安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试理数试题含答案解析

12999 数学网 12999 数学网 安徽省黄山市 2017 届高三第二次模拟考试 数学（理）试题 参考公式： 如果事件 、 互斥 , 那么 如果事件 、 互斥独立 , 那么 如果随机变量 ，则 第 卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 已 知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由已知，可得 或 ， ，又，故选 C. 2. 复数 ，若 ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ，又 ，时， 符合题意，故选 A. 3. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 由 , 可得 , - 得， 又 ，故选 D. 4. 在 中， ,给出 满足的条件，就能得到动点 的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程： 12999 数学网 12999 数学网 条件 周长为 面积为 中， 方程 则满足条件 ， ， 的轨迹方程依次为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 5. 已知 的取值范围是 ，执行下面的程 序框图，则输出的 的概率为（ ） 12999 数学网 12999 数学网 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 该程序框图表示的是分段函数 ，由 可得， ，由几何概型概率公式可得， 的概率为 ，故选 B. 6. 过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图 所示，则原圆推的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 12999 数学网 12999 数学网 【解析】 由已知中的三视图，圆锥母线 ，圆锥的高 ，圆锥底面半径为 ，故原圆锥的体积为 ，故选D. 7. 已知 ，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】，故选 B. 8. 已知 满足约束条件 ,若目标函数的最大值为 ，则 （ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】 A 【解析】 直线 ，过 上的定点 ，画出表示的可行域，如图，由图知 过 时，最大值为，所以 ，故选 A. 12999 数学网 12999 数学网 【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题 划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键 . 9. 中国诗词大会（ 第 二季 )亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味 进酒山居秋暝望岳送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场，且将进酒排在望岳的前面，山居秋暝与送杜 少府之任蜀州不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有 （ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】 A 10. 已知圆 ，点 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线为切点，则直线 经过定点 .（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 设 是圆 的切线， 是圆 与以 为直径的两圆的公共弦，可得以 为直径的圆的方程为， 又 ， - 得 ，可得 满足上式，即 过定点 ，故选 B. 11. 函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ） 12999 数学网 12999 数学网 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 要使函数与 的图象上存 在关于 轴对称的点，只需 关于 轴的对称的函数 图象与 的图象有交点即可，即设与 相切时，切点为 ，则 ，又点与 两点连线斜率 ，由图知 的取值范围是时，函数 图象与 的图象有交点，即 范围是时，函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，故选 B. 【思路点睛】本题主要考查数学解题过程中的数形结合思想和化归思想，导数以及直线斜率的灵活应用，属于难题 过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图像解决抽象问题，尤其在解决选择题 、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度 . 12. 将函数 的图象向左平移 个单位，得函数的图象 (如图 ) ，点 分别是函数 图象上 轴两侧相邻的最高点和最低点，设 ，则 的值为（ ） 12999 数学网 12999 数学网 A. B. C. D. 【答案】 A 【方法点晴】本题主要考查三角函数的图象与性、余弦定理以及两角差的正切公式，属于难题三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角 的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知 ，则 在 方向上的投影为 _ 【答案】 12999 数学网 12999 数学网 【解析】 ，得，将 代入上式，得 在 方向上的投影为 ，故答案 为 . 14. 若随机变量 ，且 ，则 展开式中 项的系数是 _ 【答案】 15. 祖暅（公元前 5纪 )，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家 . 他提出了一条原理：“ 幂势既同，則积不容异 . ” 这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 . 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现， 比祖暅晚一千一百多年 . 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体 . 如图将底面直径皆为 ，高皆为 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面 上 . 以平行于平面 的平面于距平面 任意高 处可横截得到 及 两截面，可以证明知总成立 . 据此，短轴长为 ，长轴为 的椭球体的体积是 _ 【答案】 【解析】 因为总有 圆所以，半椭球的体积等于， 12999 数学网 12999 数学网 ，所以，该椭环体积是 ，故答案为 . 