小学数学六年级下册单元教材分析全册

第一单元 百分数的应用一、知识梳理在六年级（上册）“认识百分数”里，教学了百分数的意义，并联系后项是 100 的比，体验了百分数又叫做百分比或百分率；教学了百分数与分数、小数的互化，尤其是百分数与小数的相互改写，为应用百分数解决实际问题做了必要的准备；还教学了简单的求一个数是另一个数的百分之几的问题，初步应用了百分数。在此基础上，本单元继续教学百分数的应用，包括四个内容，依次是求一个数比另一个数多（或少）百分之几的实际问题，根据已知的税率求应缴纳的税款以及根据已知的利率求应得的利息，与折扣有关的实际问题，较复杂的已知一个数的百分之几是多少，求这个数的实际问题。编排了六道例题、四个练习，把全单元的内容分成五段教学。二、教材细读这单元教材教学时应该注意以下几点：1、循序渐进地安排内容。2、加强与生活的联系，突出百分数的广泛应用。3、注意让学生通过比较，理解数量关系，完善认知结构。下面具体地讲一讲每个例题的教学。1以现实问题中百分数的意义为突破口，通过推理分析数量关系，探索算法。（1）引导学生画直观的线段图。教学例 1 时，可以先呈现题中的两个已知条件，要求学生画线段图表示这两个数量之间的关系，并说说根据这两个条件能解决什么问题，在讨论中相机提出例题中的问题。（2）鼓励思路与解法多样。算法的探索引导学生从展开讨论开始，一是引导学生讨论实际造林比原计划多百分之几这一问题的含义，通过讨论，重点帮助学生弄清：要求实际造林比原计划多百分之几，就是求实际造林比原计划多的公顷数是原计划的百分之几。二是讨论怎样列式解决问题。要引导学生根据对问题的理解，或先求出两个已知数量的差，再用得到的差除以单位“1”的量；或先求出实际造林相当于原计划的百分之几，在减去 100%，得到比原计划多百分之几。教学中第二种方法对于学生而言理解起来比较困难，所以教学时要结合线段图帮助学生理解每一步算式的含义。（3）用类推与比较加深认识。 “试一试”解决的问题与例 1 貌似相同、实质不同。所谓貌似相同，因为两个问题都是实际造林面积和原计划造林面积的关系，学生往往会从实际比原计划多 25%得出原计划比实际少 25%这个错误结论。其实，这两个问题有质的区别，首先是数量关系不同，作为单位“1”的数量不同，列出的算式不同；其次是两个问题的结果不同：实际比原计划多25%、原计划比实际少 20%。为此教材里有比较两题的结果，分析结果不同原因的安排。2把求一个数的几分之几是多少的经验，向求一个数的百分之几是多少迁移。纳税和收入利息都是生活中常见的求一个数的百分之几是多少的问题。例2 教学纳税的问题，例 3 教学利息的问题，它们的解题思路与数量关系有相似的地方，适宜编排在一起教学。（1）创造迁移的氛围，让学生主动解决纳税问题。教学例 2 时，可以先让学生读题，理解题意，重点让学生弄清“按营业额的 5%缴纳营业税”的含义。这里需要帮助学生明确两点：第一，按营业额的 5%缴纳营业税，就是说“缴纳的营业税应是 60 万元的 5%”；第二，求 60 万元的 5%同求一个数的几分之几一样，也用乘法计算。计算时可以把百分数化成分数，也可以把百分数化成小数。但是计算百分数乘法的常用策略，当一个数乘分数的计算比较麻烦时，把百分数化成小数计算的优越就显现了。例 2 计算应缴纳的营业税， “试一试”和练习中还要计算应缴纳的车辆购置税、增值税、个人所得税等，都是我国现行的主要税种。税率虽然不同，计算应纳税额的原理与方法是致的。学生独立解决一些关于纳税的问题，实现例题到练习题的迁移。(2)引导学生理解利息的算法。