第一章函数、极限、连续

1第一章 函数 极限 连续1.1 数列极限的求法一 基本概念 数列极限、数列收敛、数列发散1. 数列极限： limnxa描述语言：当 充分大时，数列一般项 无限趋于（无限接近，充分接近）某个确定nx的常数 ，则称 就是数列 的极限an“ ”语言： ， ，当 时，有 N0Nnxa二 基本结论1. 收敛数列性质：唯一性；有界性；保号性；子序列的收敛性2. 单调有界原理：单调有界数列必有极限；或叙述为：单调增加有上界必有极限，单调减少有下界必有极限3. 夹逼法则：若 ， ，且 ，则 nnyxzNlimlinnyzalimnxa4. 数列极限运算法则：设 ， ，那么liAnB（1） ；lim()nxyB（2） ；（3） li(0)nxAy（4） m)nBn5. 两个重要极限： ； 10li()exx0sinlm1x这两个极限公式可以推广为：当 时， ，则()f； 01()li(efxx0sinl1()xf三 基本方法数列极限的未定式（不确定型）有八种形式：； ； ； ； ； ； ；无限个无穷小的和0101. 取大原则 （极限的形式是 ，分子和分母同除以 的最大次幂）n2例 1 求下列极限：（1） ； （2） ； 21limn 2341limnn2. 有理化法（当分子或分母含有根式时， 的最大次幂有抵消，一般要考虑分子有理n化或分母有理化，或分子、分母同时有理化，通过有理化，明确抵消后剩余部分）例 2 求下列极限： （1） ； （2） . 4341limnn 2lim(1)nn3. 夹逼法则 （当数列的一般项不是关于 代数式或为无限个无穷小的和）n例 3 求 120lidsinnx解 解此题的关键是将积分表示为关于 的代数式，显然没办法直接积分，只能通过n对被积函数的放缩，达到可积的目的，1110200dsinnnxxx所以120limdsinnx例 4 求 （说明将分子 变成 的结果）221lim( )n nm解 无限个无穷小的和是数列极限的未定式的一种常见的形式，解决此类问题常见方法有：夹逼法则；定积分；Stolz 定理本题应用夹逼法则：22222111nnn 由于，22limli1nn 于是 2221li( )n n4. 单调有界原理（数列一般项不是关于 的代数式，而是有规律的给出一般项；或是一般项的递推公式）解决此类问题的具体方法：1. 证明单调；2. 证明有界；3. 通过递推公式求极限3例 5 若数列 满足 ， ，证明数列极限存在，并求之na1a1()2nna证明 单调性：因为 ，所以1()nn或 210nnaa1na于是，数列 单调递减na有下界：显然有下界 根据单调有界原理：极限存在令 ，对递推公式两边取极限，有 ，解方程得 ，即limnax12axxa.limna例 6 证明数列 收敛，并求其极限2,2,证明 令 ， ， ，则 ，1x22nnx12nnx用数学归纳法可以证明：数列 单调增加，有上界。nx证明单调增加：显然 ，假设 ，则 ，即 ，211nx1nnx1nx所以数列 单调增加nx证明有上界： ，假设 ，显然 ，故对所有的 ，有11nx12nn。所以数列 有上界，根据单调有界原理，数列 收敛2nn x设 ，对 两端取极限，则有 ，解得limnxa12na2a注 关于数列的界，可用观察和归纳的方法得到，然后给予证明如果没有更简便的方法证明有界性，可以使用数学归纳法5. 验证法 （给出数列递推公式，而此数列并非是单调的）具体方法：假设极限存在，根据递推公式求出极限，并给予证明证明是必要的例 7 设 ， ，求 12x1nnxlimn解 令 ，对递推公式两边取极限 ，得 limna 12a2a下面证明 就是数列 的极限12nx4，11112()44nn nnnxaxaxxax所以 ，故 lim0li2注 1 验证是必须的！例如 ，求 事实上，该数列的极11,nxlimnx限并不存在，但是若令 ，则可以求出 所以说证明是必须的linxaa注 2 事实上，例 5 和例 6 也可以用验证法，请同学们给出证明。要说明的是：证明，只需证明 。证明 ，应用夹逼法则，即limnxalim0nli0nx（ ）11xarra 1r6. 公式法 （若极限的未定式是 型，最好利用极限公式）例 8 求1()lisinn解 因为1 11()1limilsi/lim()nnnnn e7. 