矩形专题训练WORD版

.第 18 章 平行四边形 专项训练专训 1.矩形性质与判定的灵活运用名师点金：矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质它的性质可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)1如图，将矩形纸片 ABCD 的四个角向内折起，点 A，点 B 落在点 M 处，点 C，点D 落在点 N 处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，若 EH3 cm，EF4 cm，求AD 的长(第 1 题)利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系2如图，在ABC 中， A90 ，D 是 AC 上的一点，BD DC，P 是 BC 上的任意一点，PE BD，PFAC，E，F 为垂足试判断线段 PE，PF，AB 之间的数量关系，并说明理由(第 2 题)利用矩形的性质与判定证明角相等3如图，在ABCD 中，过点 D 作 DEAB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DFBE ，连接AF，BF.(1)求证：四边形 BFDE 是矩形；(2)若 CF3，BF4，DF5，求证：AF 平分DAB.(第 3 题)利用矩形的性质与判定求面积4如图，已知点 E 是ABCD 中 BC 边的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F.(1)连接 AC，BF ，若AEC2ABC ，求证：四边形 ABFC 为矩形；(2)在(1)的条件下，若AFD 是等边三角形，且边长为 4，求四边形 ABFC 的面积(第 4 题)专训 2.菱形性质与判定的灵活运用名师点金：菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行 ，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等利用菱形的性质与判定求菱形的高1如图，在 RtABC 中，ACB90 ，D 为 AB 的中点，且 AECD ，CE AB.(1)求证：四边形 ADCE 是菱形；(2)若B 60，BC 6，求菱形 ADCE 的高(计算结果保留根号)(第 1 题)利用菱形的性质与判定求菱形对角线长2如图，在矩形 AFCG 中，BD 垂直平分对角线 AC，交 CG 于 D，交 AF 于 B，交 AC.于 O.连接 AD，BC.(1)求证：四边形 ABCD 是菱形；(2)若 E 为 AB 的中点，DE AB，求BDC 的度数；(3)在(2)的条件下，若 AB1，求菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长(第 2 题)利用菱形的性质与判定解决周长问题3如图，在 RtABC 中，ACB90 ，D，E 分别为 AB，AC 边的中点，连接 DE，将ADE 绕点 E 旋转 180，得到CFE，连接 AF.(1)求证：四边形 ADCF 是菱形；(2)若 BC8，AC6，求四边形 ABCF 的周长(第 3 题)利用菱形的性质与判定解决面积问题4如图，在 RtABC 中，BAC90 ，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A作 AFBC 交 BE 的延长线于点 F.(1)求证：AEFDEB；(2)证明四边形 ADCF 是菱形；(3)若 AC4，AB5，求菱形 ADCF 的面积(第 4 题).专训 3.正方形性质与判定的灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可利用正方形的性质解决线段和差倍分问题1已知：在正方形 ABCD 中，MAN45 ，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB， DC(或它们的延长线 )于点 M，N.(1)如图，当 MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，易证： BMDNMN.当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，如图，请问图中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由(2)当MAN 绕点 A 旋转到如图的位置时，线段 BM，DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明(第 1 题)利用正方形的性质证明线段位置关系2如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别在 OD，OC 上，且 DE CF，连接 DF，AE ，AE 的延长线交 DF 于点 M.