2016-2017学年高中数学 全册北师大版选修4-5_6

1 第 1 章 不等关系与基本不等式 学业分层测评 5 运用平均值不等式 求最大（小）值 北师大版选修 4-5 (建议用时：45 分钟) 学业达标 一、选择题 1若 x， y 是正数，则( x y) 的最小值为( )( 1x 4y) A6 B9 C12 D15 【解析】 ( x y) 5 9，故选 B.( 1x 4y) 4xy yx 【答案】 B 2已知 x， y 为正数，且 x4 y1，则 xy 的最大值为( ) A. B 14 18 C. D 116 132 【解析】 x， y0， xy (x4y) 2 ，故选 C. 14 14 (x 4y2 ) 116 【答案】 C 3已知 x1， y1，且 lg xlg y4，那么 lg xlg y 的最大值是( ) A2 B. 12 C. D4 14 【解析】 x1， y1，lg x0，lg y0， 2，lg xlg y lg x lg y2 42 lg xlg y4. 【答案】 D 4设 x， y 为正数，且 x y1，则使 a 恒成立的 a 的最小值是( )x y A. B 22 2 C2 D2 2 【解析】 ( )212 1 x y2，x y xy 故 ， 从而 a 必须不小于 .x y 2 2 2 【答案】 B 5如果圆柱的轴截面周长 l 为定值，那么圆柱体积的最大值是( ) A. B ( l6)3 (l3)3 C. D ( l4)3 l4(14)3 【解析】 l4 r2 h，即 2r h ， l2 V r2h .( r r h3 )3 (l6)3 当且仅当 r h 时等号成立 l6 【答案】 A 二、填空题 6设 x0，则 y2 x 的最大值是_ 4x 【解析】 x0， x 2 4， 4x x4x y2 x 242， 4x 当且仅当 x ， 4x 即 x2 时， y 取最大值为2. 【答案】 2 7已知 x， y 大于 0，且满足 1，则 xy 的最大值为_ x3 y4 【解析】 x0， y0 且 1 2 ， x3 y4 xy12 xy3. 当且仅当 时取等号 x3 y4 【答案】 3 8已知 x， y0， x y1，则 的最小值为_. (x 1x)(y 1y) 【导学号：94910015】 【解析】 由 x0， y0， x y1， 得 xy (x 1x)(y 1y) yx xy 1xy 3 2 2 4. xy1xy xyyx 当且仅当 x y 时取等号 12 【答案】 4 三、解答题 9已知 x， y， a， b 均为正数， x， y 为变数， a， b 为常数，且 a b10， 1， x y 的最小值为 18，求 a， b. ax by 【解】 x y0， a0， b0 且 1， ax by x y( x y) a b a b2 a b2 ( )2.( ax by) bxy ayx bxyayx ab a b 当且仅当 时取等号， bxy ayx 此时( x y)min( )218.a b 即 a b2 18.ab 又 a b10， 联立Error! 解得Error! 或Error! 10经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 y(千辆/小时) 与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间的函数关系为 y (v0) 920vv2 3v 1 600 (1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ (精确到 0.1 千辆/小时) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【解】 (1)依题意 y ， 9203 v 1 600/v 9203 21 600 92083 当且仅当 v ，即 v40 时等号成立 1 600v ymax 11.1(千辆/小时) 92083 当 v40 千米/小时时，车流量最大，约为 11.1 千辆/小时 (2)由条件得 10， 920vv2 3v 1 600 整理得 v289 v1 6000， y0， x， a， b， y 成等差数列， x， c， d， y 成等比数列，则 的最小值是( ) a b 2cd A0 B1 C2 D4 【解析】 依题意 a b x y， xy cd， 又 x0， y0， 2 4. a b 2cd x y 2xy yx xy 当且仅当 x y 时，等号成立 的最小值为 4. a b 2cd 【答案】 D 2对于 x ，不等式 16 恒成立，则正数 p 的取值范围为( )(0， 2) 1sin2x pcos2x A(，9 B(9,9 C(，9 D9，) 【解析】 令 tsin 2x，则 cos2x1 t. 又 x ， t(0,1)(0， 2) 不等式 16 可化为 p (1 t)， 1sin2x pcos2x (16 1t) 令 y (1 t)17 17(16 1t) (1t 16t) 2 9， 1t16t 当 16 t，即 t 时取等号， 1t 14 因此原不等式恒成立，只需 p9. 【答案】 D 3若对任意 x0， a 恒成立，则 a 的取值范围是_. xx2 3x 1 【导学号：94910016】 5 【解析】 由 x0，原不等式等价于 0 x 3 恒成立， 1a x2 3x 1x 1x 所以 min5，即 0 5，解得 a .当且仅当 x 即 x1 时，取等号 1a (x 1x 3) 1a 15 1x 【答案】 a 15 4某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m)，如图 132 所示，垂直放置的标杆 BC 的高度 h4 m，仰角 ABE ， ADE . 图 132 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位：m)，使 与 之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为 125 m，问： d 为多少时， 最大？ 【解】 由题设知 d AB，得 tan . Hd 由 AB AD BD ，得 tan ， Htan htan H hd 所以 tan ( ) tan tan 1 tan tan ， h d H