t)-y(t) (2-1) 将偏差的比例（p）、积分（i）、微分（d）通过线性组合构成控制量，对被控 9 对象进行控制，其控制算式是: (2-2) 0 1( ) ( ) ( )( ) ( ) t pd i de t u tke te t d tt tdt 传递函数形式为: （2-3 ( )1 ( )(1) ( ) pd i u s g skt s e sts ） 式中: 为比例系数，为积分时间常数，为微分时间常数。下面介绍三种 p k i t d t 校正环节的主要控制作用及其在具体实现过程中的一些改进。 2.1.1 比例作用 在比例控制器中，控制器的输出信号 u 与偏差信号 e 成比例，即: (2-4) p uk e 其中: 称为比例系数。比例控制可以及时成比例地反映控制系统的偏差信号 p k e，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用减少偏差。比例控制器的特点是简单、 快速，缺点是对于具有自平衡性的控制对象可能产生静态误差(自平衡性是指系统阶 跃响应终值为一有限值);而对于带有滞后的系统，可能产生振荡，系统的动态特性也 随之降低。 增大比例系数，可以加快响应速度，减小系统稳态误差，从而有利于提高控 p k 制精度。然而取的过大，系统开环增益也随之加大，有可能导致系统稳定性降低 p k 甚至激烈震荡。 减小比例系数，能使系统减少超调量，稳定裕度增大，却同时降低了系统的 p k 调节精度，导致过渡过程时间延长。 根据系统控制过程中各个不同阶段对过渡过程的要求以及操作者的经验，通常 在控制的初始阶段，适当的选取较小的，以减小各物理量初始变化的冲击;在控 p k 制过程中期，适当加大，提高快速性和动态精度，在过渡过程的后期，为避免产 p k 生大的超调和提高静态精度稳定性，再将调小。 p k 2.1.2 积分作用 在积分控制中，控制器的输出信号 u 的变化速度与偏差信号 e 成正比，即: du dt (2-5) 1 i du e dtt 式中称为积分时间常数。 i t 10 积分控制主要用于提高系统的抗干扰能力，消除静差，提高系统的无差度。积 分控制的特点相当于滞后校正环节，因此它也会使系统的稳定性变差。积分作用虽 然可以消除静差，但不能及时克服静差，偏差信号产生后有滞后现象，使调节过程 缓慢，超调量变大，并可能产生振荡。 越大积分速度越慢，越小积分速度越快。即积分作用的强弱取决于积分时 i t i t 间常数。 i t 增大积分作用即减小有利于减小系统静差，但过强的积分作用会使超调过大， i t 系统稳定性下降甚至引起振荡。若减小积分作用即增大，虽然有利于系统稳定， i t 避免振荡，减小超调量，但又对系统消除静态误差不利。 在控制系统设计实践中，通常在控制过程的初期阶段，为防止由于某些因素引 起的饱和非线性等影响而造成积分饱和现象，从而引起响应过程的较大超调量，积 分作用应弱些，而取较大的在响应过程的中期，为避免对系统动态稳定性造成影 i t 响，积分作用应取适中;在控制过程后期，应取较小的值以减小系统静差，提高调 i t 节精度。 2.1.3 微分作用 微分作用的引入，主要是为了改善闭环系统的稳定性和动态响应的速度。微分 作用使控制作用于被控量，从而与偏差量变化趋势形成近似的比例关系。在微分控 制器中，调节器的输出口与被调量或其偏差对于时间的导数成正比，即 (2-6)() dd dedrdy utt dtdtdt 其中称为微分时间常数。可见微分作用输出只与偏差变化有关，偏差无变化 d t 就无控制信号输出，所以不能消除静差。控制器中增加微分作用相当于使控制输出 超前了时间，为零时，相当于没有微分作用。 d t d t 微分控制的特点是，针对被控对象的大惯性改善动态特性，它能给出响应过程 提前制动的减速信号，相当于其具有某种程度的预见性。它有助于减小超调，克服 振荡，使系统趋于稳定，同时加快系统的响应速度，减小调整时间，从而改善了系 统的动态特性。式(2-6)为理想的微分作用，实际控制中 r 通常保持为某个特定值。 虽然线性控制理论给出了理想情况的分析结果，实际中此时 dr/dt 表现为一个采样周 期的尖脉冲。其本身己失去对实际控制的指导意义，还造成控制输出的大范围跳变。 影响现场执行机构的有效使用寿命。