第2章测量误差理论与数据处理

第 2 章 测量误差理论与数据处理21 测量误差的基本概念211 有关误差的概念1 真值 A 0一个量在被观测时，该量本身所具有的真实大小称为真值。在不同的时间和空间，被测量的真值往往是不同的。在一定的时间和空间环境条件下，某被测量的真值是一个客观存在的确定数值。要想得到真值，必须利用理想的测量仪器或量具进行无误差的测量，由此可以推断，真值实际上是无法得到的。这是因为“理想”的测量仪器或量具即测量过程的参考比较标准（或叫计量标准）只是一个纯理论值，尽管随着科技水平的提高，可供实际使用的测量参考标准可以愈来愈接近理想的理论定义值，但误差总是存在的，而且在测量过程中还会受到各种主观和客观因素的影响，所以，做到无误差的测量是不可能的。2 实际值 A满足规定准确度要求，用来代替真值使用的量值称为实际值或叫约定真值。由于真值是无法绝对得到的，在误差计算中，常常用一定等级的计量标准作为实际值来代替真值。实际测量中，不可能都与国家计量标准相比对，所以国家通过一系列的各级实物计量标准构成量值传递网，把国家标准所体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪器或量具上去，在每一级的比较中，都以上一级计量标准所测量的值当作准确无误的值，一般要求高一等级测量器具的误差为本级测量器具误差的 1/31/10。在实际值中，把由国家设立的尽可能维持不变的各种实物标准作为指定值或叫约定真值，例如指定国家计量局保存的铂铱合金圆柱体质量原器的质量为 1kg，指定国家天文台保存的铯钟组所产生的特定条件下铯133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的 9192631770 个周期的持续时间为1s（秒）等。3 标称值测量器具上标定的数值称为标称值，如标准电阻上标出的 1，标准电池上标出来的电动势 1.0186V，标准砝码上标出的 1kg 等。标称值并不一定等于它的真值或实际值，由于制造和测量水平的局限及环境因素的影响，它们之间存在一定的误差，因此，在标出测量器具的标称值时，通常还要标出它的误差范围或准确度等级，例如某电阻的标称值为1k，误差 1%，即意味着该电阻的实际值在 990 到 1010 之间；某信号发生器频率刻度的工作误差1%1Hz ，如果在额定条件下该仪器频率刻度是 100Hz，这就是它的标称值，而实际值是 1001001%1Hz，即实际值在 98 到 102 之间。4 示值由测量器具指示的被测量的量值称为测量器具的示值，也称测量仪器的测量值或测得值。一般来说，测量仪器的示值和读数是有区别的，读数是仪器刻度盘上直接读到的数字，对于数字显示仪表，通常示值和读数是一致的，对于模拟指示仪器，示值需要根据读数值和所用的量程进行换算。例如以 100 分度表示量程为 50mA 的电流表，当指针在刻度盘上的 50 位值时，读数是 50，而示值应是 25mA。5 测量误差在实际测量中，由于测量器具的不准确，测量手段的不完善，测量环境的影响，对客观规律认识的局限性以及工作中的疏忽或错误等因素，都会导致测量结果与被测量真值不同。测量仪器与被测量真值之间的差别称为测量误差。测量误差的存在具有必然性和普遍性，人们只能根据需要和可能，将其限制在一定的范围内而不可能完全加以消除。不同的测量，对其测量误差的大小，也就是测量准确度的要求往往是不同的。人们进行测量的目的，通常是为了获得尽可能接近真值的测量结果，如果测量误差超过一定的限度，测量工作及由此产生的测量结果将失去意义。在科学研究及现代化生产中，错误的测量结果有时还会使研究工作误入歧途甚至带来灾难性的后果。我们研究误差理论的目的，就是要分析误差产生的原因及其发生规律，正确认识误差的性质，寻找减小或消除测量误差的方法，学会测量数据的处理方法，使测量结果更接近于真值，在测量中，指导我们合理地设计测量方案，正确地选用测量仪器和测量方法，确保产品和研究课题的质量。212 测量误差的表示方法1绝对误差(1)定义 由测量所得到的被测量值 x 与其真值 A 之差，称为绝对误差，即0x=x-A （2-1）0式中，x 为绝对误差。前面已提到，真值 A 一般无法得到，所以用实际值 A 代替 A ，因而绝对误差0 0更有实际意义的定义是x=xA （2-2）绝对误差表明了被测量的测量值与被测量的实际值之间的偏离程度和方向，对于绝对误差，应注意以下两点：第一，绝对误差是有单位的量，其单位与测得值和实际值相同；第二，绝对误差是有符号的量，其符号表示出了测量值与实际值的大小关系，若测量值大于实际值，则绝对误差为正值，反之为负值。在一般测量工作中，只要按规定的要求，达到误差可以忽略不计，就可以认为该值接近于真值，并用它来代替真值。除了实际值以外，还可以用已修正过的多次测量的算术平均值来代替真值使用。（2） 修正值 与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为修正值，用 C 表示C= x=Ax (2-3)测量仪器的修正值可以通过上一级标准的校准给出，修正值可以是数值表格、曲线或函数表达式等形式。