七年级数学思维探究（五）整式的加减（含答案）

5 整式的加减 解读课标 代数式是用加、减、乘、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，是 后续学习中进行运算、解决问题的基础 在代数式中，我们把那些含相同的字母，并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类 称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起 称为 合并同类项，整式的加减就是合并同类项 代数式的化简求值是代数式研究的一个重要课题，解这类问题的基本方法有： 将字母的值代入或字母间的关系整体代人，而关键是对代数式进行恰当变形，其中去括号、添括号能改变代数式的结构，是变形求解的常用工具 问题解决 例 1 甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价为 m 元的商品，甲超市连续两次降价 20% ； 乙超市一次性降价 40% ； 丙超市第一次降价 30% ，第二次降价 10% ，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是 _ 试一试用 m 的式子分别表示三家超市降价后的价格 例 2 下列四个数中可以写成 100 个连续自然数之和的是 （ ） A 1627384950 B 2345678910 C 3579111300 D 4692581470 试一试用 字母表示数，从揭示 100 个连续自然数之和的规律人手 例 3 已知关于 x 的二次多项式 3 2 2 33 2 5a x x x b x x x ，当 2x 时的值为 17 ，求当 2x 时该多项式的值 试一试设法求出 a 、 b 的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念隐含的关于 a 、b 的等式 例 4 有这样的两位数，交换该数数码所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数 例如， 29 就是这样的两位数，因为 22 9 9 2 1 2 1 1 1 ，请你找出所有这样的两位数 试一试设原数为 _发现 _ _ab 的特点是解本例的出发点 例 5 如图，是用棋子摆成盼图案，摆第 1 个图案需要 7 枚棋子，摆第 2 个图案需要 19枚棋子，摆第 3 个图案需要 37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第 6 个图案需要 _枚棋子，摆第 n 个图案需要_枚棋子 解法一 列表填数，观察数值，体会从特殊到一般的数学思想 图形序号 1 2 3 4 5 棋子总数 7 19 37 61 91 1 7 1 6 1 1 6a 2 1 9 1 6 1 2 1 1 2 6a ； 3 3 7 1 6 1 2 1 8 1 1 2 3 6a ； 猜想 21 1 2 3 4 6 3 3 1na n n n ， 再将 6n 代入该代数 式 得 137 解法二数形结合，分解图形， 感 悟从部分研究整体的思想 问题中“按照这样的方式摆下去”，何种方 式并没有 明确的界定，我们可以有不同的理解，如从平行四边形角度看，把图形分成三个平行四边形 如图，图的序列号： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 图中的点的数目 ： 7 ， 19， 37 ， 61， 91， 1 7 1 1 2 3a ； 2 1 9 1 2 3 3a ； 3 3 7 1 3 4 3a ； 4 6 1 1 4 5 3a ； 5 9 1 1 5 6 3a ； 猜想 21 1 3 3 3 1na n n n n 整体思考 整体思考是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析与改造，从整体上把握问题的特征和解题方向， 例 6（ 1） 已知当 1x 时， 22ax 的值为 3 ，则当 2x 时， 2 8ax 的值为 _ （ 2） 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片 (如图 1)不重叠地放在一个底面为长方形 （ 长为 宽为 的盒子底部（如图 2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长和是 （ ） A 4 B 4 C 2 D 4 （ 3） 记 12a a a ，令 12 S ST n ，称 1a ， 2a ， ， 列数的“理想数”，已知 1a ， 2a ， ， 500a 的 “理想数”为 2004 ，求 8 ， 1a ， 2a ， ， 500a 的理想数 试一试整体思考具体体现为：整体观察、整体变形、整体代入 对子 （ 1）， 能求出 a 、 b 的 值吗？对于（ 2）， 为表示图中相关量，还需知道什么？