所以实际应用中可根据情况设计相当于超前校 正环节的控制器，实现微分作用，即“微分先行”的形式。微分作用的缺点主要是 抗干扰能力差。 11 若增加微分作用，即增大，有利于加快系统响应，使超调量减小，增加稳定 d t 性，但同时会使系统对于扰动敏感，抑制外干扰能力减弱，若过大还会使响应过 d t 程过分提前制动，而延长过渡时间。 减小微分作用，即减小，控制过程的减速就会滞后，从而使超调量增加，系 d t 统响应变慢，稳定性变差。因此，对于时变且不确定系统，不应取定值，应随被 d t 控对象时间常数而随机改变。 根据长期操作经验，在响应过程初期，适当加大微分作用以减小甚至避免超调； 响应过程中期，由于对的变化很敏感，因此应小些，且保持不变;在控制过程后 d t d t 期，应再小一些，从而减弱过程的制动作用，增加对扰动的抑制能力，使控制的 d t 初期因较大而导致的调节时间增长而得到补偿。积分和微分调节作用通常与比例 d t 控制作用一起使用，实现不同的控制性能。 从 pid 控制器的 3 个参数的作用可以看出 3 个参数直接影响控制效果的好坏， 所以要取得较好的控制效果，就必须对比例、积分、微分 3 种控制作用进行调节。 总之，比例主要用于偏差的“粗调”，保证控制系统的“稳”；积分主要用于偏差 的“细调”，保证控制系统的“准”；微分主要用于偏差的“细调”，保证控制系 统的“快”20。 2.22.2 pidpid 控制器性能设计方法控制器性能设计方法 pid 控制器设计的核心是参数整定，因此在 pid 控制器广泛传播过程中，对 pid 参数整定的研究也一直是控制领域很受关注的，经过几十年的发展，特别是经 过计算机技术的发展，pid 整定方法越来越灵活多样，使得 pid 控制器的应用更加 广泛，实用性也大大改善了。本文就此介绍了几种常见的 pid 整定方法,并且重点介 绍了一种基于 matlab 的图解稳定性准则的参数整定方法。 2.2.1 pid 参数的稳定边界法整定（基于 simulink 环境） 稳定边界整定方法是基于传递函数根轨迹在 s-平面上，以虚粙为准线，对控制 器进行参数设计21。原来的计算方法靠的是纯数学公式进行分析计算，计算过程中 难免会有差错，现在通过 matlab/simulink 的应用，使得数学计算变得比较简便快捷， 同时大大减少了计算的偏差，使得这一方法变得可靠实用。值得提出的是， simulink 环境仿真的优点是:框图搭建非常方便、仿真参数可以随便修改。 表 2-1 稳定边界法参数整定的计算公式 整定参数 调节规律 p k i k d k 12 p 0.5 p k pi 0.455 p k0.535/ p k m t pid 0.6 p k1.2/ p k m t0.075 p k m t 使用稳定边界法整定 pid 参数分为以下几步. 1)将积分系数和微分系数设为 0,置较小的值，使系统投人稳定运行. i k d k p k 2)逐渐增大比例系数，直到系统出现稳定振荡，即所谓临界振荡过程记录此 p k 时的临界振荡增益和临界振荡周期。 p k m t 3)按照表 1 的经验公式和校正装置类型整定相应的 pid 参数，然后再进行仿真 校验. 例如，已知某对象为二阶惯性环节，其传递函数为： 1 ( ) (51)(21) g s ss 测量装置和调节阀的特性为： 1 ( ) 101 m gs s ( )1.0 v g s 结果，最终整定的 pid 校正装置参数为： =7.5000，=0.5000，=14.2500 p k i k d k 本系统是过程控制对象，特点是时间常数大，控制要求精度不高。在 simulink 环境下应用边界整定 pid 参数非常方便。以下是仿真模块图和相应的阶跃响应曲线。 13 图 2-1 整定前的模块和曲线 图 2-2 整定后的模块和曲线 2.2.2 临界比例度法 ziegler 和 nichols 提出的临界比例度法是一种非常著名的工程整定方法22。通 过实验由经验公式得到控制器的近似最优整定参数，用来确定被控时象的动态特性 14 的两个参数临界增益和临界振荡周期。临界比例度适用于已知对象传递函数 m k m t 的场合，在闭合的控制系统里将控制器里于纯比例作用下，从大到小逐渐改变控制 器的比例增益称得到等幅振荡的过渡。