转换法 （将数列极限转换成函数极限，具体的说：令 ，则 或令x则 ，这是求数列极限的一个重要方法1x0例 9 设 ，试求,abli2nnab解 极限为不定式 ，于是利用极限公式122/limli2nnabnnnabab而022lilimln/xnababab所以lnli2nabe注 一般的，如果极限形式是 的形式，套用极限公式1，()lim()0fxef其余的工作就是求指数部分的极限了 8. 定积分法5如果极限的形式表现为表现为无穷项的和或积的形式或 和 的形式 （积或 的形式可以利用恒等变换公式： 将积的形式化成和的形式）lnNe定积分法原理： .1011limi ()nnkkfffxd应用定积分方法的具体步骤：1. 将无穷项的和或积的形式表示成 的形式；2. 制作 （每项提取 ） ；1n1n3. 将 里面表示成关于 的函数式；k4. 将 换成 ，此时 里面的式子就是被积函数 于是极限就是 在knx()fx()fx上的定积分(0,1)例 10 计算 22211lim44nnn 解 1102 22011lili arcsin64(/)nnk k xdx注：此题不能应用夹逼法则例 11 lim()()n解 首先将积的形式变成和的形式 1ln()ln(1)ln1li()()imnne11l()l()ine1 110 0l()ln()dln(1)l()4limk xn xxee9. 相减法（Stolz 定理）如果极限表示为分式的形式，分子或分母表示为无穷项的和，需要考虑相减法这样可以使无穷项变成有限项Stolz 定理：如果满足 ， ， 存在，则有limny1ny1limnxy1lilinnnx6例 12 求 2231lim(1)nn解 223lin 23()4limn例 13 求极限 1lippn解 1lim2ppnn 11lili()()pnp10. 相除法如果极限的形式表示为 次方根的形式，则我们需要考虑相除法n基本原理：若 ，则1lina1limlinna例 14 求 解 lim!nli!li0n练习 1.11用取大原则求下列极限：（1） ；1(2)3limnn（2） ；3(41)li5n（3）23li8n2用有理化法求下列极限：（1） ；limnn（2） ；22()（3） .3li4n3用夹逼法则求下列极限：（1） ；2222111lim3nnn 7（2） ；2222111lim()()()nnn （3） 10linnxd4用 Stole 引理求下列极限：（1） ；223(1)limnn（2） ；2lin（3） ；31linn（4） 1lim()2n5用相除法求下列极限：（1） ； （2） lin lim!n6用转化法求下列极限：（1） ；1lim()ne（2） ；（令 ，当 时， ，linnx1x）1()lln7用定积分法求下列极限（1） ；21limnk（2） ；linn（3）设 在 连续， ，求 。()fx0,1()0fx121lim()()nnfff（4） 2limsnisin （5） !lin8用公式法求下列极限：8（1） ； （2） ；lim3nnabc 165lim7nn（3） ； （4） 212linn 22li1nn9. 设 ， ，试证数列 极限存在，并求此极限10x16nnx(,3) x（分别用单调有界原理和验证法解此题）1.2 函数极限的求法一 基本概念 函数极限；左极限、右极限（单侧极限） ；无穷小；无穷大；1. 函数极限： ；0lim()xfAli()xf描述语言：当 趋于 时， 无限趋近（接近）于某个常数 A“ ”语言： ， ，对任意的 ，有 00()xU()fx2. 左极限（右极限）： 或 （ 或 ）0li()xfA0()f0limx0f描述语言：当 从 左（右）侧趋于 时， 无限趋近于某个常数 xA“ ”语言： ， ，对任意的 （ ） ，0(,)0(,)x有()fxA3. 无穷小和无穷大：若 ，则称在 过程中， 是无穷小量；0limx0x()fx若 ，则称在 过程中， 是无穷大量；01li()xf()f注 1 极限的存在与否以及极限的大小和函数在该点的情况（是否有定义和函数值大小）无关；注 2 无穷小是一个变量，但 0 是无穷小于是若 是无穷小量， 未必是无()fx1()fx穷大量。二 基本结论1. 函数极限性质：唯一性；局部有界性；局部保号性2. 函数极限存在充要条件：左右极限都存在且相等（主要用于分段函数） 93. 夹逼法则：若 ，且 ，()()gxfhx00lim()li()xxghA则 0lim()xfA4. 