教学例 3 时，重点要帮助学生弄清有关储蓄的知识，并在此过程中启发学生理解并掌握利息的计算方法。可以先向学生说明什么叫存款或储蓄，再让学生阅读教材第 5 页底注的一段文字，了解什么是本金，什么是利息，什么是利率等等。接下来在引导学生进一步思考本金、利息和利率的关系，从而掌握计算公式。我国的税法规定，获得利息要缴纳利息税， “试一试”计算应缴纳的利息税以及纳税后的实得利息。例 3 与“试一试”有序地结合，为“练一练”和解答练习二第 5、6 题作了充分的准备。根据本金、利率、时间、税率计算税后实得利息的步骤较多，因此，教科书里的实际问题一般设计成连续的两问，先算应得利息，再算实得利息，适当降低解决问题的思路坡度，减少错误。3联系生活，解答“打折扣”的实际问题。学生已能解答求一个数是另一个数的百分之几的问题，以及求一个数的百分之几是多少的问题，例教学已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题，并沟通三类百分数问题的联系。（1）以百分数乘法为相等关系，列方程解决实际问题。例 4 已知趣味数学打八折是 12 元，求书的原价是多少。教材先告诉学生八折是 80%，还在底注里介绍什么是打折扣，以及折扣的含义，指出几折就是十分之几，也就是百分之几十。然后让学生思考原价和实际售价的关系，联系打折扣的含义，得到数量关系“原价80%实际售价” 。在这个关系式里，已知实际售价、求原价，如果设原价为 x 元，就能列方程解决问题。（2）用不同方法检验，沟通百分数问题的联系。检验实际问题的答案，一般不采用代入原方程的方法，因为把 x 的值代入原方程只能检验解方程，不能检验列方程。教材鼓励学生联系折扣的含义，用多种方法检验。 “兔”检验实际售价 12 元是不是原价 15 元的 80%， “鸟”检验原价 15 元的书打八折后的实际售价是不是 12 元。例题及两种检验，都在原价、现价、折扣三个数量里已知两个，求另一个，它们是有关折扣的三类实际问题。例题的解答及其检验，体现了各类百分数问题的内在联系。4列方程解答较复杂的百分数问题。例 5 把男生人数作为单位“1” ，例 6 把九月份用水量作单位“1” ，两道题都求单位“1”是多少，在例 4 的基础上列方程解答。（1）利用线段图显示相等关系，分散列方程的难点。求单位“1”是多少的百分数问题一般列方程解答，找到相等关系既是关键，又经常是难点。例 5用两条线段分别表示美术组的男生人数和女生人数，先画表示男生人数的线段是因为男生人数看作单位“1” 。让学生在图右边的括号里填写总人数，体会总人数是男生人数与女生人数的和，从而找到相等关系。例 6 用两条线段分别表示九月份和十月份的用水量，先画表示九月份用水量的线段是因为把它看成单位“1”的量。十月份用的水比九月份少，也就是“九月份用水量十月份比九月份节约的用水量十月份用水量” ，这正是实际问题的相等关系。教材利用线段图直观反映例 5 里的两个数量的相并关系，例 6 里两个数量的相差关系，有助于学生理解相等关系。两道例题列出的方程都形如“xaxb” ，不仅设单位“1”的量数为 x，还要用含有 x 的式子表示女生人数或十月份节约用水的立方米数，这是列方程的难点。教材让学生在例 5 的线段图上用 0.8x 表示女生人数，看着例 6 的线段图思考十月份比九月份节约的立方米数怎样表示，能有效化解难点。（2）加强数量关系的练习，提高寻找相等关系的能力。第 11 页“练一练”第 1 题和例 5 相似，第 2 题是例 5 的变式。这些题的特征比较明显，有些题已知两个数量的和是多少，求两个数量各多少；有些题已知两个数量相差多少，求两个数量各多少。