此时的比例增益价被称为临弄摺益凡，相邻 两个波峰间的时间间隔为临界振荡周期 m t 用临界比例度法整定 pid 参数的步骤如下: (l)将控制器的积分时间常数置于最大(=)微分时间常数置零(=0)， i t i t d t d t 比例系数置适当的值，平衡操作一段时间，把系统投入自动运行。 p k (2)将比例增益逐渐减小，直至得到等幅振荡过程，记下此时的临界增益 p k 和临界振荡周期值。 m k m t (3)根据和值，按照表 2-2 中的经验公式，计算出控制器各个参数，即， m k m t p k 和的值： i t d t 表 2-2 临界比例度法参数整定公式 控制器类型 p k i k d k p 0.5 m k 0 pi 0.455 m k0.833 m t 0 pid 0.6 m k0.5 m t0.125 m t 2.2.3 图解稳定性准则的参数整定方法 这是本文重点介绍的参数整定方法23-27。 考虑图 2-3 所示 siso 单位反馈控制系统，其中:r(t)为参考输入信号，y(t)为输出 信号，g(s)代表被控对象传递函数，c(s)代表控制器传递函数。 c(s)g(s) r(t)y(t) 图 2-3 单位反馈系统 本文假设被控对象 g(s)为带滞后因子的一阶惯性环节，即有： + 15 (2-7)( ) 1 s k g se ts 其中 k0 为稳态增益，0 为滞后时间，t 为惯性环节时间常数。控制器 c(s) 取 pi 形式： (2-8)( ) i p k c sk s 设计的目标是确定 pi 控制器的参数集合(,) ，使得图 2-1 所示闭环系统稳 p k i k 定。 首先，求得系统的闭环特征多项式为 (2-9)( )(1)() s pp stsk kk s e 各项同时乘以得 s e * (s) (2-10)(1)() s pp ts sek kk s 令 s= j，得到 * (j)=(1+jt)j+ (2-11) j e () ip k kjk 将* (j)分解为实部和虚部，有 * (j)= (2-12)( )( ) ri j 其中 (2-13) 2 2 ( )cos()cos() ( )cos()sin() ri ip tkk tkk 由式(2-13)可以看到，与依赖于参数,，将其记为 r i p k i k =(,) r r p k i k =(,) i i p k i k 基于以上表达式，可以在参数空间(,)研究闭环特征多项式具体方法如下: p k i k 假设()为虚轴上的一点，使得 00 , pi kk (2-14) 00 00 (,)0 (,)0 rrpi iipi kk kk 16 即闭环系统在虚轴上存在一个根。由隐函数存在定理可知，如果雅可比矩阵 （2- 00 (, ) pi rr pi ii pi kk kk j kk 15） 非奇异(即矩阵的行列式 det0)，则由方程组(2-14)可解得局部唯一连续解曲线jj 。进一步，有如下命题。( ),( ) pi kk 命题 1 沿增加的方向，当 det0 时，左侧为稳定的参数区域。其中为由式(2-15)jj 定义的雅可比矩阵。 注 1 该命题给出了在参数空间研究系统稳定性的一个充分必要条件，所得结果 没有任何保守性。 2.2.4 pi 控制器参数稳定域 首先，注意到闭环系统稳定的一个基本要求是当无时滞时，闭环系统应是稳定 的。当=0 时，由(2-10)式，闭环特征方程为 * (s)=(1+ts)s + k(+s) (2-16) i k p k 有如下两种情况: a)、开环稳定对象。此时 t0。由 routh 判据，闭环系统稳定的充分必要条件 为: (2-17) 0 1 i p k k k b)、开环不稳定对象。此时 t0 取 t=0.2 ,=0.2 , k=1。按算法 1，在(，)平面上，稳定边界线的起点为(- p k i k 1/k，0)=(-1, 0)。随的增加，由于(11)式给出的 det j 60的参数区域。给定 h=3，按算法 2，绘制幅值裕度曲线，如图 m 2-2 中虚线所示。曲线的右侧为满足 h3 的参数区域。两条裕度曲线的交点约为 (，)=(0.5 , 2.6)。此时的单位阶跃响应如图 2-3 中曲线 1 所示。如果想进一步 p k i k 减小超调量，可在幅值裕度曲线和相角裕度曲线的相交区域中取一点(，)=(0.5 , p k i k 2.3)，其阶跃响应如图 2-3 中曲线 2 所示。