2007数模竞赛b题,城市公交线路选择优化模型论文

城市公交线路优化模型 摘 要 本文针对城市公交线路选择问题建立了两个模型，一个是基于集合寻线算 法模型，另一个是图论模型。 基于集合寻线算法模型中，首先固定换乘次数 ，通过集合论的相关知识n 把确定换乘点的具体位置, 转化成确定一些集合间的交集，从而建立集合寻线 算法，再根据集合相关公式，得到所有可行线路；进一步考虑时间和费用等因 素，对可行线路进行处理比较，得出最佳线路。 图论模型中，通过图论的知识将整个北京市交通线路构建出一个有向图， 每个站点与有向图的顶点一一对应，同一线路上的相邻站点对应为有向边，通 过不同目标（时间、费用）给有向图进行不同的赋权，分别将不同目标转化为 赋权有向图寻找最短有向路，根据最短路径算法，得到最佳线路。最后综合评 价了两个模型的优缺点。 关键词：集合寻线算法；最短路算法；换乘点；赋权有向图 2 1 问题提出 北京将于 2008 年举行奥运会，届时会有从四面八方而来观看奥运比赛观众， 其中大部分人将会乘坐公共交通工具（简称公交，包括公汽、地铁等）出行。 随着现代化的步伐加快，城市的公交系统有了很大发展，北京市的公交线路已 达 800 条以上，使得公众的出行更加通畅、便利，但同时也面临多条线路的选 择问题。在现实生活中，公交线路以及其相应经过的站点非常多且密，乘客往 往难以知道如何选择公交线路，所以针对市场需求以及公交线路选择上的问题， 某公司准备研制开发一个解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统。 该系统的核心在于线路选择的模型与算法，应该从实际情况出发，满足查 询者的各种不同需求。根据附录 1、附录 2，解决如下问题： 1.仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与 算法。并根据附录数据，利用建立的模型与算法，求出以下 6 对起始站终到 站之间的最佳线路。 (1) S3359S1828 (2) S1557S0481 (3) S0971S0485 (4) S0008S0073 (5) S0148S0485 (6) S0087S3676 2.同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题。 3.假设知道所有站点之间步行时间，给出任意两站点之间线路选择的数学模型。 2 问题分析 为了研制开发一个解决公交线路最佳选择（即乘客在多条公交线路中根据 自己的需求获得最适合自己的线路）问题的自主查询计算机系统，只要乘客给 出起点站 和终点站 两个站点，系统就给出最佳交通线路，使得公众出行更AB 加通畅、便利。而问题核心是如何在多条线路选择中获得最佳线路。 乘客往往不能只乘一辆公交便直达终点，而是要通过换乘一辆或多辆公交 才能到达终点站，但若多次换乘公交，可能导致乘客所花时间及其费用的增加， 更会给乘客造成不便。在奥运将在北京举行的背景下，我们知道乘客前往观看 奥运比赛时，主要注重的是能否及时到达，所以在为乘客选择线路时，力求乘 坐花费的时间尽可能少以及路程尽可能短的线路，同时考虑换乘车辆以及乘车 费用尽量少的最佳线路，而现实是很难同时满足上面三个目标的。为了使问题 简单化， 我们分别以乘车时间、乘车费用以及换乘次数为目标函数，得到各自 的较优线路，再通过对比，有效地处理这些线路，最终得出查询系统给出的结 果。 3 模型准备 3.1 模型假设 1.假设同一地铁站对应的任意两个公汽站之间可以通过地铁站换乘（无需 支付地铁费） ； 2.假设所有交通线路都不出现停运或者线路变动； 3.假设公汽的环行行驶线路是单向的。 