第二章控制系统的数学基础和数学模型

第二章 控制系统的数学基础和数学模型 基本要求 1.掌握拉氏变换、拉氏反变换的定义、定理。2.了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电网络系统的微分方程。 3.掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零、极点。4.掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。5.掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。掌握干扰作用下，系统传递函数的求法和特点。6.了解传递函数框图的组成及意义；能够根据系统的微分方程，绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。7.了解相似原理的概念。 本章重点1.拉氏变换定理。2.列写系统的微分方程。3.传递函数的概念、特点及求法。4.典型环节的传递函数。5.系统的方框图及其化简。 本章难点1.列写系统微分方程。2.系统的方框图及其化简。2.1 拉普拉斯 (Laplace)变换2.1.1 拉氏变换概述1.拉氏变换的定义f(t)：原函数（实域、时间域）F(s)：象函数（ s 域、复数域）s：复变量， s= +j: 拉氏算子js02.基本函数的 拉氏变换序号 原函数 象函数 1 单 位脉冲函数 12 单 位 阶跃 函数3 K 常数4 t 单 位斜坡函数5678te-at0t0tkkt02.1.2 拉 氏 变换的主要性质1.线性性质设 Lf1(t)=F1(s)， Lf2(t)=F2(s)， k1， k2为常数 ，则2.微分性质若 Lf(t)=F(s)，且 f(0)=0，（初始条件为零）则7.终值定理若 Lf(t)=F(s)，则有8.初值定理 若 Lf(t)=F(s)，则6.相似定理若 Lf(t)=F(s)，对任意常数 a则 有2.1.3 拉氏反变换定义 :f(t)=L-1F(s),将象函数变换成原函数 s：复变量F(s)：象函数（ s 域、复数域）f(t)：原函数（实域、时间域）2.2 系统的数学模型数学模型就是描述系统的输出、输入与系统本身结构与参数之间的数学表达式。工程上常用的数学模型有： 微分方程 传递函数 状态方程建立数学模型的方法有： 理论分析（解析法） 试验的方法获取2.2.1 线性系统与非线性系统1. 线性系统(1)定义：系统微分方程的规范化形式如下：或若系数 ai,bi是 常数，则方程是线性定常的，相应的系统也称为 线性定常系统 ，若 系数是时间的函数，则该方程为线性时变的，相应的系统也称为 线性时变 系统。（ 2）线性系统性质线性系统的一个最重要的特性就是满足叠加原理。2. 非线性系统工程上常见的非线性特性如下：工程上常见的非线性特性如下： 饱和非线性饱和非线性 死区非线性死区非线性 间隙非线性间隙非线性 摩擦非线性摩擦非线性3. 非线性系统的线性化 具有本质非线性特性的系统：忽略非线性因素或具有本质非线性特性的系统：忽略非线性因素或用非线性理论去处理。用非线性理论去处理。 非本质非线性特性的系统非本质非线性特性的系统 : 切线法，或称微小偏切线法，或称微小偏差法处理。差法处理。2.2.2 机械 /电气系统微分方程 1机械系统任何机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。都可以使用 质量 、 弹性 和 阻尼 三个要素来描述。 1）机械平移系统f外力； x位移； m质量； c粘性阻力系数； k弹簧刚度2）机械旋转系统T扭转力； 转角； J转动惯量； BJ回转粘性阻力系数； kJ扭转弹簧刚度例例 1 写出下图机械系统的微分方程写出下图机械系统的微分方程解：解：惯性力惯性力 +阻尼力阻尼力 +弹簧力弹簧力 =外力外力f(t)外力； y(t)位移； k弹簧刚度； c粘性阻力系数； m质量2电气系统电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫定律来建立电气系统的数学模型。基尔霍夫电流定律：基尔霍夫电流定律：基尔霍夫电压定律：基尔霍夫电压定律：欧姆定律：欧姆定律：电感定律：电感定律：电容定律：电容定律：例 2 写出下图电气系统的微分方程解：3. 