如果想进一步加快响应的速度，可在相角 裕度曲线上取对应较大的一点(，)=(0.6 , 2.5)，相应的阶跃响应如图 2-5 中曲 p k i k 线 3 所示。 曲线 1 曲线 2 21 曲线 3 图 2-5 单位阶跃响应 例 2 开环不稳定情形。此时，t0 为稳态增益，0 为滞后时间，t 为惯性环节时间常数。c(s)为 pid 类型控制器，有 (2-29)( ) i pd k c skk s s 设计的目标是确定 pid 控制器参数集合(, ，)，使得图 2-3 所示的闭环 p k i k d k 系统稳定。 系统的闭环特征多项式为 (2-30) 2 ( )(1)() s ppd sts sk kk sk se 23 两端同时乘以，得 s e * (s) (2-31) 2 (1)() ss ppd ts sek kk sk se 对式(2-31)做变量变换得 (2-32) ,0 sz zxjy 即 s-平面的竖直线 s=-被变换为 z-平面的虚轴。换句话说，考虑的是 s-平面的 相对稳定度0 的问题。将式(2-32)带入(2-31)，得到关于变量 z 的闭环特征多项式 为 (2-33) ()2 ( )1()()()() z ipd zt zzek kkzkz 注意到关于变量 z 是解析的。( ) z 令 z=jy，并将相应的(jy)分解为实部和虚部，则式(2-33)成为 (jy)= ( )( ) ri yjy 其中 (2-34) 222 2 ( ) (1)cos()(1 2)sin()() ( )(1 2)cos() (1)sin()2 ripd ipp ytty eytyeykkkkkky ytyeytty eykk ykk y 由式(2-34)可以看到与依赖于参数和 y，记为 r i , pid kk k =(,y) r r p k i k d k =(,y) i i p k i k d k 基于以上表达式，给定参数和，便可在参数空间(,)研究闭环特征多 p k i k d k 项式(2-33)的稳定性。具体方法如下:假设()为虚轴上的一点使得 00 , , idp kkky (2-35) 00 00 (, , )0 (, , )0 rridp iiidp kkky kkky 即虚轴上存在一个根。由隐函数存在定理可知，如雅可比矩阵 24 (2-36) 00 (, , ) idp rr id ii id kkky kk j kk 非奇异，则由方程组(2-35)可解得局部唯一连续解曲线()。命题 1 给出( ),( ) id k y ky 了在参数空间研究系统稳定性的一个充分必要条件。由式(2-34)和(2-36)，得 (2-37) 2 det20 0,0 jky y 由式(2-34),以,y 为参变量，解得 p k (2-38) 22 ( , )cos()( , )sin() 22 ( , )sin()( , )cos() () p d ipd k ayybyy k ky ayybyy kkky k 其中 2 ( , )(1 2) ( , ) (1) aytye bytty e 由于特征方程(2-33)的系数和均为实数，如果 z 是式(2-33)的根，则其复共轭 亦为根，所以只需考虑。0,)y 接下来，按 y=0 和 y（0,)两种情况讨论参数空间的稳定域。(,) id k k 1)根据式(2-33)，观察到当复变量 z 为正实数，即 x,y=0 时，式(2-33)确定了 与之间的一个线性关系 i k d k (2-39) di kakb 其中 2 () 1 () 11() ()() x a x t x be xk x 固定=1, =l,直线族(2-39)可在()-平面扫出不稳定区域。 p k, id k k 2)利用式(2-38)绘制 y0 时的参数曲线()，如图 2-7 所示。( ),( ) id k y ky 25 图 2-8 稳定区域 以下按开环稳定对象和开环不稳定对象给出具体确定 pid 参数稳定域的方法。 1) 开环稳定对象 此时有 t0。 命题 2 对给定的开环稳定对象(2-1),使得定 pid 控制器存在的比例增益的范 p k 围由下式确定: (2-40) 111 11 (sincos) p t kaaa kk 其中为方程 1 a tan t aa t 在区间(0，)内的解。