管理运筹学科学管理课后答案谢家平

管理运筹学 管理科学方法 谢家平 第一章 第一章 1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2.（1）设立决策变量； （2）确定极值化的单一线性目标函数； （3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量； （4）非负约束。 3.（1）唯一最优解：只有一个最优点 （2）多重最优解：无穷多个最优解 （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大 （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集 无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项 bi0 , 决策变量满足非负性。如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“” 型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 5. 可行解：满足约束条件 AX =b,X0 的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 6. 计算步骤：第一步，确定初始基可行解。 第二步，最优性检验与解的判别。 第三步，进行基变换。 第四步，进行函数迭代。 判断方式： 唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即 j 0 ，但其对应的系数列向量 Pk 中，每一个元素 aik (i=1,2,3,m)均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。 无可行解：当引入人工变量，最末单纯型发表中的基变量含有非零的人工变量，即人工变量不能全出基，则无可行解。 7. 单纯形法需要有一个单位矩阵作为初始基。当约束条件都是“”时，加入松弛变量就形成了初始基，但实际问题中往往出现“”或“”型的约束，这就没有现成的单位矩阵。需要采用人造基的办法，无单位列向量的等式中加入人工变量，从而得到一个初始基。人工变量只有取 0 时，原来的约束条件才是它本来的意义。为保证人工变量取值为 0，令其价值系数为-M（M 为无限大的正数，这是一个惩罚项） 。如果人工变量不为零，则目标函数就不能实现最优，因此必须将其逐步从基变量中替换出。对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取 M。 8. 9.10. （1）C10（3）C1 0，d0，a20，d/43/a 2 （4）C20，a1 0 （5）x1 为人工变量，且 C1 为包含 M 的大于 0 数，d/43/a2；或者 x数，a10，d0。11.2 为人工变量，且 C 2 为包含 M 的大于 0 12. 设 xij 为电站向某城市分配的电量，建立模型如下： 13. 设 x1 为产品 A 的产量， x2 为产品 B 的产量，x3 为副产品 C 的销售量， x4 为副产品 C 的销毁量，问题模型如下： 第二章 1. （2）甲生产 20 件，乙生产 60 件，材料和设备 C 充分利用，设备 D 剩余 600 单位（3）甲上升到 13800 需要调整，乙下降 60 不用调整。（4）非紧缺资源设备 D 最多可以减少到 300，而紧缺资源材料最多可以增加到 300，紧缺资源设备 C 最多可以增加到 360。 2.设第一次投资项目 i 为 xi，第二次投资项目 i 设为 xi ，第三次投资项目 i 设为 xi 。3.设每种家具的产量为4.设每种产品生产 xi 5 （1）设 xi 为三种产品生产量 通过 Lindo 计算得 x1= 33, x2= 67, x3= 0, Z = 733 （2）产品丙每件的利润增加到大于 6.67 时才值得安排生产；如产品丙每件的利润增加到 50/6，通过 Lindo 计算最优生产计划为：x1=29 ， x2= 46 ， x3= 25 ， Z = 774.9 。