2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛

2007 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛 试题参考答案及评分标准 说明： 1 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分两档，填空题只设 9 分 和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不 要再增加其它中间档次。 2 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考 本评分标准适当划分档次评分，5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 本题共有 6 小题，每小题均给出 A，B，C，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的 代表字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分。 1. 已知 是方程 的两个根，则 （ ）,ab3274logl()3xab A. B. C. D. 102748118281 解 原方程变形为 ，即 .33ll()4og()27x33log4lx 令 ，则 ，解得 .所以 或31lxtt12,t31l ，所以方程的两根分别为 和 ，所以 . 故选（C）.og9808ab 2. 设 为 的边 上一点， 为 内一点，且满足 ,DABCPAB4ADB ，则 ( )25APPDABCS A. B. C. D. 310715815 解 连 PD，则 ，所以 ，故 ，故25/BCADPB . 故选（A）. sin32145102APDBCADPS 2 3. 定义在 上的函数 既是奇函数又是周期函数，若 的最小正周期是 ，R()fx()fx 且当 x0, )时， ，则 的值为 ( )2sinf8()3f A. B. C. D. 321212 解 根据题设条件可知 8 3()(3)()()sin.33ffff 故选（B）. 4. 已知 是一个棱长为 1 的正方体， 是底面 的中心，1ACDB1O1ABCD 是棱 上的点，且 ，则四面体 的体积为 ( )M1:2:3S1 M OM A. B. C. D. 7243674848 解 易知 平面 ，设 是底面 的中AC1DBABCD 心，则 平面 .O 因为 ，1123SM1 DB 所以 ，故 .于是131,4BSSS1111 DOMB DO M D ，2312476 所以 . 故选（C）.1172368VSAA-OMD 5. 有编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中取出 4 个，则取出的 球的编号互不相同的概率为 ( ) O O 1 CD BA A1 B1 C1D1 M A. . B. . C. D. 5212713821 解 从 10 个球中取出 4 个，不同的取法有 种.如果要求取出的球的编号互410C2 不相同，可以先从 5 个编号中选取 4 个编号，有 种选法.对于每一个编号，再选择球，5 有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有 种.4580 因此，取出的球的编号互不相同的概率为 . 故选（D）.8021 6. 使得 是完全平方数的正整数 有 （ ）381nn A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 解 当 时，易知 不是完全平方数.故设 ，其中 为正整数，则438n4kk .381()nk 因为 是完全平方数，而 81 是平方数，则一定存在正整数 ，使得 ，n x231kx 即 ，故 都是 3 的方幂.2()1kxx,1x 又两个数 相差 2，所以只可能是 3 和 1，从而 ., 2,xk 因此，存在唯一的正整数 ，使得 为完全平方数.故选（B）.45nk8n 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。 7. 设 表示不大于 的最大整数，集合 ，xx2|3Ax ，则 _.1|28xBAB 解 不等式 的解为 ，所以 .x3x(3,)B 若 ，则 所以 只可能取值 .x2,21,0 若 ，则 ，没有实数解；若 ，则 ，解得230xx2x ；1x 4 若 ，则 ，没有符合条件的解；若 ，则 ，没有符合条件的0x231x25 解； 若 ，则 ，有一个符合条件的解 .277 因此， .1,AB 8. 若数列 满足： ，则 _.na11122,()33nnaa207a 解 由 两边平方得 ，11()nn211()()nn 又 ，两式相减，得2113()nnaa .1()2()nna 由 求得 ，又由递推关系式易知数列 是11122,33nnaa2 na 单调递增数列，所以 ，故 ，即10n11()2nna ，即 ，所以数列 是以1123nna()3na1na 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，于2414()()3n 是 ，11(23)()nan 所以 .07(073452 9. 设复数 其中 ，12 3(2)i,()()i,()2)i,zabzabzab,aR 当 取得最小值时， _.334 解 易求得 ， ，于是 10，1286iz123123zz 取得最小值，当且仅当123z ，解得 ，所以 12.238126aabb75,34ab34ab 10. 设 ，则函数 的最小值为_.(0,)x2sincosyx 解 因为 ，所以 ，设 ，0,0k （1）2 2251sins4icosykxx315k 其中等号成立当且仅当 成立，此时 ， 22423 325sin,si,i,in 111cococoskxkxkx321k 设 ，则 .