《圆的标准方程》教学设计

圆的标准方程教学设计 课题 圆的标准方程（第 1 课时）教学设计 教学设计简要说明： 圆是解析几何中一类重要的曲线，对圆锥曲线的学习有着重要的意义。学生在初中对圆 的平面几何性质已有了一定的了解和研究，因此本节课的重点确定为用解析法研究圆的 标准方程及其简单应用。 由求半径为 3 的圆的方程开始，由特殊到一般得到圆的标准方程，培养学生的理性思维， 引导学生剖析方程的基本元素，辅之以练习加以巩固，以变式循序渐进的开展教学。问 题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养 了学生的创新精神。问题 4、5 的介入，使能力与知识的形成相伴而行，起到突出重点， 突破难点的作用。 本节课以问题为纽带设计了五个环节，使学生在问题的引导下，以探究活动为载体，层 层展开、步步深入，以求发挥学生的主体作用，凸显教师的主导地位。多媒体的参与使 课堂容量加大，有利于课堂效率的提高。 应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问 题、解决问题的过程，充分体现重视教学过程的新课程理念。在解决问题的同时锻炼了 思维提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。 课例设计附后 圆的标准方程（第 1 课时）教学设计 宁夏吴忠中学 马利军 教材分析： 解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。圆 是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直 角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续， 在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进 一步学习圆锥曲线的基础。对于知识的后续学习，具有相当重要的意义。 另外，本节课的学习是通过由特殊到一般逐步展开的，可以进一步发展学生观察、归纳、 类比、概括等能力，发展有条理的思考及灵活处理问题的能力。 学情分析： 圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，本节之前 又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。 再者，经过必修一、必修二的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体 验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。通过五种直线方程的学习， 对坐标系下建立方程进行了反复训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。 当然，由于学生对建系求方程的方法以及圆的标准方程认识还不深刻，在探究知识的形成 与方程的运用时可能会遇到一些困难，在教学中一定要关注学生反馈的信息，循序渐进的 开展教学。 教学设计说明： 新课程下的教学，力求知识的形成过程，为克服课堂时间不足，需要学生做好课前预习， 本节采用问题教学法开展教学，同时坚持分层教学。以问题为纽带，以探究活动为载体， 使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，力求体现以教师 为主导，以学生为主体的指导思想。 教 学 过 程 环节 教学内容与教师行为 学生行为 理论依据或意图 （一） 创设情景，引入新课 用多媒体播放实际生活中圆的模型，引导学生从中抽象出圆的几何图形 教学重 点 圆的标准方程的求法及其应用. 根据本节课的地位和作用 以及新课程标准的具体要 求，制订教学重点。 教学难 点 1、据条件，利用待定系数法确定圆的三个参数 a、b、r，从而求出圆的标准方程。 2、初步掌握运用几何关系简化代数运算。 根据本节课的内容，即尚 未学习曲线方程的定义， 以及学生的心理特点和认 知水平，制定了教学难点。 内 容 理论依据或意图 教 学 目 标 1知识与技能 （1）会推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程; （2）能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程; 2过程与方法 （1）进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力； （2）使学生加深对数形结合思想的理解； （3）知识的应用及灵活处理问题能力的培养。 3情感态度与价值观 激发学生的学习兴趣. 培养学生主动探究知识、合作交流的意识， 提高学生的思维能力。 