（3）产品甲的利润在6,15范围内变化时，原最优计划保持不变。 （4）确定保持原最优基不变的 q 的变化范围为-4,5。 （5）通过 Lindo 计算，得到 x1= 32, x2= 58, x3= 10, Z = 707 第三章 1.原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题，前者从产品产量的角度来考察利润，后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润，即利润是产品生产带来的，同时又是资源消耗带来的。 对偶变量的值 yi 表示第 i 种资源的边际价值，称为影子价值。可以把对偶问题的解 Y 定义为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。 2.若以产值为目标，则 yi 是增加单位资源 i 对产值的贡献，称为资源的影子价格（Shadow Price） 。即有“影子价格=资源成本+影子利润”。因为它并不是资源的实际价格，而是企业内部资源的配比价格，是由企业内部资源的配置状况来决定的，并不是由市场来决定，所以叫影子价格。可以将资源的市场价格与影子价格进行比较，当市场价格小于影子价格时，企业可以购进相应资源，储备或者投入生产；当市场价格大于影子价格时，企业可以考虑暂不购进资源，减少不必要的损失。3.（1）最优性定理：设 ， 分别为原问题和对偶问题的可行解，且 C = b ，则 ，a 分别为各自的最优解。 （2）对偶性定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，而且两者的目标函数值相等。 （3）互补松弛性：原问题和对偶问题的可行解 X 、 Y 为最优解的充分必要条件是, 。 （4）对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形法表中，初始基变量的检验数的负值。若YS 对应原问题决策变量 x 的检验数； Y 则对应原问题松弛变量 xS 的检验数。4. 表示三种资源的影子利润分别为 0.89、4.89 和 0，应优先增加设备 C 台时以及增加材料可获利更多；14.8912，所以设备 C 可以进行外协加工，200.89210，所以暂不外购材料。 5.(1)求出该问题的最优解和最优值； T* *x1= x2= x4= 0, x3= 2, x5= 6, Z = 4 (2)该问题的对偶问题的最优解和最优值：y1= 2 ，y2= 0 ， w = 4 (3) 分别为 2、0，对产值贡献的大小；第一种资源限量由 2 变为 4，最优解不会改变。 (4)代加工产品丁的价格不低于 22+03=4。4 6. (1)设四种产品产量为 xi ,i= 1,2,3,4 (2)影子价格分别为 2、1.25、2.5。对比市场价格和影子价格，当市场价低于影子价格时购进。 (3)原料丙可利用量在900,1100 范围内变化，原最优生产方案中生产产品的品种不变（即最优基不变） 。 (4)若产品 B 的价格下降了 0.5 元，生产计划不需要调整。第四章 1.纯整数规划、0-1 规划、混合整数规划。 2. (1)首先不考虑整数条件，求解整数规划相应的线性规划问题。若相应的线性规划问 题没有可行解，停止计算，这时原整数规划也没有可行解。 (2)定界过程。对于极大化的整数规划问题，当前所有未分枝子问题中最大的目标函数 值为整数规划问题上界；在满足整数约束的子问题的解中，最大的目标函数值为整数规划问 题的下界。当上下界相同时，则已得最优解；否则，转入剪枝过程。 (3)剪枝过程。在下述情况下剪除这些分枝：若某一子问题相应的线性规划问题无可行解；在分枝过程中，求解某一线性规划所得到的目标函数值 Z 不优于现有下界。(4)分枝过程。当有多个待求分枝时，应先选取目标函数值最优的分枝继续进行分枝。 选取一个不符合整数条件的变量 xi 作为分枝变量，若 xi 的值是 bi* ，构造两个新的约束条件：xibi 或 xibi +1,分别并入相应的数学模型中，构成两个子问题。对任一个子问题， 转步骤(1)。最整数解为： x1=4, x2=2, z = 340 4. 