第一章随机事件及概率概率与统计

山东经济学院山东经济学院统计与数学学院统计与数学学院李秀红李秀红目目 录录Ch1随机事件及其概率随机事件及其概率 Ch2随机变量及其分布随机变量及其分布Ch3多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布Ch4随机变量的数字特征随机变量的数字特征Ch5极限定理极限定理Ch6数理统计的基本概念数理统计的基本概念Ch7参数估计参数估计Ch8假设检验假设检验Ch9回归分析回归分析课程介绍第一章 随机事件及其概率引 言确定性现象 ：在一定条件下一定会发生或一定不会发生 的现象随机现象 ：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象例 1 (1)太阳从东方升起(2)边长为 a的正方形的面积为 a2 (3)一袋中有 10个白球，今从中任取一球为白球（ 1)（ 2)（ 3）为确定性现象随机现象 ：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象例 2 (4)掷一枚硬币，正面向上(5)掷一枚骰子，向上的点数为 2 (6)一袋中有 5个白球 3个黑球，今从中任取一球为白球（ 4）（ 5）（ 6）为随机现象参考书：概率论与数理统计人大版 概率统计学习指导山经数学教研室 编学习基础方法： 1 排列组合2 微积分概率论与数理统计：研究和揭示 随机现象的 统计规律性 的一门数学学科1 随 机 事 件1.1 随机试验与样本空间试验 ：为了研究随机现象，对客观事物进行观察的过程1. 随机试验随机试验 ：具有以下特点的试验称为随机试验，用 E表示：（ 1）在相同的条件下可以重复进行；（可重复性）（ 2）每次试验的结果不止一个，并且在试验之前可以明确 试验所有可能的结果；（结果的非单一性）（ 3）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现那一 种结果。（随机性 ）注意 ：今后所说的试验 均指随机试验E1：抛一枚硬币，观察正面、 反面 出现的情况。 E2：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。E3：抛一颗骰子，观察出现的点数。 在下面给出的试验中，讨论试验的结果。E4：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。E5：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。E6：在区间 0,1上任取一点，记录它的坐标。2. 样本空间样本空间例 :掷硬币 1=正面，反面 掷骰子 3=1,2,3,4,5,6某灯泡的寿命： 5 = t ： t 0由以上例子可见 ,样本空间的结构随着试验的要求不同而有所不同，样本空间的元素是由试验的目的所确定的 .1. 2 随机事件随机事件记为 。样本点 . 随机事件 ：试验 E所对应的样本空间 的子集称为 E的 随机事件 ，称 事件 ，通常用大写字母 A,B,C等表示。试验 E的任何事件 A都可表示为其样本空间的 子集 。 样本空间 的仅包含 一个样本点 的单点集 称为 基本事件 ，也是一种随机事件。否则，称为 复合事件 (由两个或两个以上的基本事件构成的事件 )。事件发生 ：如果当且仅当样本点 1, 2, , k有一个出现时，事件 A就发生。用事件 A中的样本点的全体来表示事件 A， 即A=1， 2， . k必然事件 ：每次试验中一定发生的事件，用 表示；不可能事件 ：每次试验中一定不发生的事件，用 表示 .例：观察掷一枚均匀的骰子出现点数的试验中， “点数小于 7” 是必然事件， “点数不小于 7” 是不可能事件。事 件 样本点的集合 子集样本空间 全部样本点的集合 全集基本 事件 一个样本点的集合 单点集复合 事件 多个样本点的集合不可能 事件 不包含任何样本点的集合 空集必然 事件 全体样本点的集合（即样本空间 ） 全集事件与集合的对应例 5 已知一批产品共 100个 , 其中有 95个合格品和 5个次品。 检查产品质量时， 从这批产品中任一抽取 10个来检查， 则在抽取的产品中，“次品数不多于 5个 ”“次品数多于 5个 ”不可能事件 ：事件 A： “恰有一个次品 ”事件 B： “至少有一个次品 ”事件 C： “没有次品 ”随机事件必然事件 ：基本事件基本事件包含 5个基本事件包含 2个基本事件 :事件 D： “有 2个或 3个次品 ”1.3 事件间的关系及运算v 引言因为任一随机事件 都是样本空间的一个子集，所以事件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似。1、事件的包含与相等* 事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生 ，则称事件 B 包含 事件 A， 或 称事件 A 包含于 事件 B ，记为 ：A B 或 B A。 