湖北省六校联合体2017届高三4月联考数学试题（文）含答案

2017 年春季湖北省六校联合体四月联考 高三数学文科试卷 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 只有一项是符合题目要求的 . 1, 2, 3, 4A ，集合 2 2 0 B x x x ，则集合 ） A 1 B 2 C 3 D 4 两组各 6 名学生在一 次数学测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的众数为 124，乙组数据的平均数为甲组数据的中位数，则 , ） A 4， 4 B 5， 4 C 4， 5 D 5， 5 z 满足 (1 ) 4 ， i 为虚数单位，则复数 z 的虚 部是（ ） A 2 B C 2i D 2i 4. 已知双曲线 22125 9上有一点 M 到右焦点18，则点 M 到左焦点2 ） A 8 B 28 C 12 D 8 或 28 ） A ()f x x x B ( ) x x x C 1() 12()f x x 6.庄子天下篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭 .”反映这个命题本质的式子是（ ） A2111 22 11222B 11122n 12n 2 C21122 1 12n D21122 12n 1 1 ，且 2z x y的最大值和最小值分别为 m 和 n ，则（ ） A B C 0 D 1 1S ，那么判断框中应填入的关于 k 的条件是（ ） A 6k B 5k C 6k D 5k 该几何体的体积为（ ） A 18 B 20 C 24 D 12 1a，1 2， 2 2 2 21 2 3 4nS a a a a 222 1 2等于（ ） A 1(2 1)3 n B 41 (1 2 )5 nC 1(4 1)3 n D 1(1 2 )3 n1,2)P 的直线与圆 221相切，且与直线 10ax y 垂直，则实数 a 的值为（ ） A 0 B 43C 0 或 43D ，若 1( ) ( ) xf x a 在区间 (0,1) 上有且只有一个极值点，则 a 的取值范围是（ ） A 0a B 0a C 1a D 0a 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分 ， 满分 20 分 ， 将答案填在答题纸上） , 2， 2 13 ，则 a 与 b 的夹角为 灯持续时间为 30 秒，小明来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 10 秒才出现绿灯的概率为 n 项和为322 3 1 2，则数列 中，已知点 D 在边 ， C ， 22s i ， 32，3，则 长为 三、解答题 （本大题共 6 小题 ， 共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 已知向量 1(s )2， ( 3 c o s , c o s 2 )n x x ，函数 ()f x m n （ 1）求函数 () （ 2）将函数 ()y f x 的图象向左平移6个单位，得到函数 ()y g x 的图象，求 ()0, 2 上的值域 . 18. 2015 年 12 月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为 2015 年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与 浓度是否相关，现采集到华中某城市 2015 年 12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与 数据如表： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 车流量 x （万辆） 1 2 3 4 5 6 7 浓度y （微克 /立方米） 28 30 35 41 49 56 62 （ 1）由散点图知 y 与 x 具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程；（提示数据：711372 ） （ 2）（ I）利用（ 1）所求的回归方程，预测该市车流量为 12 万辆时 浓度；（ 定：当一天内 浓度平均值在 (0,50 内，空气质量等级为优；当一天内 浓度平均值在 (50,100 内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是 y bx a，其中 11222( ) ( )()i i y n x y x x y n x x x ， a y . 19. 在四棱锥 P 中，底面是边长为 2 的菱形， 060， 3D，11， D O . （ 1）设平面 面 l ，证明： /l （ 2）若 E 是 中点，求三棱锥 P 的体积P 20. 如图，已知圆 22: ( 1 ) 4E x y 经过椭圆 22:1( 0)的左右焦点12,椭圆 C 在第一象限的交点为 A ，且1F， E ， A 三点共线 . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设与直线 O 为原点）平行的直线交椭圆 C 于 , 的面积取取最大值时，求直线 l 的方程 . 