解：设 ,tij 为个人对于个任务的时间耗费矩阵，则目标函数为： 约束条件为： * *解之得： x = 1 ， x = 1 ， x = 1， x = 1 ，其余均为 0，z=70，即任务 A 由12 21 33 44乙完成，任务 B 由甲完成，任务 C 由丙完成，任务 D 由丁完成。5. 解：设在第 i 天应聘的雇员人数为 xi。数学模型为： 解得：x1=0，x2=4 ，x3=32 ， x4=10， x5=34，x6=10，x7 =4， Z=94。 第五章 1. 解：建立目标约束。（1）装配线正常生产 设生产 A, B,C 型号的电脑为 x1, x2 , x3（台） ， d+1 为装配线正常生产时间未利用数，d1 为装配线加班时间，希望装配线正常生产，避免开工不足，因此装配线目标约束为 （2）销售目标优先满足老客户的需求，并根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子，A, B,C 三种型号的电脑每小时的利润是 ， ， ，因此，老客户的销售目标约束为再考虑一般销售。类似上面的讨论，得到（3）加班限制 首先是限制装配线加班时间，不允许超过 200h，因此得到 其次装配线的加班时间尽可能少，即 写出目标规划的数学模型 经过 Lingo 计算得到 x1 = 100，x2= 55，x3=80。装配线生产时间为 1900h，满足装配线加班不超过 200h 的要求。能够满足老客户的需求，但未能达到销售目标。销售总利润为 1001000+551440+802520=380800（元） 。 2. 解：假设三个工厂对应的生产量分别为 300，200，400。 （1）求解原运输问题 由于总生产量小于总需求量，虚设工厂 4，生产量为 100 个单位，到各个用户间的运费单价为 0。用 LINGO 软件求解，得到总运费是 2950 元，运输方案如下表所示。 （2）下面按照目标的重要性的等级列出目标规划的约束和目标函数。 设 xij 工厂 i(i =1,2,3)调配给用户 j( j = 1,2,3,4)的运量， cij 表示从工厂 i 到用户 j 的单位产品的运输费用，aj( j = 1,2,3,4)表示第 j 个用户的需求量， bi(i =1,2,3)表示第 i个工厂的生产量。 i）供应约束应严格满足，即ii）供应用户 1 的产品中，工厂 3 的产品不少于 100 个单位，即iii）需求约束。各用户的满足率不低于 80，即 ; 应尽量满足各用户的需求，即 iv）新方案的总运费不超过原方案的 10（原运输方案的运费为 2950 元） ，即 v）工厂 2 到用户 4 的路线应尽量避免运输任务，即 vi）用户 1 和用户 3 的满足率应尽量保持平衡，即 vii）力求总运费最少，即 目标函数为 经 8 次运算，得到最终的计算结果，见下表。总运费为 3360 元，高于原运费 410 元，超过原方案 10的上限 115 元。 3.设分别生产 A 机器 x1 台，B 机器 x2 台。目标函数为：Lingo 计算结果为：生产 A 机器 15 台，B 机器 21 台，利润增加 4129 元，工序加班 22.5 小时。第六章 1. 原有问题的求解就化为逐个求解几个简单的阶段子问题，当每一个阶段的决策子问题确定后，就组成了一个决策序列，每个阶段的决策一旦确定，整个决策过程也随之确定，此类把一个问题看作是一个前后关联具有明显阶段性的决策过程就称为多阶段决策问题。 2. 动态规划最优性原理导出了它的解题思路，即将决策问题划分为若干个阶段，将全过程的优化问题分解为子过程的优化问题；逆着阶段顺序的方向，由后向前逐步倒推；各阶段求解都是在后部子过程最优策略基础上，再考虑本阶段的指标函数，求出本阶段的最优策略；由后向前推算直到第一阶段为止，最优化的子过程逐渐成为最优化的全过程。 3.