样本空间B A属于 A 的 必然属于 B 注：对 任一事件 A 有： A 例 1： 一袋子中有分别编号为 1、 2、 、 10 的十个球，现从中任取一球，设 A = 取到 5号球 ， B = 取到编号是奇数的球 ， C = 取到编号是 1, 3, 5, 7, 9 的球 ， D = 取到编号 3 的球 ， E = 取到编号是偶数的球 。则： 事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生。故事件B 包含事件 A， 即： B A。在例 1中， B =取到编号是奇数的球 ，C=取到编号是 1,3,5,7,9的球 。则： 事件与事件含有相同的样本点，故： = 。v 事件的相等当事件包含事件 且 事件也包含事件时 ，则称：事件与事件 相等 。记为 = 。、中含有相同的 注： 相等的两事件总是 同时发生 或 同时不发生样本空间 “两事件与中至少有一个发生 ” 这一事件称为事件与的 和 （并 ） 。 记为： 或 + 。 中的样本点是中的样本点与中的样本点的和在例 1中， B =取到编号是奇数的球 ，D=取到编号 3的球 。则： =取到编号为 1,2,3,5,7,9的球 注意： 样本点重复时只写一次！注：对 任合事件 A， B 有(1)A A+B ， B A+B (2)A+A=A， (3)A+= (4)A+=2、事件的和（并）事件和的推广样本空间A B“两事件与都发生 ” 这一事件称为事件与的 积（交）。记为： 或 。 中的样本点是与所共有的样本点 。在例 1中， A=取到 5号球 ，B =取到编号是奇数的球 AB则： =取到编号为 5 的球 注：对 任合事件 A， B 有(1)A B A ， (2)AA=A，（ 3） A = ,（ 4） A=A3、事件的积（交）事件交的推广“n 个事件 A1,A2, ,An 都发生 ” 这一事件称为事件A1,A2, ,An的 交。 记为： A1A2 An 或 Ai。i=1* 类似地，也可定义无限多个事件的的交 Ai。4.事件的差样本空间在例 1中 A=取到 5号球 B =取到编号是奇数的球 事件发生而事件不发生 ， 这一新事件称为事件与事件的差，记为： 。 即：是把中属于的元素去掉注意：一般 =特别地： （ 1） =时， =（ 2） =时，即 时， =（ 3） =时，即 时， =A则 取到编号是 1,3,7,9的球 B样本空间AB样本空间AB样本空间B A在例 1中 A=取到 5号球 ， B=取到编号是偶数的球 若两事件与不可能同时发生 ，即 AB= ， 则称事件与 互不 相容 （或 互斥 ）；否则称 与是相容。注： 基本事件 之间互不相容则： 事件与事件 B互不相容 。即 B 。样本空间A B5、事件的互不相容（互斥）若 n 个事件 A1， A2， ， An 中任两个都 不可能同时发生 ，即： AiAj=， (1ijn， ij )，则称 这 n 个事件 是 两两 互不 相容 的（或 互斥 的） 。它们的 和 记为： A1+A2+A n * 事件的互不相容的推广此概念还可以推广到 A1， A2， ， An， 的情形。样本空间A若两事件与是互不相容的， 且 它们的和是必然事件 ，即 （ 1） AB=（ 2） A B=（ 或 A+B=）则： 称事件与是 对立事件 ，称 事件 (事件 )是事件 (事件 )的 对立事件 (逆事件 )。 记为： =或 =A6、 对立事件（逆事件） 注 (1） 对立事件是相互的 :A是 A的逆， A也是 A的逆 在例 1中， A=取到编号是奇数的球 ，B =取到编号是偶数的球 则：事件 A与事件是对立事件 , 即 = A。 （ 2） 一般 A B = A-AB =AB样本空间A3 两事件互不相容只表明不能同时发生（即：至多只能发生其中之一），但 可以都不发生 ；而对立则表示 有且仅有 一个发生（即：肯定了 至少有一个发生 ）。* 对立事件与互不相容事件的联系与区别1 两事件对立，必定互不相容，反之不然。A2 互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件。 这是因为 ： 。样本空间A7、完备事件组（ P18 定义 4.2)在例 1中，设： Fi=取到 i 号球 ， (i=1,2, ,10)n若 n 个事件 A1， A2， ， An两两 互不相容， 且 Ai = i=1 （ 1） A1 A2 An = (2) AiAj=， (1ijn)，称这 n 个事件构成一个 完备事件组（或 的一个划分）则：每个事件 Fi是基本事件，且 Fi=，即：全体 Fi构成 完备事件组。注： 样本空间中全体基本事件构成 完备事件组 。所谓 “的一个划分 ”是 “完备事件组 ”的一个直观解释A1 A2样本空间 A3* 事件间的运算律（ 1） 交换律 = = （ 2）结合律 ( ) C= ( C) ( ) C= ( C)（ 3）分配律 ( ) C=( C) ( C) ( ) C=( C)( C)（ 4）对偶律例 1 设 A、 B、 C是试验 E的随机事件，试用事件的运算符号表示下列事件（ 1） A发生（ 2）只有 A发生（ 3） A、 B、 C中恰有一个发生（ 4） A、 B、 C同时发生（ 5） A、 B、 C 中至少有一个发生（ 6） A、 B