数列极限运算法则：设 ， ，那么lim()fxAli()B（1） ；li()(fxgB（2） ；（3） （ ） ；()lifAgx0（4） ；()mBf（5） 是有界量； ，则 ；li()gxlim()0fxg（6）替换原理：设 ， ，则:()()()()lilililixxx 注 等价无穷小的替换必须是商或积的形式（7）罗比达法则：若 和 同时趋于 0 或无穷， 存在，则()fg()limfxg()()limlifxfx5. 两个重要极限：当 时， ，则0x0； 01()li(efxx0sin()l1xf三 基本思想函数极限有七种的未定式（不确定型）： ； ； ； ； ； ； 0对计算各种极限的常规方法： 1. 对于 和 型的极限，运用罗比达法则（或有理化）02. 对于 型的极限可以转化为 或 型；再运用罗比达法则 03. 对于 型可以通过通分、有理化、倒变换，化成 或 形式，运用罗比达法0则4. 对于 ，最好利用极限公式 , 即 ；然后求指数部分的极限；1e1()lim(efx5. 对于 ，利用恒等变形公式 ，0, nN， 0ln0:0ln0然后求指数部分的极限10求极限的基本原则：替换、先算、性质（1）充分运用等价无穷小替换（能替换则替换）常用的等价无穷小公式：当 时0x1. ；sin,tarcsin,atx:2. ；21o:3. （ ） ；lxxe4. ；ln()5. 1:关于公式几点要说明的是：（I）若 ，则上述公式的 可以换成 例如 ()0fxx()fxsin()fx:（II）等价替换部分和其余部分一定是积或商的形式：例如 是不能30tasinlmx将 和 分别替换为 ，因为 和 和其余部分不是积或商的形式tanxsixtanxsi（2）计算非零的极限（能先算则先算） 例如 22001cos1colimli()4xx（3）和、差、积和商的极限等于极限的和、差、积和商四 基本方法（1）有理化：含有根式时，考虑分子或分母有理化；（2）罗比达法则：当极限型是 或 时，运用罗比达法则后有更简单的极限形式，0考虑罗比达法则；（3）极限公式：两个重要公式和等价无穷小的替换公式；（4）夹逼法则：当极限型不是很明确时，考虑放缩，应用夹逼法则；（5）泰勒公式：当无法用罗比达法则（应用后比原来还复杂） ，也无法有理化，考虑泰勒公式展开例 1 计算下列极限（1） ； （2） ；0sinlmxa sinlmx（3） ； （4）ilix 201colix例 2 计算 3301lixx11解 （方法 1）分子和分母有理化2/31/31/32/33300(1)()()limlimx x xx （方法 2）化 1 法：（此方法避免有理化的麻烦)3300 03 31(1)1lili limx x x0032121limli3xx例 3 计算 201tansiliixx解 分子有理化，分母等价无穷小替换，得到20tasilim1inxx320 0titansili lims(a1si)x xx30co)lixx例 4 计算 20sinslm(1co)l(xx解 利用无穷小的等价替换和极限的性质.2 20 0113sins3sincos3l lm(1co)l(x xx例 5 计算 sinmx解 未定式 ，做恒等变换0sin0lxx00lnlimnisinl 1/0leexxx0limx例 6 计算 12cosli1ixxx解 未定式 型，利用两个重要极限公式，有1212cos0lim1einxxx21ln(esi)cos0limx22sinl(1si)co00ilexxeex例 7 计算 2liln(1)x解 未定式 型，想办法转化为 或 型作倒变换021limln()xx21limln()t t.20litt例 8 计算sin0elix解 化 1 法： 。sinsinsi00e(1)limlxx练习 1.2计算下列各式的极限：（1） ； （2） ；2lim(1)xx33012lim5xx（3） ； （4）0licotx；320snali(1)(i1)x x（5） ； （6） ；limxe 0(1)lnlimsixx（7） ； （8） ；0li(cot)xx tan2li()xx（9） ； （10） ；21li(sn)xx01lixxe（11） ；0limsicosxx（12） （ 表示 的最大整数部分，提示：夹逼法则） 02lix2131.3 函数的连续性一 基本概念：连续，左连续，右连续，连续点，间断点，间断点分类1. 连续：这点的极限等于这点的函数值，即 ， 连续点；00lim()xfx2. 