3.2 符号约定 ：相邻公汽站平均行驶时间（包括停站时间） ， ；c min3c ：相邻地铁站平均行驶时间（包括停站时间） ， ；d 5.2d ：公汽换乘公汽平均耗时， （其中步行时间 2 ） ；e min5e 3 ：地铁换乘地铁平均耗时， （其中步行时间 2 ） ；f min4f min ：地铁换乘公汽平均耗时， （其中步行时间 4 ） ；g7g ：公汽换乘地铁平均耗时， （其中步行时间 4 ） ；hi6hi ：交通工具与交通工具换乘所需时间；ijt ：地铁票价， 元；k3k ：换乘次数；n ：乘客在可选择的从起始站到终点站线路中第 条线路的换乘点（包括始点ijNi 和终点） ， ， 为起点， 为终点；1,20nj 0iN1,ni ：乘客从第 换乘点上车到第 换乘点的下车所付的票价，jM1j ；, ：公交车从第 换乘点到第 换乘点经过的站点数（含第 换乘点）jWj j ；,2n ：公交车在第 线路上从第 换乘点到第 换乘点线路；jCij1j ：公交车在第 线路上从第 换乘点到第 换乘点经过每站所需时间；ik1 ：只换乘 次乘客从起始站到终点站选择第 条线路所需要的总时间；nT i ：只换乘 次乘客从起始站到终点站选择第 条线路所需要的总费用。iS 4 基于集合寻线算法的模型 4.1 集合寻线算法的建立 现实乘客换乘的次数 很小，公司在设计一个城市公交线路时，为了使线n 路更合理，一般不会使乘客要通过多次换乘（超过 3 次）才到达终点站。则不 妨假设换乘次数 ， 。2,0Z 我们可以看到问题中关键要解决的是找出换乘点 的具体位置，显然换乘ijN 点是公交线路的交叉点，或者说站点至少要有两条公交线路经过。由于公交线 路不是一条直线段或者有一定几何规律的曲线，所以我们通过代数的相关知识， 把具有同一属性的站点放入同一集合中，这样就把问题转化成代数问题。基于 此思想，我们建立以下集合寻线算法： 步骤 1：找出经过终点 站的所有公交线路 存放到集合 ，BjB|jjBY 以及这些线路 经过的所有站点存放到集合 。j Q 步骤 2：找出经过起始站 的所有公交线路 ，存放到集合AiA ，以及这些公交线路 经过的站点存放到集合 。|iiAXi P 步骤 3：判断 和 的关系：XY 1若 ，即存在 ，使得 ，表示起始站 A 到终点站Zji, jiB B 之间有一条或几条直达线路，乘客不必换乘公交车，算出这些直达线路各自 所需要的时间和票价；通过比较大小，得到该情况下的乘车最少时间 和最minT 少费用 ，以及其相应的线路。minS 2若 ，则说明起始站 与终点站 之间不存在公交车直达的情YXA 况，只能通过换乘才能到达终点站 ，则要寻找换乘点。B 步骤 4：查找公交线路 与公交线路 的所有共同站点 ，存放到集合i j a 4 。集合 中的元素是换乘点。|jiBAaII 步骤 5：判断集合 ： 1如果集合 ，即乘客可以通过一次换乘就能到达终点站。记录换乘I 点及其相应线路。 2如果集合 ，即乘客不能通过一次换乘到达终点站，则要选取新的 起始点。 步骤 6：选取新的起始点： 从集合 中任取一站点 （ ） ，即遍历集合 中所有的元素，以站PAP 点 代替原来的起始站 。转到步骤 2，这样就能找出所有经过两次换乘的线A 路。 步骤 7：通过重复上面的 6 个步骤可得经过 次换乘的所有可能线路。n 4.2 模型的建立 4.2.1 时间及费用计算 我们固定换乘次数 ，通过集合寻线算法，得到通过 次换乘的所有可达n 线路，再对这些线路进行下面的运算： 从起点站 到终点站 ， ：经过起点站 的第 条公交线路；ABiAAi ：经过终点站 的第 条公交线路；jBj 只通过 次换乘到达可选择的线路共有 条，设第 条乘坐线路的换乘点为nUi , ， 为起点， 为终点,第 条线路上从第 换乘点到第ijN1,0 0iN1ni j 换乘点线路为 ，其途径的站点数 ， ，所付的票价 ,相1ijCijWin,0ijM 邻站点平均行驶时间 ，第 个换乘点需要的换乘时间为 。ijk ijt 1）只考虑公汽线路： a.第 线路所需要的总时间：i （1）enctkT njijnjijnjiji 111 其中， 表示公汽相邻两站的平均行使时间， 汽车换乘需要的平均耗时。c b.第 线路所需要的总费用：i （2） njijiMS1 其中, 04321ij ijijijijijWCCM， 段 乘 坐 按 段 收 费 公 汽， 段 乘 坐 单 一 票 价 公 汽， 2）同时考虑公汽与地铁线路： a.