在日常测量中，利用其仪器的修正值 C 和该已检仪器的示值 x，可以求得被测量的实际值A=x+C （2-4）例如用某电流表测电流，电流表的示值为 10mA，该表在检定时 10mA 刻度处的修正值是+0.04mA，则被测电流的实际值为 10.04mA。在自动测量仪器中，修正值还可以先编成程序贮存在仪器中，测量时仪器可以对测量结果自动进行修正。2相对误差绝对误差虽然可以说明测量结果偏离实际值的情况，但不能完全科学地说明测量的质量(测量结果的准确程度)。因为一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小有关，而且与这个量本身的大小有关。当绝对误差相同时，这个量本身的绝对值越大，测量准确程度相对越高；这个量本身的绝对值越小，测量准确程度相对越低。例如测量两个电压量，其中一个电压为 V =10V，其绝对误差V =0.1V；另一个电压为 V =1V，其绝对误差11 2V =0.1V。尽管两次测量的绝对误差皆为 0.1V，但是我们不能说两次测量的准确度是相同2的，显然，前者测量的准确度高于后者测量的准确度。因此，为了说明测量的准确程度，又提出了相对误差的概念。绝对误差与被测量的真值之比，称为相对误差(或称为相对真误差) ，用 表示= 100 (2-5)0xA相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小和符号，没有单位。（1） 实际相对误差由于真值是不能确切得到的，通常用实际值 A 代替真值 A 来表示相对误差，用 表0A示 = 100% (2-6)Ax式中， 为实际相对误差。A（2）示值相对误差在误差较小、要求不太严格的场合，用测量值 x 代替实际值 A 来表示相对误差, 用 表示x = 100 (2-7)x式中， 称为示值相对误差或测得值相对误差。x当x 很小时，xA，此时， 。测得值相对误差的概念在误差合成中具有重要xA意义。(3)分贝误差相对误差的对数表示在电子学及声学测量中，常用分贝来表示相对误差，称为分贝误差。分贝误差是用对数形式( 分贝数)表示的一种相对误差，单位为分贝（dB ） ，用 表示。下面以有源网络电dB压增益为例，引出分贝误差的表示形式。设双口网络(如故大器或衰减器 )的电压增益实际值为 A，电压增益的测量值为 A ，X其分贝值 G=20lgA。其误差为A= A -A，即 A =A+ A,则增益测得值的分贝值为XXG =20lg（A+ A）=20lg A 1+ x =20lgA+20lg1+ 设电压增益实际值 A 的分贝值为 G，则 G=20lgA，由此得到分贝误差为 = G G= 20lg1+ dBxA=20lg（1+ ） (2-8)A(2-8)式即为相对误差的对数表现形式，式中， 只与增益的相对误差有关，由于 是带dB A有正负符号的，因而 也是有符号的。若 ，则（ 2-8）式可写成dBxA =20lg（1+ ） （ 2-9）x式(2-9)即为分贝误差的一般定义式。若测量的是功率增益，分贝误差定义为 =10lg（1+ ） （2-10）dBx例 2-1 某电流表测出的电流值为 96A，标准表测出的电流值为 100A，求测量的相对误差和分贝误差。解： 测量的绝对误差为 x=96100= 4A测量的实际相对误差为 = = 100%= 4%Ax 104分贝误差为 =20lg1+（0.04）dB= 0.355dB从上面分贝误差的公式和例子可以看出，当相对误差为正值时，分贝误差也为正值；反之亦然。3满度相对误差(引用相对误差 )前面介绍的相对误差较好地反映了某次测量的准确程度，但是，在连续刻度的仪表中，用相对误差来表示整个量程内仪表的准确程度就感到不便。因为使用这种仪表时，在某一测量量程内，被测量有不同的数值，若用式（2-5）计算相对误差，随着被测量的不同，式中的分母相应变化，求得的相对误差也将随着改变。因此，为了计算和划分仪表的准确度等级，在用（2-5）式求相对误差时，用电表的量程作为分母，从而引出了满度相对误差(引用相对误差)的概念。实际中常用测量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差 x与该量程的满刻度值(该量程的上限值与下限值之差 )x 之比来表示，即m m = 100% （ 2-11）mx式中 为满度相对误差(或称引用相对误差) 。对于某一确定的仪器仪表，它的最大引m用相对误差是确定的。满度相对误差在实际测量中具有重要意义。(1)用满度相对误差来标定仪表的准确度等级。我国电工仪表就是按引用相对误差 之值进行分级的， 是仪表在工作条件下不应超过的最大引用相对误差，它反映了该mm仪表的综合误差大小。我国电工仪表共分七级：0 .1、0 .2、0. 5、1.0、l. 5、2 .5 及 5 .0，共七级。其中，准确度等级在 0.2 级以上的仪表属于精密仪表,使用时要求较高的工作环境及严格的操作步骤，一般作为标准仪表使用。如果仪表准确度等级为 s 级，则说明该仪表的最大满度相对误差不超过 s，即| |s 。 