2013届高三新课标数学配套月考试题五

2013 届高三新课标数学配套月考试题五 A 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本 试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考 证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案标号；非选择题答案 使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 第卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.） 1.（2012大连沈阳联考）已知集合 ,则 （ ）2|30,|log42xAxBAB A. B. C. D. 2,11,2,2 2. (2012银川一中月考)若 tan 2，则 的值为( )cossin A.0 B. C.1 D. 34 54 3.2012课标全国卷复数 z 的共轭复数是（ ） 3 i2 i A.2i B.2i C.1i D.1i 4.（2012北京海淀二模）已知命题 ： . 则 为（ ）p,sn2xx$ b0)的离心率为 .双曲线 x2y 21 的渐近线与椭圆 C 有 x2a2 y2b2 32 四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为（ ） A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 x28 y22 x212 y26 x216 y24 x220 y25 12.（理）2012山东卷函数 的图象大致为（ ）cosx 图 4 （文） （2012琼海模拟）方程 所表示的曲线的图 形是（ ）21lg10xy 图 5 第卷 O 1 x y A O 1 x y C 1 x y D O 1 x y B 222 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上. 13.（2012许昌新乡平顶山三调）设向量 的夹角为 ，且 ,则 cos .a,b3,21a=ba 14.（2012昆明第一中学一摸）若实数 满足不等式组 则 的最大值为 .,xy 0,2,xyzxy 15. 2012陕西卷观察下列不等式 1 0)的准线的距离为( 1，12) .点 M(t,1)是 C 上的定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 被直线 OM 平分. 54 （1）求 p，t 的值； （2）求ABP 面积的最大值. 图 7 22.（本小题满分 12 分） （理）(2012武汉调研）已知函数 f(x)ln(1x) ax 在 x 处的切线的斜率为 1. 12 （1）求 a 的值及 f(x)的最大值； （2）证明：1 ln(n1)（nN *） ； 12 13 1n （3）设 g(x)b(e xx) ，若 f(x)g( x)恒成立，求实数 b 的取值范围. （文） （2012武汉调研）设 aR ，函数 f(x)ln xax. （1）讨论函数 f(x)的单调区间和极值； （2）已知 （e 为自然对数的底数）和 x2 是函数 f(x)的两个不同的 零点，求 a 的值并证明：1 x2e 3 . 试卷类型：A 2013 届高三新课标原创月考试题五答案 数学 1. B【解析】A=1,2，由 ,得 ，又因为 ，所以 ，故 B=2.则 .log42x40x2x1,2A 2. B 【解析】 .2sinctan13 3. D【解析】因为 z 1i ，所以 1i.故选 D. 3 i2 i 3 i2 i2 i2 i z 4. D【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题， 即 .:p,sin2xxR 5. B【解析】由题意知 ，且 ，从而 ，得 .19a1019520a5a 6.（理）C【解析】 ， ，则切线方程为 ，即 .e2xy|e3xky 13yx1y （文）A【解析】 ， ，则切线方程为 ，即 .e1xy0|e12xky12yx1y 7. D【解析】由几何概型得，所求概率为 .269P 8. （理）C【解析】在二项式 中，令 ，得 ，故展开式中各项系数的和为 0. 21nx1x20n （文）D【解析】甲种树苗的平均高度为 ，9+035+9732+1=7甲 甲种树苗的高度的方差为 ； 222 228764065431s甲 乙种树苗的平均高度为 ，10+4+30+7=3x乙 乙种树苗的高度的方差为 22222220+61461= 07.810s乙 比较可知，乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐，选 D. 9. C【解析】由程序框图可知，当 xA 时，Ax；当 x A 且 xB 时，B x，所以 A 是 a1，a 2，a N 中 的最大数，B 是 a1，a 2，a N 中的最小数.故选 C. 10. C【解析】由三视图可知，该几何体的上方是一个直三棱锥（三棱锥的底面是腰长为 1 的等腰直角三 角形，高为 1） ；下方是一个半径为 的半球.故所求几何体的体积为214323V .16 11. D【解析】由离心率为 得，a 24b 2，排除选项 B，双曲线的渐近线方程为 yx，与椭圆的四交点组 32 成的 四边形的面积为 16 可得在第一象限的交点坐标为 ，代入选项 A、C、D，知选项 D 正确.(2，2) 12.（理）D【解析】由函数 y 为奇函数，排除选项 A，当 x 无限大时，y 趋向于 0，排除选项 cos6x2x 2 x C，当 x 从正数趋向于 0 时，y 趋向于正无穷大，故选 D. （文）D【解析】由题意可得 或 ，即 或 .