第 线路所需要的总时间：i （3）njinjii tkT11 5 其中， 段 乘 坐 地 铁， 段 乘 坐 汽 车， ijijijCdck， 公 汽 换 乘 地 铁， 地 铁 换 乘 公 汽， 地 铁 换 乘 地 铁， 公 汽 换 乘 公 汽hgfeijt b.第 线路所需要的总费用：i （4） njijiMS104321ij ijijijijijWCCM， 段 乘 坐 按 段 收 费 汽 车， 段 乘 坐 地 铁， 路段 乘 坐 汽 车 单 一 票 价 线， 3）同时考虑公汽、地铁和步行时间： a.第 线路所需要的总时间：i （5）njinjii tkT11 其中， 段 为 步 行， 段 乘 坐 的 是 地 铁， 段 乘 坐 的 是 汽 车， ijiijCvdc， 公 汽 换 乘 地 铁， 地 铁 换 乘 公 汽， 地 铁 换 乘 地 铁， 公 汽 换 乘 公 汽hgfeijt b.第 线路所需要的总费用：i （6） njijiMS104321ij ijijijijijWCCM， 段 乘 坐 按 段 收 费 汽 车， 段 乘 坐 地 铁， 路段 乘 坐 汽 车 单 一 票 价 线， 6 注意：由于步行不需费用，所以要给个步行线路约束：步行时间不超过 。T 4.2.2 目标函数的确定 固定了换乘次数 ，确立以下目标：n 1）时间目标： ，即找出只通过 次换乘乘车时间最少的最佳线路)mi(iTn 及其时间； 2）费用目标： ，即找出只通过 次换乘乘车费用最少的最佳线路niS 及其费用。 4.2.3 最佳线路的处理 由于公交线路很多，在同一目标下，乘客可能还有较多条最佳线路的选择， 那么我们不可能把所有最佳线路给乘客选择，乘客也不能接受，所以我们可根 据下面几点进行处理： 1）尽量满足时间最短的情况下，选择费用最少的线路； 2）尽量不要把换乘站点安排在热门站点（即较多线路交叉点，不妨设最佳 线路大于 5 条时，通过查找经过换乘站点的所有交通线路，遍历所有换乘站点， 记录每一个站点对应的 ， 较大就是热门站点） ；r 3）可以随机抽取几条给乘客，避免某条线路上过于繁忙； 4）尽量不要把繁忙线路（累加每一条线路上所有站点对应的 得到较大的r 的线路为繁忙线路）安排为最佳线路，避免交通阻塞； 4.2.4 算法的时间复杂度 由于所选的换乘次数最多两次，所以此算法的时间复杂度为 。)(2nO 5 基于图论的模型及其算法实现 5.1 图论模型的建立 以每个站点为顶点，若站点 A 到站点 有公交线路并且 A 与 为相邻站点，BB 则连一条 到 有向边，根据所给的站点与线路我们建立一个得到一个有重边AB 的有向图 。一条公交线路就是 的一条有向路。),(EVD),(EVD 5.1.1 以时间为目标的线路模型 1）仅考虑公汽线路 对于有向图 ，给每条有向边都赋权 c（相邻公汽站点行驶时间） ，),( 若站点 有 条公汽线路,则把 A 变成 个点 （相当于增加了 假AnnnA,21 1n 想点，换乘公汽线路需要从 变为 ） ， 的每两顶点都连对称有向ij 边，即这是一个 阶双向完全有向图（见图 1） ，每条边都赋权 e（公汽换乘公 汽耗时） ，于是得到一个赋权有向图 。),(WEVD 则任意两公汽站点之间线路最少时间选择问题就转化为求 的对),(WEVD 应两顶点的最短有向路问题。 7 A1 A2 A3 5 5555 5 Q1 P2 P1 Q3Q25 555 66 666 6 667 7 77 7 7 46 图 1 图 2 2）同时考虑公汽和地铁 对于有向图 ，给每条公汽线路的有向边都赋权 c，每条地铁线路的),(EVD 有向边都赋权 d，若站点 B 有 条公交线路（其中 条公汽线， 条地铁线）mnmn ,则把 B 变成 个顶点 （相当于增加了 个假想n12,;O 12,nP 1 点） ，边为 个顶点都连对称有向边，它一个 阶完全双向有向图(见图 2)。m 间的边赋权 e（公汽换乘公汽耗时） ， 间的边赋权 f（地12,O 12,nP 铁换乘地铁耗时） ， 的每点到 的每点的边赋权 h（公汽换12,m 12,n 乘地铁耗时） ， 的每点到 的每点的边赋权 g（地铁换乘公nP mO 汽耗时） 。