当比例增益超出上述范围时，镇定 pid 控制器不存在。 p k 给定 t=0.2，=0.2，k=1，=0.0001。式(2-40)得到的范围为-10.5。如果该条件成立，则使得镇定 pid 控制器存在的比例增益的范 p k 围由下式确定： (2-41) 222 11 (sincos) p t aaak kk 27 其中为方程式(2-41)在区间(0，)内的解。当比例增益超出上述范围，镇 2 a p k 定 pid 控制器不存在。 给定 t=-0.3, =0.2, k=1 , =0.0001。此时，对象(2-1)不稳定。由式(2-42)得到 的范围是-2.400 绘制 y=0 时对应的不稳定区域; step3：取与 step2 相同的和值，按式(2-38)绘制 y(0, )时对应的临界稳定线; p k step4：根据命题 1 和雅可比矩阵的行列式(2-37)的符号判断稳定区域。 从以上分析和设计过程可以看出，对任意给定的被控对象，只要大致知道比例 增益的取值范围(可由无滞后情形下特征多项式稳定的必要条件和劳斯判据得到)， p k 就可按算法 3 在()平面绘制和确定稳定参数区域。, id k k 3 一阶时滞系统的 pid 控制器 matlab/simulink 仿真 前两章通过理论公式分析设计出了时滞系统 pid 控制曲线。本章的任务是通过 仿真证明第二章理论探索的的 pid 曲线的正确性。主要用到的数学工具是 matlab，通过 matlab/simulink 上的仿真结果来验证方法的正确性。 我们来看 pid 控制器控制一阶时滞系统的结果，时滞对象可以分为不稳定对象 和稳定对象，分为两种情况讨论仿真结果。 3.1 一阶开环不稳定时滞系统一阶开环不稳定时滞系统 例 1 考虑下面的一阶不稳定时滞系统 (3-1) 0.2 1 ( ) 31 s g se s 用 pid 控制器来整定。 讨论 pid 控制前的 simulink 模块图和被控对象阶跃响应如图 3-1 29 图 3-1 被控对象阶跃响应 pid 控制后的 simulink 模块图和被控对象阶跃响应如图 3-2: 30 图 3-2 被控对象阶跃响应 图 3-1 和 3-2 从理论上证明了本文中所研究的 pid 控制器参数稳定域图解法对 于不稳定对象时的正确性。 3.2 一阶开环稳定时滞系统一阶开环稳定时滞系统 例 2 选取和实验同样的数据，考虑下面的一阶稳定时滞系统 (3-2) 0.2 1 ( ) 0.21 s g se s 用 pid 控制器来整定。 讨论：1）pid 控制前的 simulink 模块图和被控对象阶跃响应如图 3-3, 31 图 3-3 被控对象阶跃响应 2）pid 控制后的 simulink 模块图和被控对象阶跃响应如图 3-4: 图 3-4 被控对象阶跃响应 图 3-4 中所示的阶跃响应曲线与用稳定边界法（或者临界比例度法）所取得的 整定效果基本一致，从而证明了理论的正确性。 32 结束语 在工业生产过程中，往往不同程度的存在着时滞现象，或者对高阶对象采用低 阶模型加时滞来近似描述。由时滞的存在使得系统无法获得良好的性能。 本文针对一阶线性时滞系统的 pid 的整定问题做了一些研究： 1. 首先简要介绍了时滞系统的定义，产生原因以及简要介绍时滞系统的解决方 法，指出了本文的研究对象和方向：一阶时滞系统的 pid 整定问题。 2. 对于一阶单变量时滞系统，第二章首先分别介绍了常见的 pid 整定方法，同 时重点介绍了绘制和确定一阶滞后惯性环节 pi 参数稳定域和 pid 参数稳定域的新方 法。该方法的特点在于无需复杂的数学计算，直接在参数空间绘制并确定相应的参 数曲线，给出了完整的参数稳定域和所有满足相角裕度或幅值裕度的参数区域，为 pid 控制器的参数整定提供了一种有效和灵活的方法。从具体的推导过程可以看出， 该方法可应用于任意有时滞或无时滞的被控对象，具有一定普遍性和工程意义。 由于设计时间和个人水平经验所限，本课题尚需在以后的研究中进一步完善， 建议在以下几个方面进行后续工作: 1. 本文只研究了在单变量时滞系统下的 pid 参数稳定域，可继续将该方法应用 于多变量时滞系统进行研究。 2. 在系统原有的基础上加入新的控制功能，并引入人工智能方法(专家系统、模 糊逻辑、神经网络)，实现智能监测控制，从而提高传统监控系统的性能，形成监测、 控制、管理一体化的综