求证：AMDF.(第 2 题)正方形性质与判定的综合运用3如图，P， Q，R ，S 四个小球分别从正方形的四个顶点 A，B，C，D 同时出发，以同样的速度分别沿 AB，BC，CD ，DA 的方向滚动，其终点分别是 B，C，D，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形 PQRS 总是正方形(2)四边形 PQRS 在什么时候面积最大？.(3)四边形 PQRS 在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由(第 3 题)专训 4.特殊平行四边形性质与判定的灵活运用名师点金：特殊平行四边形的性质区别主要从边、角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件方面进行判定矩形的综合性问题a矩形性质的应用1如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B的位置，AB 与 CD交于点 E.(1)试找出一个与AED 全等的三角形，并加以证明；(2)若 AB8，DE 3，P 为线段 AC 上的任意一点，PGAE 于点 G，PHEC 于点H，试求 PG PH 的值 (第 1 题)b矩形判定的应用2如图，点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点，DE AC ，CE BD ，连接 OE.求证：(1)四边形 OCED 是矩形；(2)OEBC.(第 2 题).c矩形性质和判定的应用3如图，在ABC 中， ABAC ，点 P 是 BC 上任意一点( 不与 B，C 重合)，PEAB，PF AC，BDAC.垂足分别为 E，F， D.(1)求证：BDPEPF.(2)当点 P 在 BC 的延长线上时，其他条件不变如图，BD ，PE，PF 之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由(第 3 题)菱形的综合性问题a菱形性质的应用4已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 是 BC 上任意一点，连接 AF 交对角线 BD 于点E，连接 EC.(1)求证：AEEC.(2)当ABC60，CEF 60时，点 F 在线段 BC 上的什么位置？并说明理由(第 4 题)b菱形判定的应用5如图，在 RtABC 中，B90 ，BC5 ，C30.点 D 从点 C 出发沿 CA 方3向以每秒 2 个单位长的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点 D，E 运动的时间是 t s(t0)过点 D 作 DFBC 于点 F，连接 DE，EF.(1)求证：AEDF.(2)四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不能，请说明理由(3)当 t 为何值时， DEF 为直角三角形？请说明理由(第 5 题)c菱形性质和判定的应用6(1)如图 ，纸片ABCD 中，AD5，S ABCD15.过点 A 作 AEBC，垂足为 E，沿AE 剪下 ABE ，将它平移至DCE的位置，拼成四边形 AEED，则四边形 AEED 的形状为( )A平行四边形 B菱形C矩形 D正方形(2)如图，在 (1)中的四边形纸片 AEED 中，在 EE上取一点 F，使 EF4，剪下AEF，将它平移至DEF的位置，拼成四边形 AFFD.求证：四边形 AFFD 是菱形；求四边形 AFFD 的两条对角线的长(第 6 题)正方形的综合性问题a正方形性质的应用7如图，在正方形 ABCD 中，G 是 BC 上任意一点，连接 AG，DEAG 于E，BF DE 交 AG 于点 F，探究线段 AF，BF，EF 三者之间的数量关系，并说明理由(第 7 题).b正方形判定的应用8两个长为 2 cm，宽为 1 cm 的矩形摆放在直线 l 上(如图)，CE 2 cm，将矩形ABCD 绕着点 C 顺时针旋转 角，将矩形 EFGH 绕着点 E 逆时针旋转相同的角度(1)当旋转到顶点 D，H 重合时(如图) ，连接 AE，CG ，求证：AED GCD；(2)当 45时( 如图)，求证：四边形 MHND 为正方形(第 8 题)答案专训 11解：由折叠的性质知HEMAEH，BEFFEM，HEFHEMFEM 18090.同理可得12EHG HGFEFG90，四边形 EFGH 为矩形HGEF，HGEF.GHNEFM.