得到一个赋权有向图 。),(WEVH 则任意两公汽站点之间线路最少时间选择问题就转化为求 的对),(WEVH 应两顶点的最短有向路问题。 3）同时考虑公交与步行时间 在赋权有向图 中任两点之间（除去假想点）连接对称有向边，),( 其边赋权为 ，从而得到一个新的赋权有向图 。v ),(EVJ 则任意两公汽站点之间线路最少时间选择问题就转化为求 的对应),(EVJ 两顶点的最短有向路问题。 5.1.2 以费用为目标的线路模型 1）仅考虑公汽的线路 对于公交线路有向图 ，给所经过的同一公汽线路上的最大站点数),(EVD 的有向路进行赋权：若单一票价，则赋权 ；若分段计价，则赋权n 0f ，于是得到一个动态赋权有向图 。1 ,02()43,1nf ),(WEVG 则任意两公汽站点之间线路最少费用选择问题就转化为求动态赋权有向图 的对应两顶点的最短有向路问题。),(WEVG 2）同时考虑公汽和地铁 8 对于城市公交线路自然图 ，给所经过的同一公汽线路上的最大站点),(EVD 有向路进行赋权：若单一票价，则赋权 ；若分段计价，则赋权0f ，给所经过的同一地铁线路赋权 ，于1 ,02()43,1nf()为 最 大 站 点 数 2f 是得到一个动态赋权有向图 。,(WEVH 于是任意两公交站点之间线路最少费用选择问题就转化为求 的),(WEVH 对应两顶点的最短有向路问题。 3）同时考虑公交和步行 由于步行是不需要费用的，则在赋权图是 上任意两点间连上对),(EVH 称的有向边，但其权为 0，显然费用最少为 0，即步行到终点站。显然是不合理 的。故这里不能用赋权图对应线路。 5.2 最短路径算法 上面模型可以通过如算法实现 ：5 步骤 1：通过计算式子 （其中 是终点，1 0)( ,21),(minf nijfWijj n 是起点，终点的 ，从终点出发逐步向起点推算， 是与 相邻， 为nf ji)(jf 已知 点到终点的最小线路） ，得到最短路。此算法时间复杂度为：j 2O 步骤 2：通过对上面最短路经过的站点的搜索和判断，找出换乘点和换乘次数。 步骤 3：把步骤 1 最短路的权值与步骤 2 换乘目标值相加，得到最终的最短路。 6 模型的求解 因为乘坐的费用比较少，乘客还是偏重与对时间的选择，本文下面的求解 都是以时间为目标得到的最佳线路。 6.1 基于集合寻线算法模型的求解 6.1.1 仅考虑公汽 根据模型求解出问题中通过模型得到了 6 对查询点都不能通过一条线路直 接到达，也得到 1，2 次换乘的最佳线路。 见下表: S3359S1828 的不同线路 乘车方 案 线路一 换乘点 1 线路二 换乘点 2 线路三 总站数 总时间 总费用 换乘次 数 1 L436 下行 S1784 L167 32 101 3 1 2 L436 下行 S1784 L217 32 101 3 1 3 L015下行 S2903 L027上行 S1784 L167下行 21 73 3 2 4 L015下行 S2903 L027上行 S1784 L217下行 21 73 3 2 5 L015下行 S2903 L201上行 S1790 L041上行 21 73 3 2 9 6 L015下行 S2903 L201上行 S0458 L041上行 21 73 3 2 7 L015下行 S2903 L201上行 S1792 L041上行 21 73 3 2 8 L015下行 S2903 L201上行 S1783 L041上行 21 73 3 2 9 L015下行 S2903 L201上行 S1671 L041上行 21 73 3 2 10 L123上行 S2903 L027上行 S1784 L167下行 21 73 3 2 11 L123上行 S2903 L027上行 S1784 L217下行 21 73 3 2 12 L123上行 S2903 L201上行 S1790 L041上行 21 73 3 2 S1557S0481 的不同最优解路线 乘车方 案 线路一 换乘点 1 线路二 换乘点 2 线路三 总站数 总时间 总费用 