已知的和或相差数经常是分析数量关系的切入口，两个数量相加得到它们的总数、两个数量相减得到它们的相差数，往往是实际问题里的主要数量关系，也是列方程的相等关系。第 12 页“练一练”消化例 6 的思路，在说数量关系前先让学生试着画出线段图，在线段图直观启示下容易说出数量关系。学生看着线段图，联系已有的经验，可能说出不同的数量关系式。如美术组人数舞蹈组人数美术组比舞蹈组多的人数；美术组人数美术组比舞蹈组多的人数舞蹈组人数；舞蹈组人数美术组比舞蹈组多的人数美术组人数。要指导学生从中选择用于列方程的相等关系，从他们现有的解方程能力出发，选用的数量关系式必须保证未知数都在等号的左边。三、练习说明及学生困难分析本单元共 5 个练习，结合例题教学教师可以灵活安排的练习内容。根据本单元的教学内容和学生实际，估计学生会有以下一些困难。1、审题不清，不分单位“1” 。2、计算的困难，涉及除不尽要保留的情况。3、关于利息，税前利息和税后利息混淆。针对困难，练习时有以下几点建议：1、设计题组，加强概念。练习一里编排一些题组，旨在进一步加强百分数的概念。如第 4 题分别把会游泳人数或不会游泳人数与全班人相比，得到的两个百分数是不同的。第 5 题里既有相同条件求不同的百分率，也有不同条件求相同的百分率，从中体会数量关系和解题过程的不同。第 7 题里虽然三个百分率的计算思路一致，由于利用的条件不同，因而结果也不同。2、关于纳税问题。练习二中最容易错的是第 4 题。教学时要帮助学生理解税收征收标准，通过分段计算的方法理解个人所得税的缴纳方法。练习时不仅要关注教材中已知收入求个人所得税的解法，还要关注已知所缴纳个人所得税求月收入的解法。3、进行解决各类问题的练习，灵活应用数量关系。练习三里编排了关于折扣的各种问题，第 1 题已知原价和折扣，求打折后的售价；第 2 题已知打的折扣以及打折后的实际售价，求打折前的原价；第 4 题根据原价和现在售价，求打的折扣。学生解决这些问题，能进一步理解折扣的含义和实际应用，灵活掌握数量关系。解答这些题都从折扣的具体含义分析数量关系，首先是“原价折扣现价” 。在这个关系式里，如果已知原价求现价，可以列乘法算式计算；如果已知现价求原价，列方程是常用的方法。然后是“现价原价折扣” ，即现在售价是原来价钱的百分之几十，就是打了几折。练习三的第 3 题，把已知的百分数改说成打的折扣，启示学生求打的折扣就是求现价占原价的百分之几十，为第 4 题作了铺垫。（4）由百分数带出稍复杂的分数问题。六年级（上册）只教学较复杂的分数乘法问题，把稍复杂的求单位“1”是多少的问题安排在本单元，由百分数问题带出来，如练习四第 1416 题。这些题的解题思路与方法，和求单位“1”的百分数问题很接近，学生解答百分数问题的经验能够迁移到解答分数问题上。教材不编排分数问题的例题，把解答分数问题安排在练习四的最后中，意图是十分明显的，让学生在独立解答这些题的过程中实现认知同化。四、点击精彩案例“百分数的应用利率”教学设计教学内容：教科书第 5 页的例 3，试一试、练一练，练习二的 58 题。教学目标：1通过多种途径查找资料，经历走进生活、收集整理、交流表达等过程，让学生了解有关储蓄的知识的同时培养学生搜集处理信息的能力。2结合百分率的知识，运用调查、观察、讨论、分析数量关系等方式，学习利息的计算方法，并运用所学的数学知识、技能和思想来解决实际问题。3通过策划理财活动，让学生感受数学知识服务于生活的价值，培养科学理财的意识。教学重点：利息的计算方法教学难点：税后利息的计算。