又HNG FME 90，HNGFME.HN MF.又HN HD，HD MF. ADAHHDHMMFHF.HF 5(cm )，AD5 cm .EH2 EF2 32 42点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形 EFGH 为矩形，然后利用三角形全等来证明 HNMF，进而证明 HDMF ，从而将 AD 转化为直角三角形 EFH 的斜边 HF，进而得解，体现了转化思想.(第 2 题)2解：PE PFAB. 理由：过点 P 作 PGAB 于 G，交 BD 于 O，如图所示PGAB ， PFAC，A90，AAGPPFA 90.四边形 AGPF 是矩形AGPF，PG AC. CGPB.又BD DC， C DBP.GPBDBP. OB OP.PG AB ，PEBD，BGOPEO90.在BGO 和PEO 中， BGO PEO， GOB EOP，OB OP， )BGOPEO.BG PE.ABBG AGPE PF.3证明：(1)四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD.BEDF.又 BEDF ，四边形 BFDE 是平行四边形DE AB，DEB90.四边形 BFDE 是矩形(2)四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC ，ADBC.DFAFAB.由(1)易得BCF 为直角三角形，在 RtBCF 中，由勾股定理，得BC 5，CF2 BF2 32 42ADBCDF 5.DAFDFA.DAFFAB，即 AF 平分DAB.4(1)证明： 四边形 ABCD 为平行四边形，ABDC. ABEECF.又点 E 为 BC 的中点，BECE.在ABE 和FCE 中，. ABE FCE，BE CE， AEB FEC， )ABEFCE. AB CF.又 ABCF，四边形 ABFC 为平行四边形AEEF. AEC 为ABE 的外角，AECABC EAB. 又AEC2ABC ， ABCEAB.AE BE. AEEFBE EC，即 AFBC.四边形 ABFC 为矩形(2)解：四边形 ABFC 是矩形，ACDF.又 AFD 是等边三角形， CFCD 2.AC 2 .S 四DF2 42 22 3边形 ABFC2 24 .3 3专训 21(1)证明： AECD， CEAB，四边形 ADCE 是平行四边形，又ACB90 ，D 是 AB 的中点，CDBDAD，平行四边形 ADCE 是菱形(2)解：如图，过点 D 作 DFCE，垂足为点 F，则 DF 即为菱形 ADCE 的高，B 60，CDBD， BCD 是等边三角形， BCD60.CEAB ， BCE 180B120，DCE60 ，又CD BC 6，在 RtCDF 中，易求得 DF3 ，即菱形 ADCE 的高为 3 .3 3(第 1 题)2(1)证明： BD 垂直平分 AC，OAOC，AD CD，ABBC.四边形 AFCG 是矩形， CGAF.CDOABO，DCOBAO.CODAOB(AAS) CDAB. AB BC CDDA.四边形 ABCD 是菱形(2)解：E 为 AB 的中点，DEAB，.DE 垂直平分 AB.ADDB.又ADAB，ADB 为等边三角形，DBA60.CDAB ，BDC DBA60.(3)解：由菱形性质知， OAB BAD30.在 RtOAB 中，12AB1 ，OB ，OA .12 32BD1，AC .33(1)证明： 将ADE 绕点 E 旋转 180得到CFE ，AECE ，DEFE.四边形ADCF 是平行四边形 D，E 分别为 AB，AC 边的中点，DE 是ABC 的中位线DE BC.ACB90 ，AED90. DFAC. 四边形 ADCF 是菱形(2)解：在 RtABC 中，BC8，AC6，AB 10.点 D 是 AB 边的中点，AD5.四边形 ADCF 是菱形， AFFCAD5.四边形 ABCF 的周长为 8105528.4(1)证明： E 是 AD 中点， AE DE.AFBC，FAEBDE，又AEFDEB，AEFDEB(ASA)(2)证明：由(1)知，AEFDEB，则 AFDB，D 是 BC 的中点，DB DC， AF CD，又 AFBC，四边形 ADCF 是平行四边形，BAC 90，D 是 BC 的中点， AD DC BC，四边形 ADCF 是菱形12(3)解：设菱形 ADCF 的 DC 边上的高为 h，则 RtABC 斜边 BC 上的高也为h，BC ，DC BC ，h ，菱形 ADCF 的面积为：52 42 4112 412 4541 2041DCh 10.412 2041专训 31解：(1)仍有 BMDNMN 成立证明如下： 如图(1)，过点 A 作 AEAN，交CB 的延长线于点 E, 易证ABEADN，DNBE，AEAN. 