m例 2-2 某电流表的量程为 100mA，在量程内用待定表和标准表测量几个电流的读数为表 2-1表 2-1 例 2-2 的数据待定表 x(mA) 00.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0标准表 A(mA) 00.0 20.3 39.5 61.2 78.0 99.0绝对误差x(mA) 0.0 0.3 0.5 1.2 2.0 1.0从以上测量数据大致标定该仪表的准确度等级。解： 由x=x A 计算出各点 如表 2-1ix因为 x =80 78=2mA x =100mAmm由式（2-11）求得该表的最大满度相对误差为 = 100%= 100%=2%mx 102所以该表大致为 2.5 级表。当然，在实际中，标定一个仪表的准确度等级是要通过大量的测量数据并经过一定的计算和分析后才能完成。(2)用满度相对误差来检定仪表是否合格。例 2-3 检定一个 1.5 级 100mA 的电流表，发现在 50mA 处的误差最大，为 1.4mA，其它刻度处的误差均小于 1.4mA，问这块电流表是否合格？解： 由式（2-11）求得该表的最大满度相对误差为 = 100%mI= 100%=1.4%1.5%104.所以，这块表是合格的。实际中，要判断该电流表是否合格，应在整个量程内取足够多的点进行检定。（3） 指导我们在使用多量程仪表时，合理的选择仪表的量程。由式(2-11) 可知，满度相对误差实际上给出了仪表各量程内绝对误差的最大值x = x （2-12 ）m若某仪表的等级是 s 级，被测量的真值为 A ，那么测量的最大绝对误差0x x s% （2-13）m通常取 x =x s% (2-14)一般讲，测量仪器在同一量程不同示值处的绝对误差实际上未必处处相等，但对使用者来讲，在没有修正值可资利用的情况下，只能按最坏的情况来处理，即认为仪器在同一量程各处的绝对误差是个常数且等于x ，把这种处理叫做误差的整量化。m由式（2-13）可知，测量的最大相对误差 s% 0xA即 s% (2-15)max0通常取 = s% （ 2-16）ax0A由式（2-14）可知，当一个仪表的等级 s 确定后，测量中的最大绝对误差与所选仪表的上限 x 成正比，所以，在测量中，所选仪表的满刻度值不应比真实值 A 大太多。m 0同样，在式（2-16）中，因 A x ，可见当仪表等级 s 选定后, A 越接近 x 时，测0m m量中相对误差的最大值越小，测量越准确。因此，在用多量程仪表测量时，应合理地选择量程，一般情况下应尽量使被测量的数值在仪表满刻度的三分之二以上。在实际测量时，一般应先在大量程下，测得被测量的大致数值，然后选择合适的量程再进行测量，以尽可能减小相对误差。例 2-4 某 1.0 级电流表，满度值 x =100A，求测量值分别为mx =100A，x =80A，x =20A 时的绝对误差和示值相对误差。123解： 由式（2-14）得最大绝对误差为x =x s%=100（1.0%）=1Am前面说过，绝对误差是不随测量值改变而变化的。而测得值分别为 100A、80A、20A 时的示值相对误差是各不相同的，分别为 = 100%= 100%= 100%=1%1x 1xm 01 = 100%= 100%= 100%=1.25%1x2 2 8 = 100%= 100%= 100%=5%3x 3xm 01以上可见，在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。由此可知，在测量中，测量结果的准确度并不等于所用仪器的准确度。只有在示值与满度值相同时，二者才相等（仅考虑仪器误差而不考虑其它因素造成的误差） 。通常，测得值的准确度低于所用仪表的准确度。（4）在一定量的测量中，用满度相对误差指导我们合理选择仪表的准确度等级。例 2-5 欲测量一个 10V 左右的电压，现有两块电压表，其中一块量称为 100V，1.5级；另一块量程为 15V，2.5 级，问选用那一块表好些？解： 用 1. 5 级量程为 100V 电压表测量 10V 电压时，最大相对误差为 = s %= 1.5%=15%10Axm用 2. 5 级量程为 15V 电压表测量 10V 电压时，最大相对误差为 = s %= 2.5 =3.7520xm21通过计算得知，用 2. 5 级量程为 15V 电压表测量 10V 电压的准确度高于用 1. 5 级量程为 100V 电压表测量 10V 电压的准确度，且 2. 5 级量程为 15V 电压表经济实用，所以选择2. 5 级量程为 15V 电压表。上例说明，如果选择合适的量程，即使使用较低等级的仪表进行测量，也可以取得比较高等级仪表还高的准确度。因此，在选用仪表时，不要单纯追求仪表的级别，而应根据被测量的大小兼顾仪表的级别和测量上限，合理地选择仪表。22 测量误差的来源与分类221 测量误差的来源为了减小测量误差，提高测量结果的准确度，必须明确测量误差的主要来源，并采取相应的措施减小测量误差。