高中数学必修5新教学案：3.4基本不等式(2)

1 必修 5 基本不等式 （学案） （第 2 课时） 【知识要点】 1 基本不等式及其成立的条件； 2 利用基本不等式求最值 ； 3 基本不等式在实际中的应用 【学习要求】 1 掌握基本不等式成立的条件； 2 会应用基本不等式求最值 ； 3 掌握 基本不等式在实际中的应用 【预习提纲】 （根据以下提纲，预习教材第 99 页第 101 页） 1 2a b 可化为 （ 0, 0） ； 使用该不等式求最值时，要注意的前提条件为：（ 1） 0, 0；（ 2）积或和为定值；（ 3）当且仅当 时， 等号成立 ， 即记为“ ” 2. 基本不等式的功能在于 与 的互化，便于创造 “定值”这一条件，其应 用需要一定的灵活性和变形技巧即拆项或配项 自变量时要注意便于数学模型的建立 . 【基础练习】 1 函数 (8 2 )y x x的最大值是 8，此时 x 2 已知 1, 1,且 lg ,那么 lg 的最大值为 x ，那么 13 (3 ) 的最大值为 2003 年的产量在 2002 年基础上增长率为 a ； 2004 年又在2003 年的基础上增长率为 ( 0, 0)b a b，若这两年的平均增长率为 q ，则 A 2 B 2 C 2 D , 2 的大小关系不确定 d 的 圆 内接矩形中，最大面积是多少？这样的矩形长宽之比是多少？ 【典型例题】 2 例 1 (1) 已知 0 , 0 , 1 ,a b a b 则 11取值范围 A 2, B 2, C 4, D 4, （ 2） （ 2009 广州模拟）设 , 1， 求 112最小值 . 例 2 （ 1） 用篱笆围一个面积为 2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短是篱笆多少？ （ 2）一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园面积最大，最大面积为多少？ 【 变式 练习 】 32m ，高为 2m 的长方形纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最小？ 0m 篱笆围成一个一边靠墙的矩形小院，墙长 18m ，问这个矩形的长与宽为多少时，小院的面积最大，最大面积为多少？ 例 3 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各方面用钢筋网围成 .（ 1）现有可围 36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使虎笼面积最大？ （ 2）若使每间虎笼面积为 224m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 【 变式 练习 】 某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为 34800m ，深为 3m 如果池底每平方米的造价为 150 元，池底每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？ 例 4 图画柱挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方 a 米处，而上边缘在 b 米处，问观察者站在离墙多远处才能使视角最大？ 3 1.（ 2006 年天津）某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买 x 吨，运费为每次 4 万元，要使一年的总 运费与总存储费用之和最小，则 x 吨 . 某水泥 渠道，横断面为等腰梯形，为保证额定流量，面积不得小于 两侧面的倾角均为，为使水泥用料最省，则腰长与底宽之比是 . A 1:1 B 1:2 C 2:1 D 2:3. 7 列货车从市以匀速直达市，已知两地间铁路线长为 400为了安全，两辆货车间的间距不得小于 2 ，那么这批货物全部运到 B 市最快需要 . A 6h B 8h C 10h D 12h . . A 函数 1 的最小值为 2 B 函数 2233的最小值为 2 C 函数 42 3 ( 0 )y x 的最大值为 2 4 3 D 函数 42 3 ( 0 )y x 的最小值为 2 4 3 . 5. 