设计理念：本课除了要让学生掌握利息的计算方法，更重要的是要让学生结合百分率的知识，通过策划理财活动，让学生感受数学知识服务于生活的价值，从小培养科学理财的意识。教学步骤：一、情境导入1 提问：你家中暂时用不到的钱怎么处理的？（课前布置同学们向自己的爸爸妈妈了解家中暂时用不到的钱怎么处理的）你们知道为什么要把积余下来的钱存到银行里吗？（明确：人们把钱存入银行或信用社，这叫做存款或者储蓄。这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入。）2 关于储蓄方面地知识你还了解多少？（全班交流自己收集到信息）根据学生交流地情况摘其要点板书：利息 本金 利率多媒体出示“告诉你”：存入银行的钱叫做本金，取款时银行除了还给本金外，另外付给的钱叫做利息。利息占本金的百分率叫做利率。按年计算的叫做年利率，按月计算的叫做月利率。出示利率表。（略，同书上第 5 页利率表）师：你从这张利率表上能获得哪些信息？说说年利率 2.52的含义。你认为利息与什么有关？怎样求利息？（学生讨论）根据学生的回答板书：利息本金利率时间二、教学例 31出示例 3。读题后明确，二年期的利率应该就是表格中对应的二年存期的利率，不是一年期的利率2。师：要求利息，需要知道哪些条件？你会列式求利息吗？（试着做一做，集体订正）2教学试一试（1）亮亮实际能拿到这么多利息吗？为什么?（请了解利息税的同学解释）教师再说明：这里求得的利息是税前利息，也叫应得利息。但是根据国家税法规定，从 1999 年 11 月开始，储蓄所得的利息应缴纳 20的利息税，由储蓄机构代扣。税前利息中扣掉利息税后余下的部分即是自己实际得到的利息，即税后利息，也叫实得利息。购买国家债券、教育储蓄不缴纳利息税。这里的 20%是什么？你觉得应该怎样计算税后利息呢？可以先算什么？用计算器计算亮亮实得利息是多少元？（学生用计算器计算）（2）小结：一般我们从银行取出来的都是税后利息，所以在多数计算中最后要将利息税减掉。（3）引申：如果问题问亮亮到期一共可取出多少元？这里的“一共”是什么意思，包含哪些内容。（明确可取出多少元：本金+税后利息）这个问题由你来解答。三、巩固练习1完成练一练。应得利息怎样求？实得利息怎样求？（学生列式解答）二者的区别是什么？实得利息是应得利息的百分之几？（组织学生讨论）2做练习二的第 5 题。提醒学生教育储蓄不需缴纳营业税。这里的本金和利息一共多少元是什么意思？（指名学生回答，集体订正）3理财我能行谈话：你们对家中的存款情况了解多少?能说给大家听听吗？当然该保密的就不要说了。（学生交流）学生交流后出示下面题目（同时出示利率表）（1）张明家有 5000 元计划存入银行三年，张明的妈妈想请我们班的同学帮助算一算，是存定期三年合算？还是存定期一年，然后连本带息再转存合算呢？（学生说出自己的想法）（2）如果你有 1000 元，根据你家的实际情况，你打算怎样投资？请你设计一个理财方案。四、全课小结这节课我们学习了什么知识？通过本节课的学习，你学会了什么？师：通过今天的学习，希望同学们有意识地养成勤俭节约，计划消费的习惯，并能把所学知识应用到实际生活中，发挥其价值。五、布置作业（两道实践题让学生在家长的陪同下到银行去储蓄，从实践中认识储蓄）1到银行存压岁钱；2找一份存折或存单，看懂上面的每一栏，并从上面找到本金、利率、时间，能计算到期后这份存折（存单）一共可取出多少元第二单元教材分析本单元知识体系学生已经掌握了长方体和正方体的特征、表面积与体积的计算方法，还直 观认识了圆柱。