超越函数图像非对称性问题的常用结论及其应用

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 超越函数图像非对称性问题的常用 结论及其应用 近年来在高考和各地模拟考中对 于超越函数的图像非对称性问题的考查 比较深入，经常以压轴题的形式出现， 难度很大，令很多考生无从下手.针对这 种题型，我们可以借鉴二次函数的对称 性，把这些图像不对称的函数问题转化 到极点同侧的等价问题来解决.这种数学 思想方法可以让考生找到明确方向，并 体验到成功的喜悦. 中国论文网 /9/view-13003152.htm 一、两个结论 我们熟知一个平常结论：如果二 次函数 f（x）=ax2+bx+c 的图像以直线 x=x0 为对称轴，且 f（x1 ）=f （x2） ，那 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 么 x1+x2=2x0. 注意 x=x0 是该二次函数 f（x） 的最值点，而对于超越函数有何相应结 论呢？ 定理 1 如果函数 f（x）在 （m，x0上递增，在x0 ， n）上递减， 且 f（x1 ）=f（x2） ， （其中 x12x0f（2x0-x1）f （x1）f（2x0-x2） f（x2） . 定理 2 如果函数 f（x）在 （m，x0上递减，在x0 ， n）上递增， 且 f（x1 ）=f（x2） ， （其中 x12x0f（2x0-x1）f（x2） ； （2）x1+x2f （x1） f（2x0-x2 ） 1 时，f（x）g （x） ； （）如果 x1x2，且 f（x1） =f（x2） ，证明 x1+x22. 说明第（） 、 （）小题比较简 单，略解.第（）问即为超越函数非对 称性的问题，常规解法的思路弯绕，下 面给出流畅解答. 解（）求导数得，f（x）=e- -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 x（1-x ）. 令 f（x）=0 ，解得 x=1，由此记 x0=1.易知，函数 f（x）在（ -，1上递 增，在1 ，+）上递减.由于 x1x2 且 f（x1） =f（x2） ，则不妨设 x12，只要 证 f（2x0-x1）f （x1） ， 即只要证 f（2-x1 ）f （x1） ， 即只要证（2-x1）ex1-2x1e- x1， 即只要证（2-x1）ex1-2-x1e-x10. 由此令 h（x）=（2-x）ex-2-xe- x（x1） ， t 导数 h（x）= （x-1） （e-x-ex- 2）=（x-1 ） e-x（1-e2x-2）h（1）=0， 即（2-x1）ex1-2-x1e-x10 ，故原 结论正确.证毕. 评注：此外，用分析法转化为论 证不等式（2-x2）ex2-2-x2e-x20） ， 则 f（x）在（- ，1上递减，在 1，+）上递增. 又因为 f（x1）=0=f （x2） ，则不 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 妨取 x10. 又因为 0=f（x2）= （x2-2 ） ex2+a（x2-1）2， 则只要证 x2e2-x2-（2-x2） ex2（x2-1）2（1-x2）20， 则只要证 x2e2-x2+（x2-2） ex20. 由此令 g（x）=xe2-x+（x-2） ex（x1 ） ， 则当 x1 时导数 g（x）=（x-1） （ex-e2-x）0， 则函数 g（x）在区间1，+） 上递增. 又因为 x21，则 g（x）g（1） =0， 即 x2e2-x2+（x2-2）ex20，故 原结论正确.证毕. 评注：此例虽然与例 1 是一脉相 承的，但在运用分析法的环节中却增加 了代入一个参数 a=（2-x2）ex2（x2- 1）2，这就增强了对学生的能力考查. 限于篇幅，不再举例，最后提供 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 一道附加题，供读者练习. 已知 f（x）=lnx-ax