已知 正数 ,91,则 . A 最小值 12 B 最大值 12 C 最小值 144 D 最大值 144. 11 , l g l g , l g l g , l b P a b Q a b R ,则 . A R P Q B P Q R C Q P R D Q 4 , ,x a a 12, , ,x b b 21212的取值范围 . A 4, B , 4 4 , C , 0 4 , D 0,4 8. （ 2007 年重庆）若 a 是 12b 与 12b 的等比中项，则 22最 大值为 . A 2515 B 24 C 55 D 22 . 9.（ 2009 重庆一摸） 函数 2 22( 0 )1的最小值是 . 中， O 为中线 的一个动点，若 2，则 ()O A O B O C的 最小值为 . ab a b ，求 取值范围 , 0,且 22 12，求 21的最大值 1. （ 2006 年陕西）已知不等式 1 9 对任意正实数 , 正实数 a 的最大值为 . A 8 B 6 C 4 D 2 . 2. （ 2006 年湖南理） 对 1 个单位质量的含污物体进行清洗 ,清洗前其清洁度 (含污物体的清洁度定义为 :1() 污 物 质 量物 体 质 量 含 污 物)为 求洗完后的清洁度是 方案甲 :一次清洗 ;方案乙 :两次清洗 其质量变为a (1 a 3)x 单位质量的水 初次清洗后的清洁度是 ( 1),用 y 质量的水第二次清洗后的清洁度是 y ,其中 ( 0 ) 是该物体初次清洗后的清洁度 . (1)分别求出方案甲以及 时方案乙的用水量 ,并比较哪一种方案用水量较少 ; （ 2)若采用方案乙 ,当 a 为某定值时 ,如何安排初次与第二次清洗的用水量 ,使总用水量最少 ? 5 必修 5 基本不等式 （ 教 案） （第 2 课时） 【教学目标】 1 掌握基本不等式成立的条件； 2. 会应用基本不等式求最值； 3. 掌握 基本不等式在实际中的应用 【重点】 1. 掌握基本不等式成立的条件； 2. 会应用基本不等式 适当变形 求最值 ； 3 能正确将实际问题转化为数学问题，并应用 基本不等式求最值 【难点】 1. 抓住定值进行变形应用基本不等式 求 最值 ； 2. 将实际问题转化为数学问题，并应用 基本不等式求最值 【预习提纲】 （根据以下提纲，预习教材第 99 页第 101 页） 1 2a b 可化为 2()2 0, 0） ；使用该不等式求最值时，要注意的前提条件为：（ 1） 0, 0；（ 2）积 或和为定值；（ 3）当且仅当 时， 等号成立 ， 即记为“一正，二定，三相等” 2. 基本不等式的功能在于 积 与 和 的互化，便于创造 “定值”这一条件，其应用需要一定的灵活性和变形技巧即拆项或配项 自变量时要注意便于数学模型的建立 . 【基础练习】 1 函数 (8 2 )y x x的最大值是 8，此时 x 2 2 已知 1, 1,且 lg ,那么 lg 的最大值为 4 x ，那么 13 (3 ) 的最大值为 3 2 3 2003 年的产量在 2002 年基础上增长率为 a ； 2004 年又在2003 年的基础上增长率为 ( 0, 0)b a b，若这两年的平均增长率为 q ，则 C A 2 B 2 C 2 D , 2 的大小关系不确定 d 的圆内接矩形中，最大面积是多少？这样的矩形长宽之比是多少？ 6 解 ： 设 圆 内 接 矩 形 长 与 宽 分 别 为 ,则 2 2 2x y d ， 矩 形 的 面 积 为2 2 222x y ds x y ，当且仅当 时，等号成立 故圆内接矩形最大面积是 22d，此时 矩形长宽之比是 1:1. 【典型例题】 例 1 (1) 已知 0 , 0 , 1 ,a b a b 则 11取值范围 A 2, B 2, C 4, D 4, （ 2） （ 2009 广州模拟）设 , 1，求 112最小值 . 【审题要津】 已知条件等式 1求 11 112最值，注意“ 1”的代换 解：（ 1） 110 , 0 , 1 , 2 4a b a b a ba b a ba b a b b a 11的取值范围 4, （ 2） 1 1 3 3 10 , 0 , 1 , 2 2 2 2 2a b a b a ba b a ba b a b b a 112的最小值是 32 2 . 