在这些知识的基础上，本单元教学圆柱和圆锥，主要内容有：圆柱和圆锥的特征，圆柱的侧面积与表面积，圆柱和圆锥的体积计算。在第三学段九年级的上册学生还将学习圆锥的侧面积与全面积。全单元编排了 5 道例题、四个练习以及整理与练习，大致分成五段教学。1 练习五，圆柱和圆锥的形状特征；2 例 3、练习六， 圆柱的侧面积和表面积；4 练习七，圆柱的体积；例 5、练习八，圆锥的体积；“整理与练习 ”综合应用全 单元的知识， “实践活动” 扩展知识、开拓视眼。渗透思想方法圆柱和圆锥是两种含有曲面的几何形体，在图形的认识上又深入了一步，给 学生认识和理解增加了的难度。我们要充分把握形体认知的差异，引导学生主动构建正确的表象，鼓励学生大胆猜想、探究，发展学生的空间观念，渗透数学思想方法，提高学生的数学学习能力。1、概念教学要突出建立表象对由曲面和圆围成的圆柱、圆锥的认识需要有更高层次的表象能力，其中圆 柱的侧面积是教师教学中重点考虑的问题，如何客观、灵活地帮助学生认识直观图和透视图，建立诸如底、高、侧面积、表面积等概念的表象，对促进学生解决面积和体积应用问题，深化学生空间观念具有积极的意义。首先，要建立正确的表象。结合大量生活实物性形体，通过学习观察，学生建立了圆柱圆锥整体形状的表象，积累了一定的学习经验。但是，形体认识强调空间观念，做到面不离体，体不离面，只有在形体中才能真正体现曲面的含义。教学中，教师可以从实物展示入手，引导学生先观察形体的特征，然后进行一些动手实验。如揭下圆柱形罐头盒的商标纸，使学生看清圆柱的侧面展开是一个长方形；把圆柱模型的表面全部展开，使学生看到圆柱的底面和侧面图形，让学生明确上、下两个底面都是圆，而侧面是一个曲面。再安排学生用各面重新合成制作成圆柱。分与合的操作过程，有助于学生理解各部分的名称，加深对形体特征的认识。六年级学生已经有了一定的美术知识，教师可以有目的地引导学生认识圆柱的透视图，圆柱的底面现在在视觉上变成了什么图形？圆柱的侧面你能看到整个侧面的多少？为什么不画成平行四边形或长方形呢？你能找到多少条高呢？在圆锥的认识教学中，为 什么侧面变成了扇形？借助于表象的桥梁作用，学生能够很轻易地把书面图形在思维过程中转化为空间模型，缩小了了学生对图形与实物认识的差异，尤其是对曲面的感性认识起到了很好的辅助作用，为学生解决生活问题提供了拐杖。其次，要科学安排建立表象的教学过程。我们要着力延伸学生学习点，直观 之中求思考，把数学的感性认识与理性认识相结合，科学建立圆柱、 圆锥的形体表象。例如，在教学 圆 柱的侧面积时，首先，发挥学生手、眼、脑的作用，用手摸一摸， 围一 围，想一想，充分感知 侧面。接着，设计开放的学 习过程：你能把侧面展开给大家看看吗？教师安排学生小组合作学习，通过讨论、演示，教师有意识地把学生沿高剪的长方形图贴在黑板上，直观认识圆柱侧面展开图与长方形的联系。在引导 学生比较分析后，话锋一转，你 们还 有什么不同的想法？重点展示侧面剪成平行四边形；缺少剪刀用手撕后得到的不规则图形。经过不完全归纳，让学生概括成一个统一的表象：长方形（转化的思想）。这一过程，学生经历 了从直观感知到理性思考，最后形成表象的主动构建过程，丰富了学生的表象，有利于知识的掌握和形象思维的发展，提高了表象的智力含量。第三，要引导学生主动应用表象。新课程标准强化了旋转、平移等方面的知识，而圆柱和圆锥也正策应了这一教学要求，可以安排以物体旋转为内容的综合实践活动课，动与静的结合，面与体的结合，旋转从慢到快，从长方形、三角形到空间的圆柱和圆锥，从无到有，展现给学生一个动态的形成过程，在动态中形成空间认识，这对形体各部分的名称和体积的认识有重要的意义，为今后学习作了知识和思维的铺垫。