（1）模型建立 将三个营业区看作是三个阶段，即阶段变量 k =1,2,3； 第 k 阶段初尚未被分配出去的销售点是其决策的起点，则状态变量 Sk 表示第 k 阶段初可分配的销售区数， Sk 0 ，且初始状态已知 S1= 6 ；决策变量 xk 表示第 k 阶段分配给区 A ，B，C 的销售店，允许决策集合状态转移方程为 Sk+1 =Sk-k 阶段指标 Vk( Sk,xk)表示第 k 阶段从 Sk 销售点中分配给第 k 区 xk 个的阶段效益； 最优指数函数 fk(Sk)表示第 k 阶段从 Sk 开始到最后阶段采用最优分配策略取得的最大收益，递推方程函数式 （2）逆序求解 当 k =3 时当 k=2 时当 k =1 时 顺序递推，得出结论：第 A 小组建 3 个,第 B 区建 2 个，第 C 区建 1 个， 4.（1）模型建立 多阶段性的月度生产决策，可以按月划分阶段，即阶段变量 k = 1, 2,3, 4 分别表示这四个 月。上期未需求的产品将会进入仓库存放，供下期需求消费；下期生产与否，视期初库存数 量和当期需求量而定，第 k 月的期初库存反映出其状态特征。因此，状态变量 Sk 表示第 k 月 期初的产品库存量，0 Sk4。 决策变量 xk 表示第 k 月的实际生产量，允许决策集合 Xk(Sk) 0 xk 4 。第 k 月的订货量记为 dk，而供给量为 Sk+ xk，则状态转移方程为 Sk+1=S k+ xk-dk。 阶段指标 vk(Sk ,xk)k 表示第 k 月的费用。本月若不安排生产，则仅需支出存货费；若安排 生产，则需支出生产成本和固定运营费，同时还需存货费。为了将存储问题简化，忽略本月 生产和需求产品的短期存货费。因此当 xk=0 时，vk(Sk ,xk)= H Sk= 1500Sk；当 xk0 时，最优指数函数 fkS k( )表示第 k 阶段从期初库存 S k 开始到最后阶段采用最优生产策略实现的最低生产费用。 （2）逆序求解 k =4 时，因为 4 月末交货后的计划存货 0 件，则 S5=0；第 4 月的订单需求 d4=1 万件，则由状态转移方程 S= S4+ x4-d4 知， S 4+ x4= 1 。5k=3 时，第 3 月的订单需求 d3=5 万件，则满足需求有 S3+ x3 5 ；而仓库的最大存货能力为 4 万件，则由状态转移方程 S4= S3+ -x3d3 有 S3+ x3 6 。k=2 时，第 2 月的订单需求 d2=3 万件，则满足需求有 S2+ x2 3 ；而仓库的最大存货能力为 4 万件，则由状态转移方程 S3= S2+ x2-d2 有 S2+ x2 7 。k=1 时，企业现有存货 0 件，即 S1= 0 ，第 1 月的订单需求 d1=2 万件，而仓库的最大存货能力为 4 万件，则有 x 6 。1顺序递推，得出结论：第 1 月生产 5 万件；由状态转移方程 S2= S1+x1-d 1 知，S2= 3 ，则第 2 月生产 0 件；再由状态转移方程 S3= S2+ x2d2知， S3= 0 ，则第 3 月生产 6 万件；再由状态转移方程 S4= S3+x3-d3，则第 4 月生产 0 件。 5.每年为一个阶段，即阶段变量 k = 1, 2,3, 4,5 ；知， S4= 1状态变量 Sk 表示第 k 年初所拥有的完好机器台数，已知 S1=200；决策变量 xk 表示第 k 年投入超负荷生产的设备数，则剩余设备 Sk xk 投入低负荷的生产作业，允许决策集合 0 xk Sk； 状态转移方程为 S = (1-)x +(1-)(S -x ) =0.85S -0.3x ；k+1 k k k k k阶段指标 vk(sk,xk)表示第 k 年的收益，即 vk(sk,xk)=12xk+ 8(Sk-xk)=8Sk+4xk； 最优指数函数 fk(Sk)表示第 k 年从 Sk 开始到 5 年末采用最优分配策略实现的最收益；基本递推方程 边界条件：f6(s6)=0 k=5， 由于 f (s ) 是关于 x 的单增函数，故 x * =s 时，f (s )最大，f5(s5)=12s5 5 5 5 5 5 5 5k=4，由于 f4(s4) 是关于 x4k=3， 的单增函数，故 x 4=S4 时， f4(s4) 最大， f4(s4)=17.5S4，由于 f3(s3) 是关于 x3k=2， 的单减函数，故 x3 =0 时， f 3(s3)最大，f3(s3)=22.875s 3。 由于 f2(s2) 是关于 x2 的单减函数，故 x 2=0 时， f 2(s2)最大， f s2( )2=27.44375 s1。 *最优作业安排策略是前三年将低负荷，后两年全部重负荷。 