《概率论与数理统计》试卷及答案(2学分 a)

诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试 概率论与数理统计试卷（2 学分 A） 注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 可使用计算器，所有答案请直接答在试卷上； 3考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 九 大题，满分 100 分， 考试时间 120 分钟。 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得 分 评卷人 一. 选择题（15 分，每题 3 分） 1. 设随机变量 ，(i=1,2),且满足 ，则iX4/12/0 1021XP _。21XP A. 0 B. C. D. 1412 2. 设随机变量 相互独立， , ，则 .,Y)10(NX),(Y ； ；)(A2/1)0XPB2/1XP ； .C)(D) 3. 设随机变量 独立同分布，且方差为 .令 ，则 .nX,21 02niiXY1 ； ； )(AYov/),(1)(B21),(Cov ； .CnD)2(DnYX/)( 4. 设 X，Y 相互独立，都服从参数为 2 的指数分布，则 .P_ _ 姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) 密 封 线 线 0； 1/4；)(A)(B 1/2； 1.CD 5. 设 X 的分布律为 X -2 -1 0 1 2 P a 1/4 1/8 b 1/8 则可能正确的是 。 （A）a - b = 1； （B）EX = 1； （C）a + b 1/4； （D ）EX 1/4. 二、 填空题（18 分，每题 3 分） 1设 X,Y 为随机变量且 PX0,Y0= , PX0=PY0= ,774 则 Pmax(X,Y)0=_。 . 2. 设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，且 Z=3X-2, 则 E(Z)= . 3. 随机变量 相互独立且服从同一分布， ，,Y 3/)1()(kYPkX ，则 .1,0k()P 4. 随机变量 ，已知 ，则 .);4,01NX(2)1D 5. 如果 且 A B = A ， 则事件 A 与 B 满足的关系是 _., 6. 设连续型随机变量 的分布函数 ， 则 021)(xexFx _。325P 三（10 分）有 10 盒种子，其中 1 盒发芽率为 90，其他 9 盒为 20.随机选取其中 1 盒， 从中取出 1 粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的 1 盒的概率是多少？ 四（10 分）. 设二维随机变量 的联合密度函数 ， (,)XY他其,06),(yxyxf 求 （1） 的边缘密度函数； （2） （3）,XY(1)P),cov(YX 五（10 分） 设二维随机变量 的联合密度函数(,)XY 概率论与数理统计（2 学分） 试卷 A 第 3 页 共 6 页 , 2,0,(,)0,xyeyfxy其 他 求 的密度函数.ma,ZXY 六（10 分）某厂生产某产品 1000 件，其价格为 元/件，其使用寿命 （单位：20PX 天）的分布密度为 120(365)120 365()xexfx 现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费 元/件，若每件产品若寿命小0P 于 1095 天（3 年） ，则由保险公司按原价赔偿 2000 元/件. 试利用中心极限定理计算 (1) 若保费 元/件, 保险公司亏本的概率？01P (2) 试确定保费 ，使保险公司亏本的概率不超过 .1% ）)9.03.2(,946.0).(,926.0)45.(,96.(035. e 七（12 分）随机变量(X，Y)服从在区域0x2，0y1 上均匀分布。 （1）求(X ，Y)的概率密度函数及分布函数 （2）设 ，且 不相关， ，求 a，bbYaX, ,1D 八（8 分） 在桥牌比赛中，将 52 张牌任意地分给东、南、西、北四家，求在北家的 13 张 牌中： （1）恰有 5 张黑桃、5 张红心、2 张方块、1 张梅花的概率 （2）在已知有一张 K 的情况下，这张 K 是黑桃的概率 九. 证明题 （7 分） 设事件 同时发生必导致事件 发生，证明：CBA、 D .)(2)()(PP 概率论与数理统计试卷（2 学分 A）参考答案 一. 选择题 A B A C D . 二. 填空题 1. ； 2 4 ；75 3. 5 / 9 ； 4. 7 / 8 (或 0.875) ； 5. A=B ； 6. 406.5012.01e 三解：由全概率公式及 Bayes 公式 P(该种子能发芽) 0.10.9+7 P(该种子来自发芽率高的一盒) (0.10.9)/0.271/3 四. 解: (1) 当 时 故01x1()6()Xxfdyx60()Xf其 他 当 时， 故 01y20()3yYfxd2301()Yyf其 他 (2) 1/211/00(664xPXxd (3) EX=1/2，EY=3/4，EXY=2/5 cov(X, Y)=1/40 五、解: 由题意知 相互独立 , 且,XY 与 . 20()xXef 0()yYef 当 时， 0z()max,()ZXYFzPzPzXF2223()()()1)zzzzzzZXYYfffeee 概率论与数理统计（2 学分） 试卷 A 第 5 页 共 6 页 故 230()0zzzZeef其 他 六 解： 的分布函数 ，X365,0,1)()365(201xexFx 于是 .365(109.4P 记 “ 109“NY件 产 品 中 寿 命 小 于 的 产 品 件 数保 险 公 司 的 利 润 则 ， ，)04.,1(BNPY210 由中心极限定理， ， ).6,( 于是 （1） 若保费 元/件，则01P05Y“保 险 公 司 亏 本 “4150(.61)0.546.2.NYP保 险 公 司 亏 本 （2）若保费为 ，则0 0.5YP“保 险 公 司 亏 本 “01().16.262PN保 险 公 司 亏 本 故 0 0.54().9.362.(3)189P（ 元 ） 七解：（1）随机变量(X，Y)的概率密度函数为： othersyxyxf,010,2/),( 因为随机变量 X，Y 的边缘密度函数分别为 ，othersxf,2/1)( tersyyfY,0)( ，所以 X，Y 相互独立),(yfyxfYX 随机变量(X ，Y)的分布函数为： )(),(yFxyYX ， 2,105.,)(xxFX 1,0,)(yyFY （2）EX=1，DX=1/3，EY=1/2 ，DY=1/12， =1/3a+1/12b=0