2、公式推导要突出“转化”思想如果仅仅重视公式的运用而忽视获取它们的思维过程，则解题思路必然僵化，解决问题的能力也难以提高。实际上，获取知识的思维过程中也蕴含了丰富的转化思想，它的运用一点也不比公式本身的运用逊色，有 时甚至更精采。第一、猜想估算催化“转化”意识。 “转化”思想的由来，很大程度上取决于学生大胆猜想的意识和原有知识的水平。在公式推导时，以猜想作为新旧知识联系的桥梁，鼓励学生猜一猜、估一估。比如联系长方体体积公式猜想圆柱的体积计算，联系圆柱的体积估计圆锥的体积。在猜测或估计的基础上进行实验和推理，培养学生的学习能力。教师要充分安排猜想的学习过程，舍得化时间，引导学生争论，为学生解决新问题提供思维的方向和动力。第二、实践操作丰富“转化”方法。教材在安排公式推导的过程中，展现的是具有普遍意义的探究方法。仔细研究，不难发现，教材留给我们很多的空白，如侧面的转化（上面已表述），圆柱体积公式推导的多样性， 圆柱圆锥两者关系的探究等。教师可以利用这些空白，设计一些发展性的教学过程，丰富公式推导的方法，充实书本中公式的内涵。例如，在推导圆 柱体积公式中，当学生通过切拼圆柱转化为长方体后，教师一方面保持原来相对应的形体位置，让学生比较长方体底面积和高与圆柱底面积和高的关系，推导出体积公式。同时，教师也可以把长方体侧放（两种方式），引导学生探究，这时，你能发现长方体底面积和高与圆柱的哪些部分有什么关系呢？学生很容易可以发现：侧面积的一半 半径= 圆柱的体积；半径高 底面周长的一半=圆柱的体积。这样公式的转化，大大丰富了学生的认识，提高了学生思维的广度。同样，在用公式表示等底等高的圆柱和圆锥之间的关系时，教师让学生通过圆锥的水倒入圆柱，圆柱的水倒入圆锥实验，引导学生思考：还能用其它数学语言来表示他们之间的关系吗？学生可以用按比例分配的应用、倍数关系、分数关系等多种知识来表示，从而加深了对二者关系的进一步认识。第三、分析概括确立“转化”思想。在推导公式教学中，除了形体之间的直观转化外，分析概括新旧知识的异同点，理清转化的线索，是提升学生理性认识，培养学生逻辑思维能力的重要环节。在确立“转化”思想的过程中，应该把语言表述与直观演示相结合，数与形相结合，这样 才能使学生理解“转化”的真正意义。例如，在学习侧面积时，要求学生用手指演示圆柱侧面的底面曲线周长与长方形的长。在比较长方体的底面和圆柱的底面时，让学生用手心去比画它们的图形。其次，敢于把“ 转化”的思想转变为学生学习的要求，激励学生自我否定，自我发展，培养学生反思式的学习方法，使学生的转化思想落脚于科学思考的最近发展区。练习设计安排通过识别加强形体概念。第 19 页“练一练”找出圆柱形或圆锥形的物体，进 一步突出圆柱和圆锥的特征，加强形体概念。有些物体的底面是多边形，不是圆形；有些物体的两个底面都是圆形，但大小不同；有些物体的两个底面虽然是相同的圆，但两底之间不一样粗，它们都不是圆柱形的物体。在练习里发展空间观念。练习五第 1 题巩固有关圆柱、圆锥特征的基础知识。第 2 题指出圆柱、圆锥的三视图，体会从正面、侧面看到的形状要用平面图形来表示。第 3、4 题体会“ 形”旋转成“体” ，“形”的尺寸决定“体”的底面大小和高的 长短。第 5 题利用教科书提供的材料制作圆柱、圆锥 ，体会 侧 面是平面图形卷成的曲面，学会测量底面直径和高的方法，计算底面周长和面积，复习圆的知识。学生的空间观念在观察、操作、制作的 过程中得到发展。