测量误差的主要来源有以下五个方面：1仪器误差仪器误差是由于测量仪器及其附件的设计、制造、装配、检定等环节不完善，以及仪器使用过程中元器件老化、机械部件磨损、疲劳等因素而使仪器设备带有的误差。例如，仪器内部噪声引起的内部噪声误差；仪器相应的滞后现象造成的动态误差；仪器仪表的零点漂移、刻度的不准确和非线性，读数分辨率有限而造成的读数误差以及数字仪器的量化误差等都属仪器误差。为了减小仪器误差的影响，应根据测量任务，正确地选择测量方法和仪器，并在额定的工作条件下按使用要求进行操作使用等。2使用误差使用误差也称操作误差，是由于对测量设备操作使用不当而造成的。比如有些仪器设备要求测量前进行预热而未预热；有些测量设备要求实际测量前必须进行校准（例如普通万用表测量电阻时应进行校零，用示波器观测信号的幅度前应进行幅度校准等）而未校准等。减小使用误差的方法就是要严格按照测量仪器使用说明书中规定的方法步骤进行操作使用。3影响误差影响误差是指由于各种环境因素(温度、湿度，振动、电源电压、电磁场等) 与测量要求的条件不一致而引起的误差。影响误差常用影响量来表征。所谓影响量，是指除了被测的量以外，凡是对测量结果有影响的量，即测量系统输入信号中的非被测量值信息的参量。影响误差可以是来自系统外部环境( 如环境温度、湿度、电源电压等 )的外界影响，也可以是来自仪器系统内部 (如噪声、漂移等)的内部影响，通常影响误差是指来自外部环境困素的影响。当环境条件符合要求时，影响误差可不予考虑，但在精密测量中，须根据测量现场的温度、湿度、电源电压等影响数值求出各项影响误差，以便根据需要做进一步的处理。4理论误差和方法误差理论误差是指测量所依据的理论不严密，或者由于对测量计算公式的近似等，致使测量结果出现的误差称为理论误差。例如当用平均值检波器测量交流电压时，平均值检波器的输出正比于被测正弦电压的平均值 ，而交流电压表通常以有效值 U 来定度，两者理论U间关系为U= = K （2-17）2F式中 K = ，称为定度系数。由于 和 均为无理数，因此当用有效值定度时，F22只好取近似公式U 1.11 (2-18)从而就产生了误差，这种由于计算公式的简化或近似造成的误差就是一种理论误差。由于测量方法不合理(如用低输人阻抗的电压表去测量高阻抗电路上的电压) 而造成的误差称为方法误差。理论误差和方法误差通常以系统误差的形式表现出来，在掌握了具体原因及有关量值后通过理论分析与计算，或者改变测量方法，这类误差是可以消除或修正的。对于内部带有微处理器的智能仪表，做到这一点是很方便的。5人身误差人身误差是由于测量人员感官的分辨能力、反应速度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等原因，而在测量中使用操作不当、现象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。比如 指针式仪表刻度的读取，谐振法测量时谐振点的判断等，都容易产生误差。 减小或消除人身误差的措施有：提高测量人员操作技能、增强工作责任心、加强测量素质和能力的培养、采用自动测试技术等。222 测量误差的分类虽然产生误差的原因多种多样，但按误差的基本性质和特点，误差可分为三类，即系统误差、随机误差和粗大误差。1系统误差在同一测量条件下，多次重复对同一量进行测量时，测量误差的绝对值和符号保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化 的误差，称为系统误差，简称系差。前者 为恒值系差，后者为变值系差。例如零位 误差属于恒值系差，测量值随温度的变化 而增加或减少产生的误差属于变值系差。 变值系差又可分为累进性系差、周期性系 差和按复杂规律变化的系差。图 2-1 描 述了几种不同系差的变化规律：直线 a 表 示恒值系差；直线 b 属变值系差中的累进 性系差，这里表示递增情况，也有递减系 差；曲线 c 表示周期性系差；曲线 d 属于 图 2-1 系统误差的特征按复杂规律变化的系差。 在我国新制订的国家计量技术规范(JFl00l 1998通用计量术语及定义 ) 中，系统误差( )的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果x ，x ，x （n）的平均值 （数学期望）与被测量的真值 A 之差。即12 x0= - A (2-19)0其中 = = n (2-20) xnx211ni式(219)表明，在不考虑随机误差影响的情况下，测量值的数学期望偏离真值的大小就是系统误差，即系统误差表明了一个测量结果的平均值偏离真值或实际值的程度。系统误差越小，平均值越靠近真值，测量越正确。所以，系统误差常用来表征测量结果正确度的高低。 需要说明的是，由于上述技术规范定义中的测量是在重复性条件下进行的，即测量条件不改变，故这里的 是定值系统误差。此外重复测量实际上只能进行有限次，测量的真值也只能用实际值代替，所以实际中的系统误差也只是一个近似的估计值。