换乘次 数 1 L084下行 S1919 L189下行 S3186 L460 32 106 2 2 2 L363下行 S1919 L189下行 S3186 L460 32 106 2 2 S0971S0485 的最佳路线 乘车方 案 线路一 换乘 点 1 线路二 换乘 点 2 线路 三 总站 数 总时间 总费用 换乘次 数 1 L013 下行 S2184 L417 下行 41 128 3 1 2 L013 上行 S1690 L140 下行 S2654 L469 32 106 3 2 3 L013 下行 S2517 L296 上行 S2480 L417 32 106 3 2 4 L024 下行 S1690 L140 下行 S2654 L469 32 106 3 2 5 L094 上行 S1690 L140 下行 S2654 L469 32 106 3 2 6 L119 下行 S1690 L140 下行 S2654 L469 32 106 3 2 7 L263 下行 S1690 L140 下行 S2654 L469 32 106 3 2 S0008S0073 最佳路线 乘车方 案 线路一 换乘点 1 线路二 换乘点 2 线路三 总站数 总时间 总费用 换乘次 数 1 L159 下行 S2683 L058 下行 26 83 2 1 2 L159 下行 S0291 L058 下行 26 83 2 1 3 L159 下行 S3614 L058 下行 26 83 2 1 4 L159 下行 S0491 L058 下行 26 83 2 1 5 L159 下行 S2559 L058 下行 26 83 3 1 6 L159 下行 S3315 L058 下行 26 83 3 1 10 7 L159 下行 S2559 L464 上行 26 83 3 1 8 L159 下行 S0400 L474 上行 26 83 2 1 9 L159 下行 S2633 L474 上行 26 83 2 1 10 L159 下行 S3053 L474 上行 26 83 2 1 11 L355 下行 S2263 L345 上行 26 83 2 1 12 L355 下行 S3917 L345 上行 26 83 2 1 13 L355 下行 S2303 L345 上行 26 83 2 1 14 L463 下行 S2083 L057 上行 26 83 2 1 15 L198 上行 S3766 L296 上行 S2184 L345 19 67 3 2 S0148S0485 的不同最优解路线 乘车 方案 线路一 换乘点 1 线路二 换乘点 2 线路三 总站 数 总时 间 总费用 换乘次 数 1 L308 上行 S36 L156 上行 S2210 L417 下行 32 106 2 2 2 L308 上行 S36 L156 上行 S3332 L417 下行 32 106 2 2 3 L308 上行 S36 L156 上行 S3351 L417 下行 32 106 2 2 S0087S3676 的最佳路线 乘车方 案 线路一 换乘 点 1 线路二 换乘 点 2 线路三 总站 数 总时间 总费用 换乘次 数 1 L454 上行 S3496 L209 下行 20 65 2 1 2 L021 下行 S0088 L231 环行 S0427 L462 下行 12 46 3 2 通过模型得到了 6 对查询点都不能通过一条线路直接到达，换乘一次，两 次的较优线路，根据乘客的不同的需求，确定目标，选择适合自己的最佳线路。 例如上面从站点 到站点 ，如果乘客不想多次换乘，那么他就可以选359S182 择换乘一次的两条线路的一条，如果乘客想尽快到达终点站，那么他可以选择 换乘两次的 10 条线路中的一条。 