在学习了圆柱和圆锥的体积公式后，除了安排一些基本练习外，教材还安排了一些综合性较强的练习，如练习七第 9 题的计算塑料大棚上塑料薄膜的面积；练习八第 9 题计算蒙古包所占空间等。学生困难错误分析圆柱和圆锥这一单元，习题的解答步骤比较多，计算的量比较大，本单元作业质量明显下降，有的学生甚至订正好几遍都算不出正确答案。应该说有了公式的引导，掌握圆柱的表面积、体积计算以及圆锥的体积计算的方法并不难，但有些学生会把圆柱的侧面积与体积公式混淆，圆柱表面积计算步骤多，有些同学是因为对其中的公式或意义没有真正理解。不知道要求侧面积先求什么，求了圆底面周长又和圆的面积混淆， 计算圆锥的体积时经常漏掉除以 3（或乘 ）。1同时由于多位数的混合运算，给学生带来了计算上的困难学生的计算水平之参差不齐也充分地暴露出来了。典型案例这一单元的典型课例比较多，大家可以上网参考，在此我就不罗嗦了。第三单元 比例一、教学内容本单元教学“数与代数 ”领域里的比例的意义 、比例的性质、解比例；还教学“ 空间与图形 ”领域里的图形放大与 缩小、比例尺的意义、解决与比例尺有关的实际问题。把两个领域的知识结合起来教学，既能赋予比例丰富的现实意义，又能理解图形放大、缩小的数学含义， 还 能使解决比例尺的实际问题有更多的思路与方法。全单元编排 7 道例题、三个练习，分成四段教学。例 1例 3、练习九， 图形的放大与缩小、比例的意义；例 4例 5、练习十，比例的性质、解比例；例 6、例 7、练习十一，比例尺的意 义和解决实际问题；“实践活动”进一步体验图 形的放大与缩小。二、教材编写特点和教学建议1在 现实 情境和画图活动中，教学图形放大与缩小的含义。图形放大与缩小是图形的一种变化方式，研究的对象与内容十分具体，教学应在现实的情境中进行。联系“倍”和“比”的知识，揭示图形放大的含义。例 1 先教学图形的放大，在长方形画放大的情境中，要求学生说说“ 两幅画长的关系、宽 的关系” 。有些学生用“倍” 描述，有些学生用“ 比”表示，都利用了已有的知识、经验。这里要注意的是，应该把放大后的图片与放大前的图片比。教材归纳学生的思考，指出长方形的每条边放大到原来的 2 倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是 21，就是把原来的图形按 21 的比放大。在这一段话里，揭示了图形放大的具体含义，示范了图形放大的规范表述。促进认知迁移，体会图形缩小的含义。在初步理解 长方形按21 的比放大以后，教材提问：如果把第一幅画按 12 的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？各是多少厘米？引导学生感受图形的缩小，初步形成图形缩小的概念。教学时，可以把图形按 21 的比放大与图形按 12 的比缩小进行比较。突出比的前项指变化后的图形，后项指原来的图形。21的前项大于后项，表示图形放大；12 的前项小于后项，表示图形缩小。在方格纸上画图形，进一步体会图形放大与缩小。例 2 在方格纸上按照规定的比画出长方形放大后与缩小后的图形，先思考放大或缩小后的长、 宽各是几格，进一步理解 31 与 12 在图形放大、缩小情境里的含义，加强对图形放大、缩小的体验。2以图形放大为素材，教学比例的意义。在图形放大的情境中能够写出许多组对应边长度的比，这些比的比值是相同的。利用这些比教学比例，一方面使组成的比例有具体的含义，有利于理解比例的意义。另方面通过对应边长度的比组成比例，能进一步理解图形的放大。分别写出各张照片长和宽的比，分析两个比的关系。例 3 要求分别写出放大前照片的长与宽的比，放大后照片的长与宽的比。