系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成的，这些因素主要有：（1)测量仪器方面的因素：仪器机构设计原理的缺陷；仪器零件制造偏差和安装不当；元器件性能不稳定等。如把运算放大器当作理想运放，而被忽略的输人阻抗、输出阻抗引起的误差；刻度偏差及使用过程中的零点漂移等引起的误差。（2)环境方面的因素：测量时的实际环境条件 (温度、湿度、大气压、电磁场等 )相对于标准环境条件的偏差，测量过程中温度、湿度等按一定规律变化引起的误差。（3）测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。（4)测量人员方面的因素：由于测量人员的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一方向；动态测量时，记录快速变化信号有滞后的倾向。系统误差的主要特点是，只要测量条件不变，误差即为确切的数值，用多次测量取平均值的办法不能改变和消除系差，而当条件改变时，误差也随着遵循某种确定的规律而变化，具有可重复性，较易修正和消除。2随机误差在同一测量条件下(指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器等相同的条件下) ，多次重复对同一量值进行等精度测量时，每次测量误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然误差，简称随差。在我国新制定的国家计量技术规范(JGl00l1998通用计量术语及定义)中，参照并采了 1993 年几个国际权威组织提出的随机误差定义：随机误差( )是测量结果 x 与在重复i i条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值 （数学期望）之差。即x= x - (2-21)i式中， 按式（2-20）计算x随机误差是测量值与数学期望之差，它表明了测量结果的分散性，经常用来表征测量精密度的高低。随机误差愈小，精密度愈高。同样，在实际中，由于测量次数有限，不可能进行无限多次测量，因此，实际中的随机误差只是一个近似的估计值。随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成，这些因素主要包括以下几个方面：（1） 测量装置方面的因素 仪器元器件产生的噪声、零部件配合的不稳定、摩擦、接触不良等。（2） 环境方面的因素 温度的微小波动、湿度与气压的微量变化、光照强度变化、电源电压的无规则波动、电磁干扰、振动等。（3） 测量人员感觉器官的无规则变化而造成的读数不稳定等。随机误差的特点是：虽然某一次测量结果的大小和方向不可预知，但多次测量时，其总体服从统计学规律。在多次测量中，误差绝对值的波动有一定的界限，即具有有界性；当测量次数足够多时，正负误差出现的机会几乎相同，即具有对称性；同时随机误差的算术平均值趋于零，即具有抵偿性。由于随机误差的这些特点，可以通过对多次测量取平均值的办法来减小随机误差对测量结果的影响，或者用数理统计的办法对随机误差加以处理。3粗大误差在一定测量条件下，测量结果明显偏离实际值所形成的误差称为粗大误差，简称粗差，也称疏失误差。产生粗差的主要原因有：(1)测量操作疏忽和失误，如测错、读错、记错以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。(2)测量方法不当或错误，如用普通万用表电压挡直接测量高内阻电源的开路电压，用普通万用表交流电压挡测量高频交流信号的幅值等。(3)测量环境条件的突然变化， 如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。这类变化虽然也带有随机性，但由于它造成的示值明显偏离实际值，因此将其列人粗差范畴。含有粗差的测量值称为坏值或异常值，由于坏值不能反映被测量的真实性，所以在数据处理时，应予以剔除掉。4测量误差对测量结果的影响测量中若发现粗大误差，数据处理时应予以剔除，这样要考虑的误差就只有系统误差和随机误差两类。将式(2-19)和式(2-21) 等号两边分别相加 ,得+ = A + x = x A =x ， i=l，2 ， ，n (2-22 )i0ii0i式中，x 为各次测得值的绝对误差。式(2-22)表明，各次测得值的绝对误差等于系统误i差 和随机误差 的代数和。i由式(2-22) 可得 x = A + + (2-23) i0i或 A = x (2-24) 0ii式(2-23) 说明了测得值 x 为测量值的真值、系统误差和随机误差的代数和，可i用图 2-2 表示。其中 E(X)为多次测量的数学期望。图 2-2 测量误差对测量结果的影响从式（2-19） 、 （2-21）及（2-23）可以总结出以下几点结论：（1） 从系统误差 大小看： E(X)A 说明测量越正确，即系统误差反映了测量的正确度，或测量0的正确度是系统误差大小的反映。（2） 从随机误差 大小看：i x E(X) 说明测量越精密，即随机误差反映了测量的精密度，ii或测量的精密度是随机误差大小的反映。