但是要使得该方程12lg10y12 有意义还要 满足 综上可知图象选 D.2 1,0,xy 13. 【解析】设 .由 ，得 ，所以13,xyb=21,23,xyba1,2xy9cos0Aab .310 14. 6【解析】作出不等式组 表示的可行域（如下图阴影部分所示,含边界） ，可知当直线 0,2xy 经过直线 的交点 时， 取得最大值，且2zxy0x和 直 线 2,A2zxy .来源:学|科|网 Z|X|X|Kma6 15. 1 【解析】从几个不等式左边分析，可得出第五个式 子的左边为： 122 132 142 152 162116 1 ，对几个不等式右 边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第 5 个式子的分母应为 6，而 122 132 142 152 162 其分子依次为： 3,5,7，所以第 5 个式子的分子应为 11，所以第 5 个式子应为：1 . 122 132 142 152 162116 16. 【解析】根据指数函数的性质，可知函数 恒过定点 . ,43 0,xfm, 将点 代入 ，可得 . 由于点 始终落在所给圆的内部或圆上，所以1,2140axby7ab, . 由 解得 或 ，这说明点 在以 和 为端点25ab2 7,5ab3,4ab,ab3,4A,B 的线段上运动，所以 的取值范围是 ., 17.解:（1）因为 mn ()fx21313cos2insicos2inxxx . 4 分sin26 所以其最小正周期为 . 6 分2T （2）由（1）知 ，1sin6fxx 又因为 ，所以 .0,27, 所以 . 10 分1sin,6x 所以 .即函数 的值域为 . 3si20,2ffx30,2 12 分 18.解:（1）设 的公差为 .nad 因为 所以 ,22bSq ，q612 解得 或 （舍） ， .343d 故 ， . 1nan1nb （2）由（1）可知， ，2S 所以 .31ncn 故 .21212233n nTn 19. （理）解：依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为 ，去参加乙游戏的概率为 .设“这 4 13 23 个人中恰有 i 人去参加甲游戏 ”为事件 Ai(i0,1,2,3,4) ，则 P(Ai)C i 4i .i4( 13)(23) （1）这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P(A2)C 2 2 .24( 13)(23) 827 （2）设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则 BA 3A4， 由于 A3 与 A4 互斥，故 P(B)P(A 3)P(A 4)C 3 C 4 .34( 13)(23) 4(13) 19 所以，这 4 个人去参加甲 游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 . 19 （3） 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥， A0 与 A4 互斥，故 P(0)P( A2) ， 827 P(2)P( A1)P(A 3) ， 4081 P(4)P( A0)P(A 4) . 1781 所以 的分布列是 0 2 4 P 827 4081 1781 随机变量 的数学期望 E0 2 4 . 827 4081 1781 14881 （文）解：（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. （2）在抽取到的 6 所学校中，3 所小学分别记为 A1，A2，A3，2 所中学分别记为 A4，A5，大学 记为 A6， 则抽取 2 所学校的所有可能结果为A 1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4， A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共 15 种. 从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学( 记为事件 B)的所有可能结果为 A1， A2，A1，A3，A2，A3， 共 3 种. 所以 P(B) . 315 15 20. （理）解：解法 1：（1）如下图（1）， 连结 AC.由 AB4 ，BC3，ABC90，得 AC5. 又 AD5，E 是 CD 的中点， 所以 CDAE. 因为 PA平面 ABCD，CD平面 ABCD， 所以 PACD. 而 PA，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线， 所以 CD平面 PAE. （2）过点 B 作 BGCD，分 别与 AE、AD 相交于点 F，G，连结 PF. 由（1）CD 平面 PAE 知，BG 平面 PAE. 于是BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角，且 BGAE. 由 PA平面 ABCD 知， PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 . 由题意PBABPF，因为 sinPBA ，sinBPF ， PAPB BFPB 所以 PABF.来源:Z+xx+k.Com 由DABABC 90知，AD BC，又 BGCD， 所以四边形 BCDG 是平行四 边形.故 GDBC 3. 于是 AG2. 在 RtBAG 中，AB4，AG 2，BGAF， 所以 BG 2 ，BF .AB2 AG2 5 AB2BG 1625 855 于是 PABF . 