又MAN45 ，EAMNAM45，AMAM ，EAM .NAM.MEMN.MEBEBMDNBM ，BMDNMN .(2)DN BMMN.证明如下： 如图(2) ，在 DN 上截取 DEBM ，连接 AE.四边形ABCD 是正方形，ABMD90 ，ABAD.又BMDE，ABMADE.AMAE，BAMDAE.DAB90，MAE90.MAN45 ，EAN 45MAN.又AMAE，ANAN ，AMNAEN.MNEN.DNDE EN BMMN.DNBMMN.(1)(2)(第 1 题)2证明：AC，BD 是正方形 ABCD 的两条对角线，AC BD， OAODOCOB.DECF ，OEOF.在 RtAOE 与 RtDOF 中，OA OD， AOE DOF 90，OE OF， )RtAOE RtDOF.OAEODF.DOF90 ，DFOFDO 90.DFO FAE90. AMF90，即 AMDF.3(1)证明： 四边形 ABCD 是正方形，AB CD90，ABBC CDDA.又 不管滚动多长时间，APBQ CRDS，SAPB QCRD.ASPBPQCQR DRS.PSQPRQSR， ASPBPQ.不管滚动多长时间，四边形 PQRS 是菱形又APSASP90 ， APSBPQ90. QPS 180(APSBPQ)1809090.不管滚动多长时间，四边形 PQRS 总是正方形(2)解：当 P，Q，R，S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形 ABCD 的面积(3)解：当 P，Q，R，S 四点运动到正方形四边中点时，四边形 PQRS 的面积是原正方.形 ABCD 面积的一半理由：设原正方形 ABCD 的边长为 a.当 PS2 a2 时，在 RtAPS 中，ASaSDa AP.12由勾股定理，得 AS2AP 2PS 2，即(aAP) 2AP 2 a2，12解得 AP a.同理可得 BQCRSD a.12 12当 P，Q，R ，S 四点运动到正方形 ABCD 各边中点时，四边形 PQRS 的面积为原正方形面积的一半专训 41解：(1) AEDCEB.证明：四边形 ABCD 是矩形，BC DA ，BD.由折叠的性质，知 BCBC，BB，BCDA，B D.在AED 和CEB中， DEA BEC， D B，DA BC， )AED CEB.(第 1 题)(2)如图，延长 HP 交 AB 于点 M，则 PMAB.12，PGAB ， PM PG.CDAB ，23，13，AE CE835.在 RtADE 中，DE3， AE5，AD 4.52 32.PHPMAD，PGPHAD4.2证明：(1)DEAC， CEBD，四边形 OCED 是平行四边形四边形 ABCD 是菱形，ACBD.DOC90. 四边形 OCED 是矩形(2)四边形 ABCD 是菱形，BCCD.四边形 OCED 是矩形，OECD，OE BC.(第 3 题)3(1)证明： 如图，过点 B 作 BHFP 交 FP 的延长线于点H.BD AC，PFAC ，BHPF ，四边形 BDFH 是矩形BD HF. ABAC ，ABCC.PE AB ，PFAC，PEBPFC90.EPB FPC.又HPB FPC，EPBHPB. PEAB， PHBH ，PEBPHB 90.又PBPB，PEBPHB.PE PH，BDHF PFPH PF PE.即 BDPEPF.(2)解：不成立，此时 PEBDPF.理由：过点 B 作 BHPF 交 PF 的延长线于点 H.与(1)同理可得PEPH ，BDHF. PE FHFP BDPF.(第 4 题)4(1)证明： 连接 AC，如图BD 是菱形 ABCD 的对角线，BD 是线段 AC 的垂直平分线，AE EC.(2)解：点 F 是线段 BC 的中点理由：四边形 ABCD 是菱形，ABCB.又ABC 60，ABC 是等边三角形，BAC60.AE EC，EACACE.CEF60，EAC30 ，EACEAB.AF 是ABC 的角平分线BF CF.点 F 是线段 BC 的中点5(1)证明： 在DFC 中，DFC90 ，C30，DC 2t，DFt，又 AE t，AEDF.(2)解：能理由如下： ABBC，DFBC ，AEDF.又AE DF，四边形 AEFD 为平行四边形在 RtABC 中，设 ABx，则由C30 ，得 AC2x，由勾股定理，得 AB2BC 2AC 2，即 x2(5 )24x 2，解得 x5(负根舍去)，3AB5.AC2AB 10.ADACDC102t.由已知得点 D 从点 C 运动到点 A 的时间为 1025(s)，点 E 从点 A 运动到点 B 的时间为 515( s)若使AEFD 为菱形，则需 AEAD，即 t102t，解得 t .符合题意103故当