（3） 从系统误差 大小和随机误差 大小共同看：i00)(AxXExiiii 说明测量越准确（或越精确） ，即系统误差和随机误差共同反映了测量的准确度（或精确度），或准确度是系统误差和随机误差的综合反映。正确度、精密度与准确度的概念也可用图 2-3 所示的打靶结果来描述测量误差的影响。子弹着靶点有三种情况：在图（a）中，着靶点围绕靶心均匀分散，但分散程度大，这种情况对应于测量中的系统误差小，随机误差大，即正确度高，精密度低；在图(b)中，子弹着靶点很集中，但着靶点的中心位置偏离靶心较远，这种情况相当于测量中测量值虽然很集中但由于系统误差的影响偏离真值（或实际值）较远，说明了系统误差大，随机误差小，即正确度低，精密度高；在图(c) 中，着靶点既集中又距离靶心较近，这种情况对应于测量中的系统误差和随机误差都小，即准确度高。图 2-3 射击误差示意图值得注意的是，正确度、精密度与准确度都是定性概念，如要定量给出，则应用实验标准偏差和测量不准确度等概念。定量分析将在下面几节中进行。在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的，而且两者之间并不存在严格的界限。由于认识不足或受测试条件所限时，常把系统误差当作随机误差，并在数据上进行统计分析处理。随着人们对误差来源及其变化规律认识的提高，就有可能把以往因认识不到而归为随机误差的某项误差明确为系统误差进行分析和处理。此外，系统误差和随机误差之间在一定条件下是可以相互转化的，对某一具体误差，在一种场合下为系统误差，在另外一种场合下有可能为随机误差，反之亦然。掌握了误差转换的特点，在有些情况下就可以将系统误差转化为随机误差，用增加测量次数并进行数据处理的方法减小误差的影响；或者将随机误差转化为系统误差，用修正的方法减小其影响。2.3 测量误差的分析与处理测量误差分为随机误差、系统误差和粗大误差三类，由于每类误差的性质、特点各不相同，因此处理方法也不一样。下面分别讨论这三类误差的特性和判别方法，以及怎样减少或消除它们，并给出测量结果的处理步骤。2.3.1 随机误差的分析与处理随机误差是在相同条件下对同一量进行多次测量时，误差的绝对值和符号均发生变化，而且这种变化没有确定的规律也不能事先预知。随机误差使测量数据产生分散，即偏离它的数学期望。虽然对单次测量而言，随机误差的大小和符号都是不确定的，没有规律性，但是，在进行多次测量后，随机误差服从概率统计规律。我们的任务就是要研究随机误差使测量数据按什么规律分布，多次测量的平均值有什么性质，以及在实际测量中对于有限次的测量，我们如何根据测量数据的分布情况，估计出被测量的数学期望、方差以及被测量的真值出现在某一区间的概率等。总之，我们是用概率论和数理统计的方法来研究随机误差对测量数据的影响，并用数理统计的方法对测量数据进行统计处理，从而克服或减少随机误差的影响。1随机变量的数字特征由于随机误差的存在，测量值也是随机变量。在测量中，测量值的取值可能是连续的，也可能是离散的。从理论上讲，大多数测量值的可能取值范围是连续的，而实际上由于测量仪器的分辨力不可能无限小，因而得到的测量值往往是离散的。此外，一些测量值本身就是离散的。例如测量单位时间内脉冲的个数，其测量值本身就是离散的。实际中要根据离散型随机变量和连续型随机变量的特征来分析测量值的统计特性。在概率论中，不管是离散型随机变量还是连续型随机变量都可以用分布函数来描述它的统计规律。但实际中较难确定概率分布，且不少情况下也不需求出概率分布规律，只需知道某些数字特征就够了。数字特征是反映随机变量的某些特性的数值，常用的有数学期望和方差等。(1)数学期望 随机变量(或测量值 )的数学期望能反映其平均特性，其定义如下： 设离散型随机变量 X 的可能取值为 x ，x ，x ，相应的概率为12ip ，p ，p ，则 X 数学期望定义为( 条件是 绝对收敛)12i 1iipE(X)= (2-25) 1iix若 X 为连续型随机变量，其分布函数为 F(x)，概率密度函数为 p(x)，则数学期望定义为(条件是积分收敛)E(X)= (2-26) dxp)(数学期望反映了测量值的平均特性，在统计学中，数学期望与均值是同一个概念，无穷多次的重复条件下的重复测量单次结果的平均值即为数学期望值。(2)方差和标准偏差 方差是用来描述随机变量的可能值与其数学期望的分散程度，设随机变量 X 的数学期望为 E(X)，则 X 的方差定义为=D(X)=EXE(X) (2-27) 22对离散型的随机变量：=D(X)= p (2-28) 21iE()ix2i或 =D(X)= p (2-29) 21ii2当测量次数 n 时，用测量值出现的频率 代替概率 p ，则测量值的方差为ni=D(X)= (2-30) 21iE(X)ix2对连续型的随机变量：=D(X)= p(x)dx (2-31) 2()x2或 =D(X)= p(x)dx (2-32)22式中， 称为测量值的样本方差，简称方差， 取平方的目的是，不论 是正是负，2 其平方总是正的，这样取平方后再进行平均才不会使正负方向的误差相互抵消，且求和取平均后，使个别较大的误差在式中所占的比例也较大，使得方差对较大的随机误差反映较灵敏。