根据新课程标准，并结合 学生心理发展的需求，以 及人格、情感、价值观的 具体要求制订而成三维教 学目标。这对激发学生学 好数学概念，养成数学习 惯，感受数学思想，提高 数学能力起到了积极的作 用。 问题 问题 1、如图在半径为 3m 的半圆中建立如图 直角坐标系，试求半圆方程 教师点评：圆的定义 是解题的关键 2、我们发现如上的圆 可以用一个方程来表 示，平面内圆心是 A（a，b），半径是 r 的圆的方程的是怎 么确定的呢？ 学生活动1 ： 尝试写出曲线的方程为： 学生活动2 ： 着手进行思考 建好系，降低解题难度， 复习已学知识，由特例 揭示方程的求解方法 培养运用从具体到抽象、 从特殊到一般的辩证唯 物主义观点分析问题的 能力，充分体现了数学 的化归思想。 （二）探究新知、讲解新课 问 题 教师 1、 引导学生分析， 板书 过程 教师 2、 （1）定义圆的标准方程 （2）剖析圆的标准方程的基本要素： a、b、r 三个量确定了且 r0，圆的方 程就给定了。对 a、b、r ，可以根据条 件，利用待定系数法来解决 （教师做好板书引导，此处是运算的难 点之处） 3、说出下列圆的圆心和半径： (1)(x+1)2+(y-1)2=1； (2)x2+(y+3)2=7； (3)(x-3)2+ y2=4 学生活动3 ： 设 M（x,y）是圆上任意一点， 根据定义点 M 到圆心 C 的距 离等于 r,所以圆 C 就是集合 P=M|MC|=r由两点间的距离 公式，点 M 适合的条件可表 为 两边平方得 (xa) 2(yb) 2=r2 学生活动4 ： (学生回答) 由学生纠正出现的错误 学生活动5 ： 学生练习（板书） 创设情境，通过启发诱 导，激发学生的求知欲， 形成“认知冲突” ，让学生 尝试学习，并经历数学 化的过程，体现数学素 材与学生已有的知识和 生活经验，教学中教师 注重板书，其目的在于 解决运算的困难和规范 学生的书写习惯。 课堂是学生的，让学生 从问题的相同点和不同 点中找出研究对象的对 立统一面，这能培养学 生分析问题的能力，同 时也教会学生运 用对立 统一的辩证唯物主义观 点来分析问题的一种方 法。 教师的注解可以使学生 更好的把握问题的关键。 4、写出下列各圆的方程 （1）圆心在原点，半径是 3； （2）圆心在点 C（3,4），半径是 的圆 (3)经过点 P(5， 1)，圆心在点 C(8，-3)； 教师点评： 找准半径，抓住关键元素 （三）拓展引申，灵活应用 问 题 问 题 5、求满足下列条件的各圆的方程： -见活动 6 教师点评： （1）圆心为 MN 的中点，半径为 MN 的一半 （x-5） 2+（y-6） 2=10 （2）半径为圆心到直线的距离 （x-1） 2+（y-3） 2=9. （3）待定系数法，解方程组 （x-1） 2+（y+1） 2= 5 或（x-1 ） 2+（y-3） 2= 5 引导学生探究： 6、已知圆的方程为 ， 求过圆上一点 的切线方程 教师小结可能出现的方法： 方法一：利用代数关系（联立方程） 求斜率待定系数法 方法二：利用几何关系（垂直）求斜 率-待定系数法 方法三：轨迹法（利用勾股定理列关 系式） 多媒体课件演示 教师引导学生评析各方法特点 7、你能归纳出具有一般性的结论吗？ 教师帮助分析共同得出结论 学生活动6 ： 学生完成如下习题 (1)经过两点 M（4，9）， N（6，3）且以线段 MN 为直径； (2)圆心在点 C(1，3)，并且 和直线 3x-4y-6=0 相切； (3)过点(0,1)和点(2,1), 半径 为 . （学生在黑板上完成） 学生活动7 ： 学生分组讨论完成解答 请不同方法的小组代表到黑板 上板演 学生从中发现各方法解题的优 劣 学生活动8 ：已知圆的方程是 ，经过圆上一点 的切线的方程是： 引导学生分析和归纳， 让学生在已有认知结构 的基础上建构新知识， 从而达到概念的自然形 成，并建立数学概念， 进而从数学的外部到数 学的内部，启发学生运 用概念探究新问题。 一题多解的探究，纵向 挖掘知识深度，横向加 强知识间的联系，培养 了学生的创新精神，并 且使学生的有效思维量 加大，能力与知识的形 成相伴而行，以求突出 了重点，突破难点 使学生进行反思和总结， 老师对学生的反思总结 进行整理和升华，让学 生意识到学习中反思和 总结的重要性，并最终 体会到自主学习的重要 性。 （四）巩固性训练 教师深入学生之中，帮助学有困难的 学生 1求以 C（-1，2）为圆心，并 且和 x 轴相切的圆的方程. 2、求圆 x2y 2=13 过点（- 2，3）的切线方程. 3、已圆的方程为 ， 求过点 的切线方程. 通过这些练习，及时回 授评定的结果，以期有 针对性地进行答疑和讲 解，突出了知识的巩固 过程 （五）课堂小结 学生小结，教师补充：投影显示今天所学主要内容： 1.圆的标准方程:（x-a） 2+（y-b） 2=r2 2.求圆的方程的主要方法：直接法：求出圆的圆心及半径，再由圆的标准方程直接 写出圆的