列写系统微分方程的步骤：(1)分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，确定系统的输出 量与输入量；(2)从系统的输入端开始，依据物理学定律，依次列写组成系统各元件的动力学方程，其中要考虑相邻两元件间的负载效应；(3)将各方程式中的中间变量消去，求出描述输入量和输出量之间关系的微分方程，并将与输入有关的各项放在方程右边，与输出有关的各项放在方程左边，各阶导数项按降幂排列，即得系统微分方程的标准形式；(4)在列写元件的微分方程或求出系统的微分方程时，对非线性项应加以线性化。2.3 传递函数2.3.1 传递函数的定义线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件为零时，输出量 xo(t)的拉氏变换 Xo(s)与输入量 xi(t)的拉氏变换 Xi(s)之比叫做系统的传递函数 G(s)。表示为：2.3.2 传递函数的求法1.解析法(1)根据定义求取 设线性定常系统输入为 xi(t)，输出为 xo(t)， 描述系统的微分方程的一般形式为 :式中， n m ； an， bm均为系统结构参数所决定的定常数（ n，m=0、 1、 2、 3 ）。如果变量及其各阶导数初值为零（初始条件为零），取等式两边拉氏变换后得 :根据传递函数的定义，即得系统的传递函数根据传递函数的定义，即得系统的传递函数 G(s)为为 :（ 2）传递函数的零、极点系统的传递函数 G(s)是以复变数 s作为自变量的函数经因子分解后， G(s)可以写成如下一般形式：为常数当 (j=1， 2， ， m)时，均能使 ，故称为 G(s)的 零点 。当 (i 1， 2， ， n)时，均能使 G(s)的分母为 0， G(s)取极值， lim G(s)= (i=1， 2， ， n)， ，称 (i=1， 2， ， n)为G(s)的 极点 2.实验法例 试写出具有下述微分方程式的传递函数。 解：取拉氏变换并求商得2.3.3 传递函数的性质1.传递函数是通过输入和输出之间的关系来描述系统本身特性的，而系统本身特性与输入量无关；2.传递函数不表明所描述系统的物理结构，不同的物理系统，只要它们动态特性相同，就可用同一传递函数来描述。这样的系统称为相似系统 ；3.传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的；4.传递函数是复变量 s的有理分式。 传递函数多项式分子中 s的阶数 m 小于分母中 s的阶数 n, 即 m n。传递函数分母多项式中 s的最高幂数代表了系统的阶数，如 s的最高幂数为 n则该系统为 n阶系统。解：系统微分方程为：解：系统微分方程为：此方程经此方程经 Laplace变换后得传递函数为：变换后得传递函数为：K为齿轮传动比，也就是齿轮传动副的放大系数或增益。为齿轮传动比，也就是齿轮传动副的放大系数或增益。2.4 典型环节的传递函数1.比例环节微分方程： )()(o tKxtx i=传递函数 ： KsG =)( KX (s)i X (s)o 例例 1 图示为齿轮传动副，图示为齿轮传动副， xi 、 xo分别为输入、输出轴的转速，分别为输入、输出轴的转速， z1， z2为齿轮齿数。求系统传递函数。为齿轮齿数。求系统传递函数。齿轮传动 副2.惯性环节微分方程：传递函数：式中， T 为时间常数， K为惯性环节的增益。例例 2 图示为图示为 质量质量 阻尼阻尼 弹簧环节弹簧环节 ,求求 略去质量略去质量 m 影响时，影响时， 系统的传递系统的传递函数。函数。质量 阻尼 弹簧环节解：系统微分方程为：解：系统微分方程为：此方程经此方程经 Laplace变换后得传递函数为：变换后得传递函数为：T为惯性环节的时间常数。为惯性环节的时间常数。 3.微分环节微分方程：传递函数：式中式中 T为微分时间常数。为微分时间常数。4.积分环节微分方程：传递函数：式中式中 T为积分时间常数。为积分时间常数。5.振荡环节微分方程：传递函数：式中式中 为无阻尼固有频率；为无阻尼固有频率； 为阻尼比。为阻尼比。例例 3 图示为图示为 质量质量 阻尼阻尼 弹簧环节，弹簧环节， 求系统的传递函数。求系统的传递函数。质量质量 阻尼阻尼 弹簧环节弹簧环节解：其运动方程为：取拉氏变换得：其传递函数为