由于实际测量中 都是带有单位的（mV， V 等）,因而方差是相应单位的平方，使用不甚方便，为了与随机误差的单位一致，引入了标准偏差的概念，标准偏差 定义为= (2-33) )(XD测量中常常用标准偏差 来描述随机变量 X 与其数学期望 E(X)的分散程度，即随机误差的大小，因为它与随机变量 X 具有相同量纲。 反映了测量的精密度， 小表示精密度高，测得值集中， 大表示精密度低，测得值分散。2随机误差的分布（1） 正态分布在很多情况下，测量中的随机误差正是由对测量值影响较微小的、相互独立的多种因素的综合影响造成的，也就是说，测量中的随机误差通常是多种因素造成的许多微小误差的总和。在概率论中，中心极限定理指出：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布，又叫做高斯分布。测量中随机误差的分布及在随机误差影响下测量数据的分布大多接近于服从正态分布。正态分布随机误差 的概率密度函数为p( )= exp (2-34) 212测量数据 X 的概率密度函数为p(x)= exp (2-35)2x根据(2-26) 和 (2-31) 可分别求出服从正态分布的随机误差的数学期望 E( )和方差D( )为E( )= = ）d =0 dp)(21exp(2D( )=E( 0) = = )d =)(1e(22同样可求出服从正态分布的测量数据的数学期望) E(X)和方差 D(X)E(X)= xp(x)dx= x exp dx = 212D(X)=Ex = (x ) p(x)dx2= (x ) exp dx=2122x2上面两式说明：测量数据 X 的概率密度函数中的参数 即为随即变量的期望值，为其标准偏差。随机误差和测量数据对应的概率密度分布曲线分别如图 24 中的(a)、(b)所示，可以看图 2-4 随机误差和测量数据的概率密度分布曲线(a) 随机误差 (b) 测量数据出，随机误差和测量数据的分布形状相同，因为它们的标准偏差相同(都为 )，只是横坐标相差 E(X)这一常数值。对于随机误差，其数学期望为零。由图可见，随机误差具有以下规律：对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相同。单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。有界性：绝对值很大的误差出现的概率接近于零，即随机误差的绝对值不会超过一定界限。抵偿性：当测量次数 n 时，全部误差的代数和趋于零。标准偏差 是表示测量数据和测量误差分布离散程度的特征值。 不同，分布曲 线形状不同，图 2-5 中表示了不同 ( 的三条曲线。由图可见， 值越123)小，则曲线形状越尖锐，说明测量数据越集中，随机误差越小； 越大，则曲线形状越平坦，说明测量数据越分散，随机误差越大。(2)测量误差的非正态分布测量中的随机误差除了大量满足正态分布外，还有一些不满足正态分布，统称为非正态分布。常见的非正态分布有均匀分布、三角分布、反正弦分布等。其中均匀分布的应用仅次于正态分布。表 2-2 列出了三种分布的概率密度函数、数学期望、标准偏差和适用条件。可以看出，这三种分布都服从对称性、有界性和低偿性。表 2-2 几种常见的非正态分布3有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值前面所讨论的被测量的数字特征都是在无穷多次测量的条件下求得的，但是在实际测量中只能进行有限次测量，就不能按式(2-25)式(2-33) 准确地求出被测量的数学期望和标准偏差。下面讨论如何根据有限次测量结果来估计被测量的数学期望和标准偏差。(1) 有限次测量的数学期望的估计值算术平均值若对一个被测量 x 进行 n 次等精度测量，其中取得 x 的次数为 n ，由概率论的贝努ii分布类型均匀分布 三角分布 反正弦分布概率密度函数10pxba,xb2axp0a210pxax概率密度曲线数学期望(若 a=-b，则为 0)2ab0 0标准偏差（若 a=-b，则为 ）33b6a2a适用条件及应用举例仪器中的刻度盘回差、调谐不准确及仪器最小分辨力引起的误差等；在测量数据处理中， “四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围 内，而不知a其分布时，一般可假定该误差在内均匀分布两个具有相同误差限的均匀分布的误差之和，其分布服从三角分布。如在各种利用比较法的测量中，作两次相同条件下的测量，若每次测量的误差是均匀分布，那么两次测量的最后结果服从三角分布若被测量 x 与一个量 成正弦关系，即 ，而 本sina身又是在 之间是均匀02:分布的，那么 x 服从反正弦分布。如圆形刻度盘偏心而致的刻度误差、具有随机相位的正弦信号有关的误差里定理可知：事件发生的频度 n n 依概率收敛于事件发生的概率 p ，即当测量次数 ni i时，可以用事件发生的频度代替事件发生的概率。