6.1.2 同时考虑公汽和地铁 我们先算出问题中 6 对查询点一定上要一次地铁的最佳线路见表 3： 表 3 乘坐一次地铁的最佳线路 始点终 点 公汽线 路一 换乘点 地 铁 线 路 地铁 起点 地铁 终点 公汽线 路二 换 乘 点 时间 费用 S3359 S1828 线路超过二次换乘，无法提供具体线路 11 S1557 S0481 L084 下行 S0978 T2 D32 D24 L516 上行 S05 37 116.5 5 S0971S 0485 L094 上行 S0567 T1 D1 D20 L417 下行 S20 79 99.5 5 S0008 S0073 L159 下行 S2633 T1 D13 S12 L057 上行 S06 09 75.5 5 S0148S 0485 L024 下行 S1487 T1 D2 D20 L417 下行 S20 79 91 5 S0087S 3676 T2 D27 D36 36 3 再与只考虑公汽的最佳线路进行比较，选择时间最短的，得到 S3359 S1828，S1557 S0481，S0008 S0073 只乘坐公汽， S0971S0485，S0148S0485，S0087S3676 要乘坐地铁才能获得最短时间。 6.2 图论模型的求解 因为根据此模型得到的结果，根上面模型基本一致，在此本文就不再赘述， 有兴趣的读者可以通过算法得到。 7 模型评价 7.1 基于集合寻点算法的模型的评价 基于集合寻点算法的模型所给的查询系统是固定换乘次数 基础上，算出n 能通过 次换乘的所有线路。再通过对不同换乘数所得到的这些最佳线路，对n 这些线路的时间，费用的分别比较，通过层层的对比筛选排除，通过一些条件 对最佳线路的进行处理，最后乘客可以根据自己的不同需求进行选择。 其优点：模型中紧紧抓住选择最佳线路问题的突破点换乘次数，通过 集合的相关知识把难点换乘点的具体位置的确定,转化成确定一些集合间的 交集，从而把站点，线路与集合中的元素一一对应起来，建立起集合寻线算法， 再根据集合相关公式，通过线路计算式子，有效地计算出最佳线路，并且考虑 一些因素，如时间等对最佳线路进行处理。算法中有效的摒弃一些无效站点， 从而大大减少了计算量和时间，明显比运用图论求得最短路要有效的多。能为 查询者提供不同换乘次数下时间与路程最少的最佳线路，以及对于多条最佳线 路，查询系统尽量采用不太热门的公交线路，随机地为查询者提供指定数目的 线路，避免同一最佳线路过热的情况发生。 其缺点：就是此模型只能为查询者提供换乘次数较少下的最佳线路，当换 乘次数大于三时，模型实现的时间较长。 7.2 图论模型的评价 由图论模型所得的查询系统，是以图论知识中的最短路有向图为基础，对 不同线路经过同一站点时，假设多个假想点，并将各不同站点之间所需时间作 为权，对各线路站点赋权，分别确定以时间、费用、换乘为目标转化为寻找有 向的完全图，并根据实际情况，建立出动态赋权有向图，得出最佳线路。 其优点：模型充分利用公交线路其实就是一个有向图，而且在比较成熟的 12 最短路算法基础上，通过插入换乘时间，得到最佳线路。算法还是比较容易实 现。 其缺点：模型在引入步行，求费用最少，却不能实现。而且运用最短路算 法，得到不一定是真正意义上的最佳线路，只能是近似最佳线路。 8 模型的推广 建立此模型的思想，不但能应用到现在这种公交线路中，并能推广到海、 陆、空多种交通线路之间寻找最优线路。通过实际情况对模型的进行调整，模 型就能适应更多情况。例如图论模型中对有向图的权进行调整就能实现不同时 间差站点的最佳线路的选择。 参考文献 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GCLSFi11=GCLSi11; GCLSFi12=GCLSi12; for i2=1:n GCLSFi13i2=GCLSi13n-i2+1; end n=length(GCLSi14); GCLSFi11=GCLSi11; GCLSFi12=GCLSi12; for i2=1:n GCLSFi14i2=GCLSi14n-i2+1; 14 end elseif length(GCLSi1)=5 n=length(GCLSi15); GCLSFi11=GCLSi11; GCLSFi12=GCLSi12; for i2=1:n GCLSFi15i2=GCLSi15n-i2+1; end end end clc