左连续：这点的左极限等于这点的函数值，即 ， 左连续点；0()f03. 右连续：这点的右极限等于这点的函数值，即 ， 右连续点；0lixx4. 不连续点叫做间断点 00000lim()li()li(),lixxxxffff可 去 间 断 点 :第 一 类 间 断 点 跳 跃 间 断 点间 断 点 分 类 无 穷 间 断 点 :至 少 有 一 个 是 无 穷 大第 二 类 间 断 点 震 荡 间 断 点 不 存 在 ， 也 不 是 无 穷 大二 基本结论1 函数在一点连续的充要条件：左右极限都存在且相等，即 000lim()li()xxffx2 一切初等函数在定义区间内都是连续的定义区间：定义域内的区间3 连续函数性质：函数 和 在点 ，则它们的和、差、积、商（分母函数()fg0值不为零）和复合函数在点 都连续0x4 闭区间连续函数性质：有界性，最值性，介值性，零点定理三 基本方法讨论函数连续性以及求间断点的基本方法：讨论函数的连续性的一般要求是：（1）指出连续区间；（2）求出间断点，并指出类型（分类） 求间断点具体方法：1. 无定义点一定是间断点，是哪类间断点需要通过求极限或左右极限来确定2. 分段函数的分段点可能是间断点分段点是否为间断点，以及是哪类间断点，同样需要通过求极限或左右极限来确定例 1（教材 75 页 10 题）设，1e,0()ln)xf x求 的间断点，并说明间断点所属类型()fx14解 一个分段点 和一个无定义的点 由于0x1x；00()lim()lin()xff1ex11()li()lixxff所以 在 的左右极限都存在但不等，是跳跃间断点 是无穷间断点。()fx0 x例 2 讨论函数 21()limnnfx的连续性，若有间断点，判断其类型解 求函数 的解析式()fx1,10(),1,xfxx所以 分段点为 和 显然()fx1x， ；1lim()lixf11()lim()lixxff， 1()xf 于是 在区间 上连续，在 和 都是跳跃间断点f,(,),)例 3 求函数 的间断点，并指出类型32,0()sinl1)/(1),xfxx解 无定义点：当 时， ，由 得到0x3()sinxfsi0x,2当 时， 得到 ，解得 2l1)/(1)01x所以函数 在 是无定义点，当然是间断点()f,2,分段函数的分段点：0 是分段点当 时， ，即是无穷间断点；,3x 03lim()sinxxf15当 时， ，是可去间断点；1x3211limlisncosxx当 时， 不存在，震荡间断点；2()()in/(1)f x当 时，0， ，301()lisnxf 20()lim()sin/(1)sin()xf x所以是跳跃间断点练习 1.31. 讨论函数 的连续性21()limnnxfx2. 讨论函数 的连续性1e,0()sin,xf3. 讨论函数 的连续性1()exf4. 讨论函数 的连续性1()xf5. 求函数 的间断点，并指出间断点的类型()sinfx1.4 关于极限、连续的常见题型题型 1 变限积分函数的极限基本原理：设 在 上连续，则变上限积分的函数 在 可()fx,ab()()dxaft,b导，并且 推论：设 连续， 与 可导，则变限积分函数 可导，()fx()x()xFft且()()()(Ffxfx注 在求导时，变限积分函数的被积函数不能含有变量 ，如果含有变量 可以通过x下面几种变换方法：161. 提取： （两个函数的积） ；() ()ddx xFftgtft2. 拆项： ；() ()()()xxxft3. 换元： ()()ftfutu例 1 求下列变限积分函数的导数（ 为连续函数）（1） ； （2） ；2dxt 21d()xft（3） ； （4） 1()dtf 0ft例 2 求极限2cos0elimtx解 应用罗比达法则，2 21coscos00edine1lilmt xxx例 3 求极限22elimxt解 22 2200ede1lidlilixtx xt x注 变化的目的就是去掉积分号，变成初等函数，所以将 放到分母上2x题型 2 极限中未知常数的确定基本思想：建立等式（含有未知常数的方程或方程组）具体方法：1. 如果极限表示为分式的形式，即 ，则有若 ，则()limxfAg()0gx从而建立一个等式；如还需建立等式，可以将一个常数代入等式中，确定另lim()0xf外一个常数；或用罗比达法则，出现新的极限等式，即有 ，再利用这个思()lixf想方法2. 如果极限表示为积的形式，即 ，则若 ，则lim()xfgA()gx从