第9章随机数学模型

第第 9章章 随机数学模型随机数学模型我们在处理实际问题时，往往会遇到许多不确定的因素，引入随机变量描述这种不确定的行为，通常是对实际问题最恰当的描述。由此建立的数学模型称为随机数学模型。9.3零件的预防性更换 v运行中的零件会发生故障或损坏，如果等到损坏时才更换零件可能会带来较大的经济损失，比如产生废品等。v如果对尚属正常的零件做预防性更换，就可以避免一些废品、次品的损失。如果策略得当，有可能将损失降到最低程度。分析解决这个问题的关键在于正确估计零件寿命。由于零件在制造及运行过程中受到多种因素的影响，零件的寿命是一随机变量，可以通过试验分析及理论分析来确定零件的寿命分布及其他数字特征。一般来说，不同的零件寿命分布不一样，预防性更换的策略也不一样。模型假设v 零件寿命 X服从某种已知的分布，其分布函数为F(t)=P(X t),概率密度为 f(t) ，数学期望为 EX。v 确定一个正常的时间间隔 T，当 XT时，对零件进行故障更换，更换费用为 c1，当 X=T时，对仍然正常工作的零件进行预防性更换，更换费用为 c2c1。v记零件可靠度 R(t)=1-F(t)，失效率 r(t)=f(t)/R(t)。模型目标： 单位时间的损失费用 最小 v 称零件每更换一次为一个周期，则周期的平均长度为v一个周期内的期望损失为v单位时间的平均期望损失为v求平均期望损失的最小值v定理：当 r(T)是单调增函数，且 时， 存在唯一的有限的最小值点（正值 T*） ，且最小值为 。思考假设给定某个寿命分布密度函数 f(t),v 是否存在最优预防性更换策略？v 如果存在，如何求出最优策略？v 如果不存在，为什么？ 不同寿命分布的零件的最优的更换策略存在较大差异 1.指数分布不存在预防性更换策略 几种常见寿命分布情况最优预防性更换策略分析指数分布常可作为 “ 寿命 ” 分布的近似，如电子元件的寿命 .当 时，存在预防性更换策略 可靠性中常用的概率分布 伽玛分布：要比指数分布和正态分布更具有普遍性，适用于各种形式的分布。能用来表示早期失效、偶发失效和 耗损失效等不同的失效分布 当 时，存在预防性更换策略 3. Welbull 分布v 威布尔分布：在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。v 威布尔分布是根据最弱环节模型或串联模型得到的，能充分反映材料缺陷和应力集中源对材料疲劳寿命的影响，而且 具有递增的失效率 ，所以，将它作为材料或零件的寿命分布模型或给定寿命下的疲劳强度模型是合适的。 v 目前，二参数的威布尔分布主要用于滚动轴承的寿命试验以及高应力水平下的材料疲劳试验，三参数的威布尔分布用于低应力水平的材料及某些零件的寿命试验 .v 一般而言，它具有比对数正态分布更大的适用性。但是，威布尔分布参数的分析法估计较复杂，区间估计值过长，实践中常采用概率纸估计法，从而降低了参数的估计精度这是威布尔分布目前存在的主要缺点，也限制了它的应用。9.7分类问题1.距离判别法1.1欧氏 Euclidean distance距离判别法1.2马氏 (P. C. Mahalanobis)距离判别法1.3海明 Hamming距离判别法两个合法代码对应位上编码不同的位数称为海明距离。 合理的距离v如果用 dij表示第 i个样品和第 j个样品之间的距离，那么对于一切 i， j和 k， dij应该满足如下三个条件： v dij0，当且仅当 i=j时， dij=0 （ 非负性 ）v dij dji （ 对称性 ） v dijdik dkj（ 三角不等式 ） 显然，欧氏距离满足以上三个条件。欧氏距离的缺点v欧氏距离虽然简单，但也有明显的缺点。它将样本的不同属性（即各指标或各变量）之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。马氏距离优缺点v 1）马氏距离的 计算是建立在总体样本的基础上 的，这一点可以从上述协方差矩阵的解释中可以得出，也就是说，如果拿同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同； v 2）在计算马氏距离过程中， 要求总体样本数大于样本的维数 ，否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离计算即可。 v 3）还有一种情况，满足了条件总体样本数大于样本的维数，但是 协方差矩阵不可逆 ，比如三个样本点（ 3， 4），（ 5， 6）和（ 7， 8），这种情况是因为这三个样本在其所处的二维空间平面内共线。这种情况下，也采用欧式距离计算。 v 4）在实际应用中 “总体样本数大于样本的维数 ”这个条件是很容易满足的，而所有样本点出现 3）中所描述的情况是很少出现的，所以在绝大多数情况下，马氏距离是可以顺利计算的，但是 马氏距离的计算不稳定 ，不稳定的来源是协方差矩阵，这也是马氏距离与欧式距离的最大差异之处。 v 优点：不受量纲的影响 ，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关；由标准化数据和中心化数据 (即原始数据与均值之差）计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。缺点：夸大了变化微小的变量的作用。 2.Fisher判别法v Fisher判别的基本思想是将 k个总体的所有 p维空间的样本点投影到一维空间上，使投影后组与组之间尽可能的分开，然后利用方差分析的方法推出判别函数。为了简单起见，通常利用线性的判别函数u(x)=aTx.v 寻找一个最恰当的方向 a，使在这个方向上，组间方差与组内方差的商最大求解最优判别方向等价于求解带约束函数优化问题可以证明：v Fisher判别法v 根据各个样本均值在最优方向上的投影值从小到大将样本集重新编号，假设序号仍然为G1Gk。v 定出 Gj和 Gj+1的分界值 uj, j=1k-1，比如：v 确定样本类别：Bayes判别法v距离判别法虽然简单，便于使用。但是该方法也有它明显的不足之处。第一，判别方法与总体各自出现的概率的大小无关；第二，判别方法