对于 （ 3） ，从理解“理想数”的意义人手，导出 1a ，2a ， ， 关系，要求的是 501T 的值 数学冲浪 知识技能广场 1 （ 1）若 523 与 3 和是单项式，则 _ （ 2） 有一组单项式： 2a ， 32a， 43a， 54a， 请观察它们的构成规律，用你发现的规 律写出 10个单项式为 _ 2 （ 1） 如图，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用 含 n 的等式表示第 n 个正方形点阵中的规律是 _ （ 2） 如图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 _（ 用含 n 的代数式表示） 3 数学翻译 牛顿是举世闻名的伟大数学家、物理学家，他创立了微积分（另一个创立者是莱布尼茨）、经典力学，在代数学、光学、天文学等方面也作出了重要贡献 牛顿用数学的语言、方法描述和研究自然规律，他呕心沥血写成的光辉著作自然哲学的数学原理，照亮了人类科学文明的大道 牛顿在他的普遍的算术一书中写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题，只要把题目由日图 11=1 1+3=22 3+6=326+10=42常的语言译成代数的语言就行了 ”下表是由牛顿给出，的 1 个例子改写、简化而成的，请将表的空白补上（不必求出问题的最后答案） 日常语言 代数语言 一个商人有一笔钱 x 第一年他花去了 100 镑 100x 补进去余额的 13 141 0 0 1 0 0 1 0 033x x x 第二年他又花去了 100 镑 411 0 0 1 0 0 4 7 0 033 又补进去余额的 131 结果他的钱数正好是原来的钱数 2 4 （ 1）已知 22 3 5，则 210 2 3 的值是 _ （ 2）若 m 、 n 互为倒数，则 2 1mn n的值为 _ 5 小王第一周每小时工资为 a 元，工作 b 小时 第二周每小时工资增加 10% ， 工作总时间减少 10% ，则第二周工资总额与第一周工资总额相比（ ） A 增加 1% B 减少 1% C 减少 D 不变 6 已知有理数 a 、 b 、 c 在数轴上的位置如图 所示，且 ，则代数式a c a c b b 的值为（ ） A 2c B 0 C 2c D 2 2 2a b c 7 如果 2 10 ，那么代数式 3227的值为（ ） A 6 B 8 C 6 D 8 8 已知多项式 239的和等于 23 4 1，则这个多项式是（ ） A 51x B 51x C 13 1x D 13 1x 9 已知多项式 222 6 2 3 5 1x a x y b x x y （ 1） 若多项式的值与字母 x 的取值无关，求 a 、 b 的值 _； （ 2） 在 （ l） 的条件下，求多项式 2 2 2 23 2 3a a b b a a b b 的值 ； （ 3）在（ 1）的条件下，求 2 2 2 21 1 12 3 91 2 2 3 8 9b a b a b a b a 10 如图所示， 1925 年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成 10个大小不同的正方形 如果图中标注的、正方形边长分别是 x ， y ，那么你能计算出其他 8 个正方形的边长吗？ 思维方法天地 11 已知多项式 4 3 2 4 3 4 32 5 1 3 2 0 2 1 2 1 3a x a x x x x b x b x x 是二次多项式，则 22=_ 12 已知 3 8 1P xy x ， 22Q x ，当 0x 时， 3 2 7恒成立，则 y 的值为 _ 13 （ 1） 若 0m n p ，则 1 1 1 1 1 1m n pn p m p m n 的值等于 _ （ 2） 已知 2004 ， 2005 ， 2007 ，则 a c b 的值 为 _ 14 如图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第 n 个图中阴影部分小正方形的个数是 _ 15 当 1x 时，代数式 32 3 8ax 的值为 18，那么，代数式 9 6 2=（ ） A 28 B 28 C 32 D 32 16 关于 1 的正整数 m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如 32 3 5 ， 33 7 9 11 ，34 1 3 1 5 1 7 1 9 , ，若 3m 分裂后，其中有一个奇数是 2013 ，则 m 的值是（ ） A 43 B 44 C 45 D 46 17 有甲、乙两种糖果 ， 原价分别为每千克 a 元和 b 元 根据柜台组调查，将两种糖果按甲种糖果 m 千克与乙种糖果 n 千克的比例混合，取得了较好的销售效果 现在糖果价格有了调整：甲种糖果单价上涨 %c ，乙种糖果单价下跌 %d ，但按 原比例混合的糖果 单价恰好不变，那么 ） A 若一个两位数恰等于它的各位数字之和的 4 倍，则这个两位数称为“巧数”，则不是“巧数”的两位数的个数是 （ ） A 82 B 84 C 86 19 有一张纸，第 1 次把它分割成 4 片，第 2 次 把其中的 1 片分割成 4 片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成 4 片，如此进行下去，试问： （ 1） 经 5 次分割后，共得到多少张纸片？ （ 2）经 n 次分割后，共得到多少张纸片？ （ 3）能否经若干次分割后共得到 2003 张纸片？为什么？ 20 已知： b 是最小的正整数且 a 、 b 、 c 满足 250c a b ，试回答问题 （ 1） 求 a ， b ， c 的值； （ 2） a 、 b 、 c 所对应的点分别为 A 、 B 、 C ，点 P 为一动点， 其对应的数为 x ，点 P 在 1 到 2 之间运动时（即 12x 时），请化简式子： 1 1 2 5x x x ； （ 3） 在 （ 1） 、 （ 2） 的条件下，点 A 、 B 、 C 开始在数轴上运动，若点 A 以每秒 1 个单位长度的速度向左运动，同时，点 B 和点 C 分别以每秒 2 个单位长度和 5 个单位长度的速度向右运动，假设 t 秒钟过后，若点 B 与点 C 之间的距离表示为 点 A 与点 B 之间的距离表示为 请问： B 的值是否随着时间 t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值 应用探究乐园 21 一 条公交线路上从起点到终点有 8 个站，一辆公交车从起点站出发，前 6 站上车 100 人，前 7 站下车 80 人 问从前 6 站上车而在终点站下车的乘客有多少人？ 22 在一次游戏中，魔术师请一个人随意想 一 个三位数 a 、 b 、 c 依次是这个数的百位、十位、个位数字），并请这个人算出 5 个数 和 N ，把 N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数 现在设 3194N ，请你当魔术师，求出数 自然数的排序 把自然数 1 ， 2 ， 3 ， n 按一定的方式排列顺序，可得到形式特异、内涵丰富的 排序问题，融知识性与趣味性于一体 解这类问题的关键是：通过观察能发现排序后的数阵中的规律，如行或列中数的规律、特殊位置数的规律等 例 1 将正整数按如图所示的规律排列下去，若用有序数对 ,n 排、第 m 个数，比如 4, 3表示的数是 9 ，则 7, 2 表示的数是 _ 1 第 1 排 2 3 第 2 排 4 5 6 第 3 排 第 1个图 第 2个图 第 3个图7 8 9 10 第 4 排 分析与解弄清题意是前提，找准规律是关键，正确表达尤重要，对于本例，最 明显也对解题最有指导价值的规律是：第 n 排有 n 个数，要求 ,n 个数即可 前 6 排共有 1 2 3 4 5 6 2 1 个数，即第 6 排最后一个数是 21 ，故 7, 2 表示的数是 21 2 23 例 2 正整数按如图所示的规律排列，请写出第二十行第二十一列的数字： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 2 5 10 17 第二行 4 3 6 11 18 第三行 9 8 7 12 19 第四行 16 15 14 13 20 第五行 25 24 23 22 21 试一试这个自然数表的特点可从以下方面观察：第 n 行的第一个数，第一行第 n 个数，每行或每列数的增减性 例 3 将正偶数按下表排列 5 列 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24 28 26 根据上面排规律，则 2000 应在（ ） A 第 125 行，第 1 列 B 第 125 行，第 2 列 C 第 250 行，第 1 列 D 第 250 行，第 2 列 试一试注意到每一行排 4 个数，奇数行空第一列，偶数行空第五列，只要计算出 2000 是第几个数即可 例 4 将自然数按如图所示的顺序排列，在这样的排列下，数字 3 排在第二行第一列， 13排在第三行 第三列 问： 1993排在第几行第几列？ 1 2 6 7 15 16 3 5 8 14 17 4 9 13 10 12 11 试一试从斜行方向上看，奇数斜行中的数由下向上递增，偶数斜行中的数由上向下递增 例 5 将正整数从 1 开始按如图所示的规律排成一个数阵，其中， 2 在第一个拐弯处， 3 在第二个拐弯处， 5 在第三个拐弯处， 7 在第四个拐弯处问：在第 2007 个拐弯处的数是多少 试一试用 示第 n 次拐弯时所对应的数，从寻求 n 之间的关系入手 练一练 1 已知一列数： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ，将这列数排成下列形式： 第 1 行 1 第 2 行 2 3 123 4 5678910111213 14 15 16 171819202122第 3 行 4 5 6 第 4 行 7 8 9 10 第 5 行 11 12 13 14 15 按照上述规律排下去，那么第 10行从左边数第 5 个数等于 _ 2 将正奇数按下表排列： 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列 第 1 行 1 3 5 7 第 2 行 15 