而6t432150t433 262(1)()41)tttt2()84),t 故 ，310t 注意到 ，判断易知满足限制条件的根只有 .223251sin,cosxxkk12t 当 时， ，不等式（1）取得等号.1t64t 所以函数 的最小值为 .25sincosyx3156468 11. 对于函数 ，存在一个正数 ，使得 的定义域和值域相同，()fabb()fx 则非零实数 的值为_.a 解 若 ，对于正数 ， 的定义域为 ，但0()fx(,0,)bDa 的值域 ，故 ，不合要求.()fx,)ADA 若 ，对于正数 ， 的定义域为 .ab(fx0, 6 由于此时 ，故函数的值域 .max()()2bffa0,2bAa 由题意，有 ，由于 ，所以 .04 12. 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点 到其渐近线的距离为(2,0)P .若过 点作斜率为 的直线交双曲线于 两点，交 轴于 点，且 是263P2,AByMP 与 的等比中项，则双曲线的半焦距为_.AB 解 设渐近线的方程为 ，由题设得 ，解得 ，双曲线ykx2631k2k 的渐近线方程为 ，故可设双曲线的方程为 .2xy(0) 设 ，直线 的方程为 ，代入双曲线方程消去 ，12(,)(,)AxyBAB2()y 得 .2340 当 ，即 时，上面的方程恰有两实根，且16(24)83 .12,3xx 由题设可知， ，可化为 ，即2PMAB12()4x ，即 ，解得 或 .1212()4xx4(2)331 因此，双曲线的方程为 或 ，即 或 .2xy21xy2yx274xy 所以双曲线的半焦距为 或 .1374 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 13. 过点 作已知直线(,)Q 的平行线，交双曲线 于点 .1:4lyx214xy,MN （1）证明：点 是线段 的中点.QN （2）分别过点 作双曲线的切线 ，证明：三条直线 相交于同一点.,M12,l 12,l （3）设 为直线 上一动点，过点 作双曲线的切线 ，切点分别为 .证PlPPAB,AB 明：点 在直线 AB 上.Q 解 （1）直线 的方程为 ，即 ，代入双曲线N1()()4yx1(3)4yx 方程 ，得 . 24xy23650x 设 ，则 是方程的两根，所以 ，12(,)(,)My12, 12x 于是 ，故点 是线段 的中点. 5 分164yx(,)QMN （2）双曲线 的过点 的切线方程分别为 2y12,),MxyN ， .1:4xl2:4xl 联立，得 两式相加，并将 ， 代入，得 12,4yx12x12y ，这说明直线 的交点在直线 上，即三条直线 相交于同1y12,l:4ly12,l 一点. 10 分 （3）设 ， ，则 的方程分别为 和0(,)Pxy34(,)(,)ABx,PAB34xy ，因为点 在两条直线上，所以 ， ，这表41x301y01 明点 都在直线 上，即直线 的方程为 .,AB014y0xy 8 又 ，代入整理得 ，显然，无论 取什么值（即无014xy0()104xy0x 论 为直线 上哪一点） ，点 都在直线 AB 上. 20 分Pl1,Q 14. 已知数列 满足递推关系式： ， .na21nna1,nN （1）若 ，证明：（）当 时，有 ；（）当 时，有141a .3()2nna （2）若 ，证明：当 时，有 .15n1 nka 证明： 因为 ，故 ，即数列221 ()0nnna1na 为递增数列.na （1） （）由 及 可求得 ，于是当 时，1421nna236,42 ，于是 ，即当 时，6n 523()0n nan .1a 5 分 （）由于 时， ，所以 时， .2n1na2n221163nnna 由 可得 .1nnan 先用数学归纳法证明下面的不等式成立： （ ）.13()2na3 ）当 时， ，结论成立.3n337()2a ）假设结论对 成立，即 ，则结合（）的结论可得k()1kk ，即当 时结论也成立.11()()2kkan 综合） ，）可知，不等式 对一切 都成立.3()2na3 因此，当 时， ，即 .3n121nnnaa3()2n13()2na 又 ， ，所以当 时，有 .126()a234().51nna 10 分 （2）由于 ，而数列 为递增数列，故当 时，有 .1na1nna 由 可得 ，而 ，于是21nna112nna1 .111111()2kkknnaa 下面先证明：当 时，有 （*）5n2n ）根据 及 计算易得 ，1113427,281 ，而 ，2577()()828a739()564 故 ，即当 时，结论成立.5145n ）假设结论对 成立，即 .()k12ka 因为 ，而函数 在 时为增函数，所以213nna23()fx1x ，21 21()()k kk 即当 时结论也成立.n 综合） ，）可知，不等式 对一切 都成立.1na5n 于是当 时， ，故 ，所以 .512n1n112kna 20 分 15. 求所有的正整数 ，使得 是一个完全平方数，且除了 2 或 3 以外， 没有36 其他的质因数. 10 解 设 ，其中 ，则 .236()nxxN(12)nx 依题意，可设 其中 均为非负整数，于是 12,3ab12,ab （1）5 分213abab 如果 ，则 ，这是不可能的.所以 中至少有一个大于 0，1021 12,a 于是 和 均为偶数，从而 均为正整数.x12,a 若 ，则 ，显然只可能 （否则左右两边被 4 除的余数2a233bb1 不相同） ，此时 ，显然只能是 ，此时 .2162,6,108xn 10 分 若 ，则 是 4 的倍数，从而 也是 4 的倍数，故 ，此时2axx12a （2）2133bab 显然 中至少有一个应为 0（否则（2）式左右两边奇偶性不相同）.1, 1）当 ，即 时， （3）20a2a213bab 此时 （否则等式左右两边奇偶性不相同） ，故 .21 若 ，则（3）式左边是 9 的倍数，而右边为 3，矛盾，故只可能 ，从而1b 1b （3）式即 ，它只有两组解 和 即 和212a12,ab12,ab23,a 此时，对应的 值分别为 24 和 96，相应的 值分别为 864 和 10368. 125,abxn 15 分 2）当 ，即 时， （