结构力学图乘法

446 6 图乘法图乘法 我们已经知道，计算荷载作用下结构的弹性位移时，需要求下列形式的积 分 ds EI MM Ki 的数值。这里，、是两个弯矩函数的乘积。对于直杆或直杆的一段，若 i M K M EI 是常量，且积分号内的两个弯矩图形中有一个是直线图形，则可用图乘法计 算积分，极为方便。 下面说明图乘法的内容和应用下面说明图乘法的内容和应用 图 420 所示为直杆 AB 的两个弯矩图，其中图为一直线。如果该杆截 i M 面抗弯刚度 EI 为一常数，则 (a) dxMM EI dx EI MM Ki Ki 1 以 O 为原点，以 表示图直线的倾角，则图上任一点标距（纵坐标） i M i M 可表示为 tanxMi 因此， （b） B A K B A Ki dxxMdxMMtan 式中，可看作图的微分面积（图 420 中画阴影线的部分）；dxMK K M 是这个微分面积对 y 轴的面积矩。于是就是图的面积dxMx K B A Kdx xM K M 对 y 轴的面积矩。以表示图的形心 C 到 y 轴的距离，则 0 x K M 0 xdxxM B A K 将上式代人式（b），得到 (c) 00 tanyxdxMM B A Ki 其中，是在图形心 C 对应处的图标距。利用式（c），式（a）可写 0 y K M i M 成 （4 29） 0 1 y EI dx EI MM B A Ki 这就是图乘法所使用的公式。它将式（a）形式的积分运算问题简化为求图 形的面积、形心和标距的问题。 应用图乘法计算时要注意两点：应用图乘法计算时要注意两点： （1 1）应用条件：）应用条件：杆件应是等截面直杆，两个图形中应有一个是直线，标 距应取自直线图中。 0 y （2 2）正负号规则：）正负号规则：面积 与标距在杆的同一边时，乘积取正号； 0 y 0 y 与在杆的不同边时取负号。 0 y 图 421 给出了位移计算中几种常见图形的面积和形心的位置。用抛物 线图形的公式时，必须注意在抛物线顶点处的切线应与基线平行。 下面指出应用图乘法时的几个具体问题。下面指出应用图乘法时的几个具体问题。 （1）如果两个图形都是直线图形，则标距可取自其中任一个图形。 0 y （2）如果一个图形是曲线，另一个图形是由几段直线组成的折线，则应分 段考虑。对于图 422 所示的情形，则有 332211 yyydxMM Ki （3）如果图形比较复杂，则可将其分解为简单图形来考虑。 例如，图 423 中两个图形都是梯形，可以不求梯形面积的形心，而将其 中一个梯形（图）分为两个三角形（也可分为一个矩形和一个三角形）再 K M 应用图乘法。因此 （a） 2211 yydxMM Ki 其中， )( 3 2 3 1 , 33 2 2 2, 2 21 1 b d cy d cy l b l a 所以: )2( 6 )2( 6 dc bl dc al dxMM Ki 又如，图 424 中的图可以分解为两个三角形：三角形 ADB 在坐标轴 K M 以上，三角形 ABC 在坐标轴以下。这时 )( 33 2 )( 33 2 2 , 2 22 11 21 反侧与 反侧与 cd y dc y blal 所以: )2( 6 )2( 6 cd bl cd al dxMM Ki 图 425a 所示为一段直杆 AB 在均布荷载 q 作用下的图。由第二章可 P M 知，图是由两端弯矩、组成的直线图（图 425b 中的图）和简 P M A M B M M 支梁在均布荷载 q 作用下的弯矩图(图 425c 中的图）叠加而成的。因此， O M 可将图分解为直线的图和抛物线的图，然后再应用图乘法。 P M M O M 还要指出，所谓弯矩图的叠加是指弯矩图纵坐标的叠加。所以虽然图 425a 中的 M 图与图 425C 中的 M 图形状并不相似，但在同一横坐标 C 处， 二者的纵坐标是相同的，微段的微小面积（图中带阴影的面积）是相同的。dx 因此，两图的面积和形心的横坐标也是相同的。 例例 4 48 8 用图乘法计算图 426a 所示简支梁在均布荷载 q 作用下的 B 端 转角 。 例例 4 49 9 图 427a 所示为一悬臂梁，在 A 点作用集中荷载 P，求中点 C 的 挠度。 c 例例 4