第九章回归模型的函数形式非线性回归模型的估计

第九章 回归模型的函数形式（可线性化的非线性模型的估计）典型的可线性化的非线性模型 1倒数模型 2多项式模型 3半对数模型： 4双（边）对数模型可线性化模型在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。1对数模型（或对数 -对数模型）模型形式：lnY=b0+b1lnX+u (对数 -对数模型）lnY=b0+b1lnX+u (对数 -对数模型）对数 -对数模型特点： b1表示当 X每变动 1个相对量时（而 X变动 1个相对量，用符号表达就是 X/X，用数据表达就是 1%）， Y将变动一个相对量，这个相对量用 Y/Y表示。然后，将 (Y/Y)除以 (X/X)，即将(Y/Y)除以 1%，就等于 b1。那么 (Y/Y)=b1*1%= b1%也就是说，当 X每变动 1%时， Y变动的百分比为 b1%。注： b1=(Y/Y)/(X/X)模型适用 对 象： 对观测值 取 对 数，将取 对 数后的 观测值 （ lnx， lny） 描成散点 图 ，如果近似 为 一条直 线 ， 则 适合于 对 数 线 性模型来描述 x与 y的 变 量关系。容易推广到模型中存在多个解 释变 量的情形。例如，柯布 道格拉斯生 产函数形式：例 3.4.1 根据表 3.4.1给出的 1980-2003年间总产出 (用国内生产总值 GDP度量，单位：亿元 )，劳动投入 L(用从业人员度量，单位为万人 )，以及资本投入 K(用全社会固定投资度量，单位：亿元 )。建立我国的柯布道格拉斯生产函数。表 3.4.1 1980-2003年中国 GDP、 劳动投入与资本投入数据年份 GDP L K1980 4517.8 42361 910.91981 4862.4 43725 961.01982 5294.7 45295 1230.41983 5934.5 46436 1430.11984 7171.0 48197 1832.91985 8964.4 49873 2543.21986 10202.2 51282 3120.6年份 GDP L K1987 11962.5 52783 3791.71988 14928.3 54334 4753.81989 16909.2 55329 4410.41990 18547.9 63909 4517.01991 21617.8 64799 5594.51992 26638.1 65554 8080.11993 34634.4 66373 13072.31994 46759.4 67199 17042.11995 58478.1 67947 20019.31996 67884.6 68850 22913.51997 74462.6 69600 24941.11998 78345.2 69957 28406.21999 82067.5 71394 29854.72000 89442.2 72085 32917.72001 95933.3 73025 37213.52002 102398.0 73740 43499.92003 117251.9 74432 55566.6柯布 -道格拉斯生产函数eviews估计过程数据输入： GDP、 L、 K生成新序列 lnGDP生成新序列 lnK生成新序列 lnLWorkfile中可见新生成的序列利用新生成的序列进行回归回归输出结果模型通过整体显著性检验（ R2以及 F值都很大），变量都通过显著性检验（ t值较大），唯有截距项未通过显著性检验，但为了探讨的需要，我们仍然保留截距项。回归结果的公式表达0.806863表示产出对劳动投入的弹性，即在资本投入保持不变的情况下，劳动投入每 增加一个百分点，产出（ GDP）将平均增加 0.806863个百分点，即0.81%0.729732表示产出对资本投入的弹性，即在劳动投入保持不变的情况下，资本投入每 增加一个百分点，产出（ GDP）将平均增加 0.729732个百分点，即0.73%.因为 LnA=-5.273266 ,所以 A=e-5.273266 =0.806863,=0.729732但如何将回归的模型转化为原始的模式呢？即转化为 GDP=ALK 的形式。2半对数模型在对经济变量的变动规律研究中，测定其增长率或衰减率是一个重要方面。在回归分析中，我们可以用半对数模型来测度这些增长率。模型形式：lnY=b0+b1X+u (对数 -线性模型） Y=b0+b1lnX+u (线性 -对数模型）lnY=b0+b1X+u (对数 -线性模型）对数 -线性模型特点： b1表示当 X每变动 1个绝对量单位时（而 X变动 1个单位，用符号表达就是 X）， Y将变动一个相对量，这个相对量用 Y/Y表示。然后，将 (Y/Y)除以 X，即将 (Y/Y)除以 1，就等于 b1。那么 (Y/Y)=b1*1=100 b1%也就是说，当 X每变动 1个单位绝对量时， Y变动的百分比为 100b1%。注： b1=(Y/Y)/XY=b0+b1lnX+u (线性 -对数模型）线性 -对数模型特点： b1表示当 X每变动 1%时（而 X变动 1%，用符号表达就是 X/X ）， Y将变动一个绝对量，这个绝对量用 Y表示。然后，将 Y除以(X/X)，即将 Y除以 1%，就等于 b1。那么 Y=b1* (X/X)=b1*0.01也就是说，当 X每变动 1%时， Y变动的绝对量为b1*0.01。注： b1=Y/(X/X)lnY=b0+b1X+u (对数 -线性模型）案例：要求出 1970-1999年美国人口增长率，也就是要求出当时间每递增 1年时，人口增长的百分比。美国人口（百万）（因 变 量） 时间 （自 变 量）美国人口（百万）（因 变 量） 时间 （自 变 量）205.052 1 238.466 16207.661 2 240.651 17209.896 3 242.804 18211.909 4 245.021 19213.854 5 247.342 20215.973 6 249.948 21218.035 7 252.639 22220.239 8 255.374 23222.585 9 258.083 24225.055 10 260.599 25227.726 11 263.044 26229.966 12 265.463 27232.188 13 268.008 28234.307 14 270.561 29236.348 15 273.131 30建立工作文件输入原始数据生成新序列 LnUSPOPWorkfile中可见新序列利用（ LnUSPOP c t）进行回归对数 -线性模型回归结果模型通过整体显著性检验（可决系数和 F值都很大），变量也通过显著性检验（ t值很大），截距系项也通过显著性检验。对数 -线性模型公式表达：0.009801表示自变量 T每变动一个绝对量单位，即向前推进一年，因变量 USPOP（美国人口）将增长100*0.009801%，即 0.9801%。Y=b0+b1lnX+u (线性 -对数模型）案例（要求出美国某时间段总消费支出与服务支出的关系，也即要求出当总消费支出增长 1%时，服务支出增加的绝对值）服 务 支出（ Y）（ 10亿 ）总 消 费 支出 X（ 10亿 ）服 务 支出（ Y）（ 10亿 ）总 消 费 支出 X（ 10亿 ）2445.3 4286.8 2648.5 4692.12455.9 4322.8 2668.4 4746.62480.0 4366.6 2688.1 4768.32494.4 4398.0 2701.7 4802.62510.9 4439.4 2722.1 4853.42531.4 4472