【方法总结】 通过对条件等式中 “ 1”的代换将要求最值的式子转化为能用基本不等式的类型 例 2 （ 1）用篱笆围一个面积为 2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短是篱笆多少？ （ 2）一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园面积最大，最大面积为多少？ 【审题要津】 （ 1）中当 矩形的面积为定值，矩形的长、宽各为多少时，篱笆的长最短；（ 2）中 当 矩形的周长为定值，矩形的长、宽各为多少时，篱笆的面积最大 解：（ 1）设 矩形菜园的长为 宽为 则 y=100,x 篱笆的长为 2( ) 由 + y 2 1 0 0 , 2 4 0 .x x y 当且仅当 时成立，此时 y= 故菜园的长为 10m 、宽为 10m 时，所用篱笆最短为 40m. （ 2） 设 矩形菜园的长为 宽为 则 2 ( ) 3 6 , 1 8 ,x y x y 矩形的面积为 + y 1 8 9,22 可得 81,当且仅当 时成立，此时 7 y= 故菜园的长为 9m 、宽为 9m 时，所用篱笆的最大面积为 281m. 【方法总结】 将实际背景转化数学模型为：已知两正数的和为定值，求积的最最大值；或已知两正数的积为定值，求和的最小值 【 变式 练习 】 32m ，高为 2m 的长方形纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最小？ 解： 设 长方形 底面 的长为 宽为 用纸量是 z ，则 y=16,x 2 2 2 2 2 3 2 4 ( ) 3 2 4 2 6 4z x y x y x y x y 当且仅当 y=4x 时成立 . 答：当 长方形 底面 的长为 4m 、宽为 4m 时，用纸量最小 . 为的 30m 篱笆围成一个一边靠墙的矩形小院，墙长 18m ，问这个矩形的长与宽为多少时，小院的面积最大，最大面积为多少？ 解： 设 矩形的长为 宽为 小院的面积为 2m,s 则 + 2 y= 3 0 ,s = x 21 1 1 9 0 0 2 2 5s = = 2 2 = = 2 4 2x y x y x y 当 2,即 1515,2时，小院的面积最大，最大面积为 动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各方面用钢筋网围成 .（ 1）现有可围 36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使虎笼面积最大？ （ 2）若使每间虎笼面积为 224m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 【审题要津】 设 每间虎笼长 宽 则 （ 1）是已知 4 6 36，求 最小值；（ 2）是已知 求 46的 最小值；易于应用基本不等式解决 . 解：设每间虎笼长 宽 则由条件得 4 6 36，即 2 3 设 每间虎笼面积为 s ，则 s . 解法 3 2 2 3 2 6 ,x y x y x y 2 6 1 8 , 得 27,2 27,2s当且仅当 23时，等号成立 . 由 2 3 1 8 ,23得 故每间虎笼长 宽 3m. 8 解法 2. 由 2 3 18得 0 , 0 6 , 6 0 .x y y 23 3 3 6 2 79 6 2 2 2x y y y y y 当且仅当 6 时，等号成立 ，即 时等号成立 . （ 2）由条件知 24.s 设 钢筋网总长为 l ，则 4 6 .l x y 解法 1. 2 3 2 2 3 2 6 2 4 ,x y x y x y 4 6 4 8 ,l x 当且仅当 23时，等号成立 . 由 2324解得 故 每间虎笼长 6m ，宽 4m 时，可使 钢筋网总长最小 . 解法 2. 由 24,得24.x y 9 6 1 6 1 64 6 6 6 ( ) 6 2 4 8 .l x y y y yy y y 当且仅当 16时， 即 4y 时， 等号成立 ，此时 6x . 答：（ 1）每间虎笼长 宽 3m 时，面积最大； （ 2）每间虎 笼长 6m ，宽 4m 时， 可使 钢筋网总长最小 . 【 变式 练习 】 某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为 34800m ，深为 3m 如果池底每平方米的造价为 150 元，池底每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是 多少？ 