13 11 9 第 3 行 17 19 21 23 第 4 行 31 29 27 25 根据表中的排列规律，数 2007 应排在第 _行，第 _列 3 自然数 1 ， 2 ， 3 ， ，按下表规律排列：横排为行，记数据 1 ， 2 ， 3 ， 4 的那一行为第一行，依次记下面的各行分别是 2 行，第 3 行， 试问 2011 位于该表的第 _行，并对应于“启智杯竞赛有趣”中的汉字： _ 启 智 杯 竟 赛 有 趣 1 2 3 4 7 6 5 8 9 10 11 14 13 12 15 16 17 18 4 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 由上，我们可知第 100 行的最后一个数是 _ 5 奇数宝塔 东方传统建筑中的塔，千姿百态，造型各异，数学中的宝塔更是千变万化、不计其数 从 1 开始的奇数，按照规律排成下面形式的宝塔： 第几行 行中各数的和 1 1 31 3 5 2 32 7 9 11 3 3 13 15 17 19 4 34 21 23 25 27 29 5 35 31 33 35 37 39 41 6 36 观察行中各数的规律： 前 2 行的各数之和 3 3 21 3 5 1 2 3 ； 前 3 行的各数之和 3 3 3 21 3 5 7 9 1 1 1 2 3 6 ； 前 4 行的各数之和 3 3 3 3 21 3 5 1 9 1 2 3 4 1 0 ； 前 5 行的各数之和 3 3 3 3 3 21 3 5 2 9 1 2 3 4 5 1 5 ； 因此，可推知前 6 行的各数之和 3 3 3 3 3 31 3 5 4 1 1 2 3 4 5 6 _； 根据以上规律，猜想： 3 3 312 n =_ 6 如图， 数表是由从 1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 33 34 35 36 （ 1） 表中第 8 行的最后一个数是 _，它是自然数 _的平方，第 8 行共有 _ 个数 （ 2） 用含 n 的代数式 表示：第 n 行的第一个数是 _，最后一个数是 _，第 n 行共有 _个数 （ 3）求第 n 行各数之和 7自然数按右表的规律排列： （ 1） 求上起第十行、左起第十三列的数； （ 2） 数 127 应在上起第几行、左起第几列？ 25 24 23 22 212019181716 15 14 131211109 8 7654 3215 整式的加减 问题解决 例 1 乙 例 2A 设自然数从 1a 开始，这 100 个连续自然数的和为 1 2 1 0 0a a a 100 5050a 例 3 1 原多项式整理得 321 2 3 5a x b a x b a x 由题意得 10a 从而 1a ， 1b 例 4 1 0 1 0a b b a 11 因而 是 11的倍数，即 11a b k ，且 k 是完全平方数， 由于 a 9 ， 9b ，得 18 ， 1k ， 从而 11 推得这样的两位数有 8 个： 29 ， 38 ， 47 ， 56 ， 65 ， 74 ， 83， 92 例 6（ 1）由条件得 23 ，原式 2 ； （ 2）设小长方形的长为 a ，宽为 b 上面的阴影周长为： 2 n a m a ，下面的阴影周长为： 2 2 2m b n b 总周长为： 4 4 4 4 2m n n a b 又 2a b m 4 4 4 2m n a b 4n 故选 B （ 3）由定义得 1 1 2 1 2 3 1 21a a a a a a a a 即 1 2 3 11 1 2 2n n nT n a n a n a a 又 5 0 0 1 2 3 4 9 9 5 0 01 5 0 0 4 9 9 4 9 8 2500T a a a a a 1 2 3 4 9 9 5 0 05 0 0 4 9 9 4 9 8 2a a a a a 2004 500 故 8 ， 1a ， 2a ， 500a 的“理想数” 为 5 0 1 1 2 3 4 9 9 5 0 01 5 0 1 8 5 0 0 4 9 9 4 9 8 2501T a a a a a 1 5 0 1 8 2 0 0 4 5 0 0501 2008 数学冲浪 1（ 1） 4 （ 2） 1110a2（ 1） 21122n n n n n（ 2） 42n 3（ 1） 1 1 14 7 0 0 4 7 0 03 3 3 41 4 7 0 033 x （ 2） 414 7 0 033 xx 4（ 1） 5 ； （ 2） 1 5 B 6 A 7 C 8 A 9（ 1） 3a ， 1b ； （ 2）原式 17 （ 3）原式 62 10的边长为、边长之和： ； 的边长为、边长之和： 2y x y x y ； 的边长为 、边长之和： 23y x y x y ； 的边长为 的边长加上与边长之差： 34x y x y y ； 的边长为 的边长减去边长： 4； 的边长为 的边长减去与边长这客： 4 y x x x y 33； 的边长为 、 边长之和： 4 3 3y x y x 74； 的边长为 、 边长之和： 7 4 3 3y x y x 10 7 11 2213 