这时，被测量 x 的数学期望为E(X)= = 当 n 时 （2-36 ）1iipxni1若不考虑测量值相同的情况，即当对一个被测量 x 进行 n 次等精度测量，而获得 n 个测量数据 x (i=1，2，n，x 可相同 )，取得 x 的次数都计为 l，代人式(236)，则可得被测i i i量 x 的数学期望为E(X)= = 当 n 时 （2-37 ）nix1ni1可见，被测量 x 的数学期望就是当测量次数 n 时，各次测量值的算术平均值。在实际等精度测量中，当测量次数 n 为有限次时，常用算术平均值 作为被测量数学x期望或被测量的估计值，用 (X)表示，即E(X)= = （2-38）xn1i可以证明，算术平均值是被测量数学期望的无偏估计值和一致估计值。用算术平均值作为测量结果是否可以减小随机误差的影响呢？我们可以通过计算算术平均值的标准偏差来回答这个问题。当测量次数 n 有限时，统计特征本质上是随机的，所以，所有算术平均值 本身也是x一个随机变量。根据正态分布随机变量之和的分布仍然是正态分布的理论， 也属于正态分布。因为是等精度测量，假定测量是独立的，那么一系列测量就具有相同的数学期望和方差，又根据概率论中“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之和”的定理可推导出 的方差为x（ ）= ( ）= （ ）22n1ix2nix1= （x ）+ (x )+ (x )2122n= n (x)= (x)或 （ ）= （2-39）x)(式(2-39) 说明， n 次测量值的算术平均值的方差是总体或单次测量值的方差的 ln，或者说算术平均值的标准偏差是总体或单次测量值的标准偏差的 1/ 倍。这是由于随机误n差的抵偿性，在计算 的求和过程中，正负误差相互抵消；测量次数越多，抵消程度越太，x平均值离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差的影响。(2) 用有限次测量数据估计测量值的标准偏差贝塞尔公式实际测量中通常以算术平均值代替真值，以测量值与算术平均值之差即剩余误差（简称残差） 来代替真误差 ，即v= - （2-40 ）ivx当 时， n对 求和，则得到iv11()0nniiixxn由式（2-40）又可得到 2222221()iiv xn1221iiii vEvnx根据 =0 及式（2-40）有iEv(2-41)22211nni iixvx式（2-41）称为贝塞尔公式，要注意的是在推导贝塞尔公式的过程中仍然是根据方差的定义得出的，严格说来仍是在 的条件下推导得出的。在 n 为有限值时，用贝塞尔公式计算的结果仍然是标准偏差的一个估计值，用符号 (x)或 s(x)表示，即niixx12或(2-42)21niisxx由于 ，贝塞尔公式还可表示为22211nniiiv(2-43)nixxs12)(可以证明， (x)是 (x)的无偏估计值。根据式（2-39） ，也可以把 作为平均标准偏差的估计值。下面列出前面所sxn定义的各种标准偏差的符号公式及所表示的不同意义，以便在使用时不致于混淆。总体测量值标准偏差 测量值离散程度表征21niixxE总体测量值标准偏差估计值 21niisx测量平均值标准偏差 平均值离散程度表征xn测量平均值标准偏差估计值 s4 .测量结果的置信度(1).置信概率与置信区间由于随即误差的影响，测量值均会偏离被测量真值。测量值分散程度用标准偏差表示。一个完整的测量结果，不仅要知道其量值的大小，还希望知道该测量结果的x可信赖的程度。下面从两方面来分析测量的可信度问题。1）虽然不能预先确定即将进行的某次测量的结果，但希望知道该测量结果落在数学期望附近某一确定区间内的可能性有多大。由于均方差表示测量值的分散程度，常用标准偏差 的若干倍来表示这个确定区间 a，a=c (x)，c 称为置信系数。也就是说，希望知x道测量结果落在 这个区间内的概率有多大？如图 2-6 所示，,Excx（2-44）Pxc图 2-6 置信区间2）在大多数实际测量中，我们真正关心的不是某次测量值出现的可能性，而是关心测量真值处在某测量值 x 附近某确定区间 内的概率，如图 2-7 所示，,xcx即想要知道概率：（2-45）PcE图 2-7 置信区间的意义在测量结果的可信问题中， 称为置信区间，P 称为相应的置信概率，置信区间和置信概率是紧密相连的，只有明确一方才能讨论另一方。置信区间刻画了测量结果的精确性，置信概率刻画了这个结果的可靠性。在实际计算中往往是根据给定的置信概率求出相应的置信区间或根据给定的置信区间求置信概率。从数学上来讲，概率 与概率xcExcx是相等的,所以在实际计算中，不必去区分这PExc两种情况。讨论置信问题必须要知道测量值的分布。下面分别讨论正态分布和 t 分布下的置信问题。(2) 正态分布下的置信问题正态分布下的测量值 X 的概率密度函数为21exp2Expx要求出 x 处在关于 E(x)为对称区间 内的概率，就是要求图 2-8 中阴影部分的面积。c图 2-8 置信概率的意义即对分布密度所代表的曲