【审题要津】 由题意知水池呈 长方形，高为 3m ，底面的长与宽不确定，要确定水池总造价最低，只需确定水池的长与宽的即可 解：设底面 的长为 宽为 水池总 造价是 z ， 则根据题意得： 48001 5 0 1 2 0 2 3 2 3 2 4 0 0 0 0 7 2 0 ( ) x y x y 容积为 34800m ， 3 4800, 即 2 4 0 0 0 0 7 2 0 ( ) 2 4 0 0 0 0 7 2 0 2 ,x y x y 即 2 4 0 0 0 0 7 2 0 2 1 6 0 当 40 时，等号成立 . 9 所以，将 水池的底面设计成边长为 40m 的正方形时总造价最低，总造 价为 297600 元 . 【方法总结】 本题将实际背景转化数学模型为：已知两正数的积为定值，求和的最小值；注意总造价的表示是建立数学模型的关键 . 例 4 图画柱挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方 a 米处，而上边缘在 b 米处，问观察者站在离墙多远处才能使视角最大？ 【审题要津】要使 视角（锐角）最大，只需该视角的某一三 角函数值（正切、正弦）最大 . 解：设 观察者站在离墙 x 米 ，则 如图， t a n , t a n ,2t a n t a n ( ) b a 2 2 ,a b a bx x a ta n 2 当且仅当 x 即 x 时，取等号 . 又 0,2x ， 是增函数 . x 时， 视角 有 最大 值 . 【 方法总结 】 实际中的最值问题往往转化为数学中的函数求最值问题 值问题， 以 观察者站在离墙 的距离 x 米 为自变量，得到目标函数ta n x 是本题的关键 . 1.（ 2006 年天津）某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买 x 吨，运费为每次 4 万元，要使一年的总 运费与总存储费用之和最小，则 x 20 吨 . 某水泥 渠道，横断面为等腰梯形，为保证额定流量，面积不得小于 两侧面的倾角均为，为使水泥用料最省，则腰长与底宽之比是 10 A 1:1 B 1:2 C 2:1 D 2:3. 货物随 17 列货车从市以匀速直达市，已知两地间铁路线长为 400为了安全，两辆货车间的间距不得小于 2 ，那么这批货物全部运到 B 市最快需要 A 6h B 8h C 10h D 12h . A 函数 1 的最小值为 2 B 函数 2233的最小值为 2 C 函数 42 3 ( 0 )y x 的最大值为 2 4 3 D 函数 42 3 ( 0 )y x 的最小值为 2 4 3 . 5. 已知 正数 ,91,则 A 最小值 12 B 最大值 12 C 最小值 144 D 最大值 144. 11 , l g l g , l g l g , l b P a b Q a b R ,则 A R P Q B P Q R C Q P R D Q , ,x a a 12, , ,x b b 21212的取值范围 A 4, B , 4 4 , C , 0 4 , D 0,4 8. （ 2007 年重庆）若 a 是 12b 与 12b 的等比中项，则 22最大值为 A 2515 B 24 C 55 D 22 . 9.（ 2009 重庆一摸） 函数 2 22( 0 )1的最小值是 2 3 1 . 中， O 为中线 的一个动点，若 2，则 ()O A O B O C的 最小值为 . ab a b ，求 取值范围 11 解： 0 , 0 , 2 .a b a b a b 3 , 3 2 .a b a b a b a b a b 2 2 3 0 .a b a b ( 3 ) ( 1 ) 0 .a b a b 3 . 9 .a b a b 的取值范围为 9, . , 0,且 22 12，求 21的最大值 解：2 2, 2 .a b 222 2 22 2 2 3 21 2 1 2 4b a b 当且仅当 2221 时取等号，故 21的最大值为 （ 2006 年陕西）已知不等式 1 9 对任意正实数 ,正实数 a 的最大值为 A 8 B 6 C 4 D 2 . 2. （ 2006 年湖南理） 对 1 个单位质量的含污物体进行清洗 ,清洗前其清洁度