21. 设函数 ( ) ( ) x x b x ， ()y f x 的图象在点 (1, (1)f 处的切线与直线 3平行 . （ 1）求 b 的值； （ 2）若函数 ()( ) ( 2 )2x x e （ 0a ），且 ()区间 (0, ) 上是单调函数，求实数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答 ， 如果多做 ， 则按所做的第一题记分 . l 的参数方程为3 c o s i （ t 为参数），以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 c o s 2 ，（ 0 , 2 ) ） （ 1）写出直线 l 经过的定点的直角坐标，并求曲线 C 的普通方程； （ 2）若4，求直线 l 的极坐标方程，以及直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标 . ) 1 2f x x m x . （ 1）若 1m ，求函数 () （ 2）若 1m ，求不等 式 ( ) 3f x x 的解集 . 2017 年春季湖北省六校联合体四月联考 高三数学文科试卷 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 060 14. 2315. 4 16. 3 三、解答题 17. 解： (1) 1( ) 3 s i n c o s c o s 22f x m n x x x c o )62 x . 所以 )(最大值为 1， 最小正周期为 . (2)由 (1)得 )62s )( (的图象向左平移6个单位后得到 )62s i n (6)6(2s i n 图象 . 因此 )62s ( 又 2,0 x， 所以 67,662 x， 1,21)62s ( 2,0上的值域为 1,21. 18. 解： (1)由数据可得 ： 4)7654321(71 2564941353028(71 y 7 1 27 1 140,1372 i ii ii 61 1 21 4 01 2 0 41 3 7 21221 196443 （注 :用另一个公式求运算量小些） 故 y 关于 x 的线性回归方程为 196 (2)( )当车流量为 12 万辆时 ， 即 12x 时 ， 9119126 y . 故车流量为 12 万辆时 ， 浓度为 91 微克 /立方米 . ( )根据题意信息得 ： 100196 x ， 即 x ， 故要使该市某日空气质量为优或为良 ， 则应控制当天车流量在 13 万辆以内 . 12 分 19. 解： (1)因为 ， 面 面 所以 /面 又平面 面 ， 且 面 所以 . (2)因为底面是菱形 ， 所以 ， 且 O 是 点 ， 所以 . 又 ， 所以 所以 三棱锥 的高 . 因为 边长为 2 的等边 的中线 ， 所以 3 因为 等 腰 的 高线 ， 1,3 以 22 在 中 ， 11 3 22 所以 222 ， 所以 . 所以 6221 因为 E 是线段 中点 ， 所以 621 S. 所以3 631 C 20. 解： (1) 1F ， E ， A 三点共线 ， 圆 E 的直径 ， 且 41 212 )10( 22 x ， 得 3x ， 3c ， 412162212122 22 6221 3a . 222 ， 62 b ， 椭圆 C 的方程为 16922 (2)由 （ 1） 知 ， 点 A 的坐标为 )2,3( ， 直线 斜率为 332， 故设直线 l 的方程为 332， 将 l 方程代入 16922 y 得： 0183346 22 设 ),( 11 ,( 22 3221 ， 321 221 04327248 22 182 m 2323 m ， 又 ： 1221 221221 914284)(341 ， 点 A 到直线 l 的距离 N 721914282121 2 22 )91428(1421 24 289141421 1431421 623 ， 当 且 仅 当9)914(2282 m， 即 3m 时等号成立 ， 此时直线 l 的 方 程 为3332 21. 解： (1)由题意知 ， 曲线 )(在点 )1(,1( f 处的切线斜率为 3， 所以 3)1( f ， 又 1 即 311 b ， 所以 2b . (2)由 （ 1） 知 2)()( ， 所以 )0()2( x， 若 )( ),0( 上为单调递减函数 ， 则 0)( ),0( 上恒成立 ， 即 02 所以 . 令 )0( 则22111)( ， 由 0)( 得 1x ， 0)( 得 10 x ， 故 )( 1,0 上是减函数 ， 在 ,1 上是增函数 ， 则 xx )(最大值 ， 0)( ,0 上不恒成立 ， 故 )( ,0 不可能是单调减函数 . 若 )( ,0 上为单调递增函数 ， 则 0)( ,0 上恒成立 ， 即 02 所以 ， 由前面推理知 ， 的最小值为 1)1( h ， 12 a ， 故 a 的取值范围是 21,. 22. 解： (1)直线 l 经过定点 21,23 ， 由 2 得 22 2co s ， 得曲线 C 的普通方程为 222 2 化简得 442 (2)若4， 得的普通方程为 2 则直线 l 的极坐标方程为 2c ， 联立曲线 2c C ， 取2， 得 2