s1=200，而 x1* *=0，则 S2=0.85S1-0.3x 1=170 台；同*理，由 x2 =0，则 S3=0.85S2-0.3x 2=144 台；由 x*3 =0，则 S4=0.85S3-0.3x 3=122 台；由 x4 =S4=122 台，则S5=0.85S4-0.3x4=67 台；由 x5 =S5=36 台。*第七章 1. 求得的最小树如下图：2. （1）给网络始点 v s 标号(vs,0) ，并在标号下面画横线表示为永久标号；并给从 vs 出发的各弧的点 vj 赋予临时标号(ws,v sj )，不能一步到达的点赋予临时标号 (v s, ) 。 （2）在所有临时标号中选择路权最小者，即结点 v1，将 v1 的临时标号变为永久标号，在 标 号 下 画 横 线 。 然后 ， 考 察 从 v 1 出 发 的 各 弧 的 点 vj 的 临 时 标 号 ： 结 点 v 5 的 路 权 d5= min,d1+w 15 = min,4+5=9，则将 v5 的临时标号变为 (v1,9) ，并划去其原有较大的临时标号 (vs, )；同理，对于结点 v4，临时标号变为 (v1,8) ；对于结点 v2，临时标号变为(v1,11) ；其他结点标号不变。（3）依此类推，重复上述标号过程。当所有标号都是永久标号，即每一个标号下都画上横线时，则标号过程结束。 vt的后一个标号为 vs 到 vt 的最短路权，即 14；根据 vt 的另一个标号反向追踪求得 vs 到 vt 的最短路径为vs,v3,v2,v6, vt 3.（1）网络的中心从表中可得出：各列之和的最小值为 22，对应的点 D 即是网络的中心；也可以根据各行选择最大值，再从中选择最小值为 5，同样对应的点 D 是网络的中心。因此，仓库应建在位于网络中心的销售点 D 。 （2）网络的重心 各列加权之和的最小值为 9000，对应的点 D 是网络的重心位置。因此，仓库应建在位于网络重心的销售点 D。 （3）企业在自建仓库时，一般采用中心法，因为企业自营的仓库不能搬动；而企业选择租赁仓库时，一般采用重心法，因为租赁的仓库由于合同期限等原因可以变动位置。另外，如果企业生产的产品多为创新型产品，这类产品的边际贡献率高，产品更新速度快，顾客群变动较大，销售区域也有可能发生变化，则选择租赁仓库时宜使用重心法。 4.先根据图写出结点之间的弧权矩阵，如下表所示。 取上表的 v 行数据即为 d1 = w ；第一次迭代是 d 列的元素与下表中第 1-6 列对应元素 相加取最小，得到 d 21 1j 1j 1j 1j列；其余函数迭代过程以此类推。由于 d 1j = d 1j，则迭代结束，此时 d 1j 列的各元素，即为 v13到其余各点的最短路权。再根据 d21j 列各元素的来源，可以追踪最短路径。例如，追踪 v 到 v 的最短路径，对于 d =6， d +w =4+2=6 计算而得，则 v 的前一个点21 6116 14 46 61是v ；再根据 d =4 进行追踪， 这是由 d +w =1+3=4 计算而得，则 v 的前一个点是 v ；再看 d =1,这是4 14 24 24 4 2 12由 w =1 而得的，所以最短路径为 v v v v 。 12 1 2 4 65.（1）将问题转换成最短路问题，如 13 4 3 3（2）给网络始点 v1,v1j)。 1 标号(v1,0) ，并在标号下面画横线表示为永久标号；并给从 v1 出发的各弧的点 vj 赋予临时标号(v在所有临时标号中选择路权最小者，即结点 v2，将 v2 的临时标号变为永久标号，在标号下画横线。然后，考察从 v 2 出发的各弧的点 v 的 临 时 标 号 ： 结 点 v的路权 d = min22,d +w = min22,16 +17 = 22 ，则 vj 3 3 1 15 3临时标号不变；同理，对于结点 v4、v5 临时标号均不变。 依此类推，重复上述标号过程。当所有标号都是永久标号，即每一个标号下都画上横线时，则标号过程结束。v5个标号为 v1 到 v5 的最短路权，即 41；根据 v5 的另一个标号反向追踪求得 v1 到 v5 的最短路径为v1,v5 。 的后一费用最小的方案为：第一年购置设备，此后四年不再更新。