由条件可得 2 1 0 且 5 13 0 12 2 代入化简得 13 2 0 20y 13（ 1） 3 （ 2） 1100314 2 2 15 C 16 C 3m 分裂后的第一个数是 11，共有 m 个奇数，由 4 5 4 5 1 1 1 9 8 1 4 6 4 6 1 2 0 7 1 ，得 45m 17 D 18 C 90 4 86 （个） 19（ 1）共得到 1 3 5 16 张纸片； （ 2）经 n 次分割，共得到 13n 张纸片 （ 3）若能分得 2003 张纸片，则 1 3 2003n ， 3 2002n ，无整数解，所以不可能经若干次分割后得到2003 张纸片 20（ 1） 1a ， 1b ， 5c （ 2）原式 12 2x （ 3） 32AB t， 34BC t， 2B，不随时间 t 的改变而改变 21设前 7 站上车的乘客数量依次为 1a ， 2a ， 3a ， 4a ， 5a ， 6a ， 7a 人， 从第 2 站到第 8 站下车的乘客数量依次为 2b ， 3b ， 4b ， 5b ， 6b ， 7b ， 8b 人， 则 1 2 3 4 5 6 7a a a a a a a 2 3 4 5 6 7 8b b b b b b b 又 1 2 3 4 5 6 100a a a a a a ， 2 3 4 5 6 7 80b b b b b b ， 即 781 0 0 8 0 ， 8720 22将 加到和 N 上，由于 a 、 b 、 c 在每一 位上都恰好出现两次， 所以 222a b c N a b c 从而 1 0 0 0 3 1 9 4 2 2 2 3 1 9 4 ， 于是 1 5 1 8 因为 2 2 2 1 5 3 1 9 4 1 3 6 ， 2 2 2 1 6 3 1 9 4 3 5 8 ， 2 2 2 1 7 3 1 9 4 5 8 0 ， 2 2 2 1 8 3 1 9 4 8 0 2 其中只有 3 5 8 16 满足要求，即能使成立，故 358 自然数的排序 例 2第 n 行第一列数字为 2n ，第 1n 列数字为 2， 故第二十行第二十一列的数字为 220 20 420 例 3 2000n ，得 1000n ，又 1000 4 250 例 4第 n 斜行中共有 n 个连续的自然数，其中最大的数是 12 第 62 斜行的最大数是 6 2 6 2 1 19532 ， 第 63 斜行的最大数是 6 3 6 3 1 20162 ， 因此， 1933位于第 63 斜行 又第 63 斜行中的数是由下向上递增的，左边第一个数是 1954 ， 则 1993是位于第 63 斜行的由下向上数第 1 9 9 3 1 9 5 4 1 4 0 个位置的数， 换数成原图中行和列是第 63 40 1 24 行、第 40 列 例 5 1 2a ， 2 3a ， 3 5a ， 4 7a ， 5 10a ， 6 13a ， 7 17a ， 8 21a ， 又 313， 535， 757，即后一拐弯数 =前一拐弯数 +后一拐弯次数 故 2 0 0 7 2 0 0 5 2 0 0 32 0 0 7 2 0 0 5 2 0 0 7a a a 3 5 7 2 0 0 7a 2 3 5 2 0 0 7 1 1 3 5 2 0 0 7 1 2 0 0 7 1 0 0 41 2 21004 1 1008017 故第 2007 个拐弯处的数是 1008017 练一练 1 50 提示：前 9 行的数的个数和为 1 2 3 9 4 5 ， 故第 10行数为 46 ， 47 ， 48 ， 49 ， 50 ， 51， 2 251 ， 5 参见例 3 3 575 ；杯 2011 被 7 除得商 287 （为奇数），余数 2 4 10200 第 k 行的最后一个数是 211k 5 221 ； 21 2 3 n 6（ 1） 64 ； 8 ； 15 （ 2） 2 22； 2n ； 21n （ 3）设第 n 行各数之和为 S ， 则 2 2 2212 2 2 3nS n n n n n 项 2 2 2212 2 2 3nn n n n n 项 2222 2 2 1n n n n 322 3 3 1n n n 7提示：经观察可得这个自然表的排列特点：第一列的每一个数都是完全平方数， 并且恰好等于它所在行数的平方，即第 n 行的第一个数为 2n ； 第一行第 n 个数是 211n； 第 n 行中从第一个数至第 n 个数依次递减 1 ； 第 n 列中从第一个数至第 n 个数次递增 1 这样可求：（ 1）上起第十行，左起第十三列的数应是第十三列的第 10个数， 即 21 3 1 1 9 1 5 4 （ 2）数 127 满足关系式 2127 11 6 21 2 1 1 5 即 127 在左起十二列，上起第六行的位置 供应站的最佳位置的确定 例 1即在数轴上找出表示 x 的点，使它到表示 1 ， 2 ， ， 617 各点距离之和最小， 当 309x 时，原式的值最小，最小值是：3 0 9 1 3 0 9 2 3 0 9 3 0 8 0 3 0 9 3 1 0 3 0 9 3 1 1 3 0 9 6 1 6 3 0 9 6 1 7 3 0 8 3 0 7 1 1 2 3 0 8