【方法点睛】本题考查圆锥、圆柱的体积公式以及新定义问题，属于难题 过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的 耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “ 照章办事 ” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决 幂势既同，則积不容异 . ” 这一结论求得椭球体积的 . 16. 设 表示正整数 的个位数， 为数列 的前 项和，函数 ，若函 数 满足 ，且 ，则数列 的前 项和为 _ 【答案】 【方法点晴】本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题 合函数知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的函数问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知交汇点上命题的特点 列的周期性和特殊数列求和综合起 来命题，也正体现了这种命题特点 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 12999 数学网 12999 数学网 17. 中，角 所对的边分别为 ，向量 ，且 的值为 . （ 1）求 的大小； （ 2）若 ，求 的面积 . 【答案】 (1) ;(2) . 【解析】 试题分析： (1)由 ,可得 ，从而可得结果；（ 2）在中，由 ，得 ，又由正弦定理 ，解得 ，故 的长为 . 试题解析： (1) , . (2) ,由 得 ， . 18. 如图，四棱锥 中，底面 是矩形，面 底面 ，且 是边长为 的等边三角形， 在 上，且 面 . （ 1）求证 : 是 的中点； 12999 数学网 12999 数学网 （ 2）在 上是否存在点 ，使二面角 为直角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 . 【答案】 (1) 见解析 ;(2) . 【解析】 试题分析： (1)连 交 于 可得 是 中点，再根据 面 可得进而根据中位线定理可得结果； (2)取 中点 ，由（ 1）知 两两垂直 . 以 为原点， 所在直线分别为 轴 , 轴， 轴建立空间直角坐标系，求出面 的一个法向量 ，用 表示面 的一个法向量 ，由 可得结果 . 试题解析： (1)证明：连 交 于 ，连 是矩形， 是 中点 ，且 是面 与面 的交线， 是 的中点 . 19. 2016 世界特色魅力城市 强新鲜出炉，包括黄山市在内的 个中国城市入选 . 美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客 . 现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解 “ 自助游 ” 是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了 人，得如下所示的列联表： 赞成 “ 自助游 ” 不赞成 “ 自助游 ” 合计 12999 数学网 12999 数学网 男性 女性 合计 （ 1）若在 这人中，按性别分层抽取一个容量为 的样本，女性应抽 人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此 资料能否在犯错误的概率不超过 前提下，认为赞成 “ 自助游 ” 是与性别有关系？ （ 2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取 人赠送精美纪念品，记这人中赞成 “自助游 ”人数为 ， 求 的分布列和数学期望 . 附 : 【答案】 (1)见解析 ;(2) 见解析 . 试题解析： (1) 赞成 “ 自助游 ” 不赞成 “ 自助游 ” 合计 男 性 女性 合计 将 列联表中的数据代入计算，得 的观测值： ， 12999 数学网 12999 数学网 前提下，不能认为赞成 “ 自助游 ” 与性别有关系 . (2) 的所有可能取值为： ,依题意， 的分布列为： . 20. 已知椭圆 的离心率 ，右焦点 ，过点 的直线交椭圆 于 两点 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）若点 关于 轴的对称点为 ，求证 : 三点共线； (3) 当 面积最大时，求直线 的方程 . 【答案】 (1) ;(2)见解析 ;(3) . 试题解析： (1) 由 ， 椭圆 的方程是 . (2)由（ 1）可得 ，设直线 的方程为 . 由方程组 ，得，依题意 ， 得 则，由 12999 数学网 12999 数学网 ，得三点共线 . (3)设直线 的方程为 . 由方程组 ，得，依题意 ，得 ，令 ，则，即 时， 最大， 最大时直线 的方程为 . 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题 是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（ 2）就是用的这种思路，利用配方法法求 三角形最值的 . 21. 已知函数 . （ 1）讨论函数 的单调性； （ 2）若 ，过 分别作曲线 与的切线 ，且 与 关于 轴对称，求证 : . 【答案】 (1)见解析； (2) 见解析 . 【解析】 试题分析： (1) 求出 ，分五种 情讨论，分别令 得增区间，得减区间；（ 2）根据导数的几何意义可求出两切线的斜率分别为 ，根据切点处两函数纵坐标相等可得关于 的两个等式，由其中一个等式求得 的范围，再根据另一个等式利用导数求得 的范围 . 试题解析：由已知得 ，所以. 12999 数学网 12999 数学网 (1) . 若 ，当或 时， ；当 时， ，所以 的单调递增区间为 ； 单调递减区间为 . 若 ，当 时，；当 时， ，所以 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 . 若 ，当 或 时， ；当时， ，所以 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 . 若 ，故 的单调递减区间为 . 若 ，当 或 时， ；当时， ，所以 的单调递增区间为 ；单调递减区间为. 当 时， 的单调递增区间为 ；单调递减区间为. 当 时， 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 . 当 时， 的单调递减区间为 ；当 时， 单调递增区间为； 单调递减区间为 , ； (2) ,设的方程为 ，切点为 ，则 ，所以 的方程为 ，设 与的切点为 ，则. 12999 数学网 12999 数学网 又 ,即 ，令，在定义域上， ，所以 上，是单调递增 函数，又 ，所以，即 ，令 ，则，所以，故 . 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题 题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩， 然后再化简或者进一步利用导数证明 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 选修 4标系与参数方程 已知曲线 的极坐标方程为 ，过点 的直线 交曲线 于 两点 . （ 1）将曲线 的极坐标方程的化为普通方程； （ 2）求 的取值范围 . 【答案】