第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 山东建筑大学

山东建筑大学第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形：124302531解 (下一步 r 23r1 r32r1 r43r1 )1 10506834(下一步 r2(4) r3(3) r4(5) ) (下一步 r13r2 r3r2 r4r2 ) 21 0012. 利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆： 3251解 01024102/3 , /1/197/67故逆矩阵为 2036(2) 12031解 001325941 2143201 64013 06 10231故逆矩阵为 123043. 设 求 X 使 AXB.41-A=3-B=3解 因为 12 4),( 412350 r所以 43501BAX4. 求作一个秩是 4 的方阵，使它的两个行向量 .01,01解 用已知向量容易构成一个有 4 个非零行的 5 阶下三角矩阵 此矩阵0的秩为 4 其第 2 行和第 3 行是已知向量5. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式. 43110解 (下一步 r1r2 ) (下一步 r23r1 r3r1 )2430 (下一步 r3r2 ) 矩阵的 56401 561秩 为是一个最高阶非零子式3 8150732解 (下一步 r1r2 r22r1 r37r1 )31 (下一步 r33r2 ) 矩阵的秩是 3 27321094 100594是一个最高阶非零子式786. 解下列齐次线性方程组： 05105363242xx解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 有A 于是 5103601432410x故方程组的解为 (k1 k2 为任意常数) 01432kx 03271614754432xx解 对系数矩阵 A 进行初等行变换 有A 于是 31276450172943241709x故方程组的解为 (k1 k2 为任意常数) 730921432kx7 写出一个以 为通解的齐次线性方程组 121c解 根据已知 可得 104321432cx与此等价地可以写成 或 或 1223142cx1342xx13420x这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组非齐次线性方程组.8 解下列非齐次线性方程组： 1224431xx解 对增广矩阵 B 进行初等行变换 有B 于是 002/即 (k1 k2为任意常数)12323410xxx2123400k 253241x解 对增广矩阵 B 进行初等行变换 有B 1007/59/61于是 1342346759xxx即 (k1 k2为任意常数 )12234 6775950xk9. 2321x当 取何值时有解？并求出它的解 解 21B)2(103要使方程组有解 必须(1 )(2)0 即 1 2 当 1 时 方程组解为 或 321x321即 (k 为任意常数) 0321当 2 时 421B021方程组解为 或 321x3x即 (k 为任意常数) 013210 设 213(- )x+=5 4 -问 为何值时 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解 解 B 要15422)4(1)0(0245使方程组有唯一解 必须 R(A)R(B)3 即必须(1 )(10)0所以当 1 且 10 时 方程组有唯一解.要使方程组无解 必须 R(A)R(B) 即必须(1)(10)0 且(1 )(4)0所以当 10 时 方程组无解.要使方程组有无穷多解 必须 R(A)R(B)3 即必须(1)(10)0 且