855 又梯形 ABCD 的面积为 S (53) 416，所以四棱 锥 PABCD 的体积为 V SPA 12 13 16 . 13 855 128515 解法 2：如上图（2），以 A 为坐标原点， AB，AD，AP 所在直 线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标 系.设 PAh，则 相关各点的坐 标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C (4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h). （1）易知 (4,2,0)， (2,4,0)， (0,0，h).CD AE AP 因为 8800， 0，所以 CDAE，CDAP.而 AP，AE 是平面 PAE 内的两条相交CD AE CD AP 直线，所以 CD平面 PAE. （2）由题设和（1）知， ， 分别是平面 PAE，平面 ABCD 的法向量.而 PB 与平面 PAE 所成的角和 PBCD PA 与平面 ABCD 所成的角相等，所以|cos ， |cos ， |，即 .CD PB PA PB | CD PB |CD |PB | | PA PB |PA |PB | 由（1）知， (4,2,0)， (0,0，h)，CD PA 又 (4,0 ， h )，PB 故 .| 16 0 025 16 h2| |0 0 h2h 16 h2| 解得 h . 855 又梯形 ABCD 的面积为 S (53) 416， 所以四棱锥 PABCD 的体积为 V SPA 12 13 16 . 13 855 128515 （文）解： 1）证明：因为 PA平面 ABCD，BD平面 ABCD， 所以 PABD. 图 18 又 ACBD，PA ，AC 是平面 PAC 内的两条相交直线， 所以 BD平面 PAC. 而 PC平面 PAC，所以 BDPC . （2）设 AC 和 BD 相交于点 O，连结 PO，由（1）知，BD平面 PAC， 所以DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角.从而DPO30. 由 BD平面 PAC，PO 平面 PAC 知，BDPO. 在 Rt POD 中，由DPO 30，得 PD2OD. 因为四边形 ABCD 为等腰梯形，ACBD ， 所以AOD ， BOC 均为等腰直角三角形 . 从而梯形 ABCD 的高为 AD BC (42) 3， 12 12 12 于是梯形 ABCD 的面积 S (42) 39. 12 在等腰直角三角形 AOD 中， OD AD2 ， 22 2 所以 PD2OD4 ，PA 4.2 PD2 AD2 故四棱锥 PABCD 的体积为 V SPA 9412. 13 13 21.解：（1）由题意知Error!得Error! （2）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点为 Q(m，m)， 由题意知，设直线 AB 的斜率为 k(k0). 由Error! 得(y 1y 2)(y1y 2)x 1x 2. 故 k2m1. 所以直线 AB 方程为 ym (xm )，即 x2my2m 2m0. 12m 由Error! 消去 x，整理得 y22my2m 2m0， 所以 4m4m 20，y 1y 22m ，y1y22m 2m . 从而|AB| |y1y 2| . 1 1k2 1 4m2 4m 4m2 设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则 d . |1 2m 2m2|1 4m2 设ABP 的面积为 S，则 S |AB|d|1 2( mm 2)| . 12 m m2 由 4 m4m 20，得 0m 1. 令 u ，0u ，则 S u(12u 2)，m m2 12 设 S(u)u(1 2u 2)，0u ，则 S(u)16u 2. 12 由 S(u) 0 得 u ，所以 S(u)maxS . 66 (0，12) ( 66) 69 故ABP 面积的最大 值为 . 69 22. （理）解：（1）函数 f(x)的定义域为（1，） . 求导数，得 f (x) a. 11 x 由已知，得 f ( )1，即 a1，所以 a1. 12 此时 f(x)ln(1x )x，f (x) 1 ， 11 x x1 x 当1x0 时，f (x)0；当 x0 时，f (x)0. 所以当 x0 时，f( x)取得极大值，该极大值即为最大值， 所以 f(x)maxf(0) 0.（4 分） （2）法一：由（1） ，得 ln(1x)x0， 即 ln(1x) x，当且仅当 x 0 时，等号成立. 令 x （kN *） ，则 ln(1 )，即 ln ， 1k 1k 1k 1k k 1k 所以 ln(k1)lnk （k1，2，n）. 1k 将上述 n 个不等式依次相加，得 1 (ln2ln1)(ln3ln2)ln(n1) ln n， 12 13 1n 所以 1 ln(n1)（nN *）. （10 分） 12 13 1n 法二：用数学归纳法证明. 当 n1 时，左边1lne，右边ln2，所以左边右边，不等式成立. 假设当 nk 时，不等式成立，即 1 ln(k1) . 12 13 1k 那么 1 ln(k1) ， 12 13 1k 1k 1 1k 1 由（1） ，知 xln(1 x )（x 1，且 x0）. 令 x ，则 ln(1 )ln ， 1k 1 1k 1 1k 1 k 2k 1 所以 ln(k1) ln(k 1)ln ln(k 2) ， 1k 1 k 2k 1 所以 1 ln(k2). 12 13 1k 1k 1 即当 nk1 时，不等式也成立. （10 分） 根据，可知不等式对任意 nN *都成立.