这两个比也是相对应的，都是同一图形里两条边的长度比，而且都把长作前项， 宽作后 项。学生思考两个比有什么关系，有人从比值的角度发现它们的比值都是 1.6，有人从化简比的角度发现它们化简后都是85。上面的活动有两个作用，一是为教学比例积累素材。二是发展对图形放大的体会：长方形放大，不仅放大后与放大前长的比与宽的比相同，而且放大前长与宽的比和放大后长与宽的比也相同。根据比值相等写出等式，揭示比例的意义。两个比的比 值都是1.6，两个比都能化简成 85，这些都表明两个比相等，因此可以写成等式。等式的左、右各是一个比，表示两个比相等，教材指出“ 表示两个比相等的式子叫做比例”，让学生在现实的情境里首次感知比例的意义。写出照片放大后与放大前对应边的长度比，判断能不能组成比例。根据图 形放大，学生还能写出放大后与放大前两个图形的长的比和宽的比，判断这两个比能否组成比例，只要看它们的比值是否相等。经过写出比、求比值，比较比值的大小、写成比例等一系列活动，能进一步体会比例的意义，学会判断两个比能不能组成比例的方法。在常见数量关系中体验比例的意义。图形放大与 缩小为教学比例提供了生动的素材，认识比例不能局限于图形的变化。因此，练习九第 3 题、第 7 题扩展素材的范围，在常见数量关系里写比、求比值、组成比例，进一步加强概念，也为教学正比例作些铺垫。3在图形缩小的情境中教学比例的性质。比例的性质可用来解比例，也是解决实际问题需要的知识。利用三角形缩小的数据写比例，认识比例的内项与外项。例 4呈现三角形缩小的情境，缩小前、后的图形里标有底、高的数据。学生根据图形缩小的含义，利用图中的数据，能够写出许多比例。每个比例都由 6、4、3、2 四个数 组成，四个数在比例中的位置有规律，这些都为教学比例的性质创造有利条件。教材举一反三，先在 6342 里讲述比例的内项与外顶，再让学生指出其他比例的内项、外项，及时巩固知识。在写出的比例中发现基本性质。比例的性质 希望学生主动发现，因为性质比较明显。自己发现性质，认识深刻、记忆牢固、便于应用。发现性质是由表及里、由具体到抽象、由个案到全体的过程。 “兔”看到了 6、4、3、2 四个数在比例中的位置 规律， “猴 ”发现了性质的具体表现。教材要求再写出一些比例，体会规律存在于每个比例中。在此基础上，用字母表示、用语言讲述，理解比例的基本性质。4结合解决实际问题教学解比例。例 5 用比例知识解决实际问题，包括三点内容：根据图形放大的意义写出比例，应用比例性质求未知项，指出什么是解比例。根据图形放大，写出比例。例题要求写两张 照片长的比与宽的比组成的比例，在这个比例里有三项是已知的，一项是未知的。因此，像列方程解决问题那样，设放大后照片的宽是 x 厘米，列出的比例是含有未知数的等式。解比例是例题的主要教学内容。教材里写出了两个内 项的积等于两个外项的积这一步，让学生思考根据是什么，体会应用比例的性质能够求出比例中的未知项，并通过“试一试”“练一练” 学会解比例。5写图上距离和实际距离的比，理解比例尺的含义。例 6 教学比例尺的意义，计算平面图的比例尺。认识图上距离和实际距离。例题给出了草坪 长 50 米、宽 30 米，草坪平面图长 5 厘米、宽 3 厘米。要求学生分别写出长、宽的图上距离和实际距离的比。教材没有对图上距离、实际距离作解释，让学生在问题情境中体会、识别。指导统一单位。教材指出：图上距离和实际 距离的单位不同，先要统一成相同单位，写出比后再化简。统一单位，可以把高级单位化成低级单位，也可以把低级单位聚成高级单位，由学生自主选择。在交流中体会，实际距离改写成厘米为单位较方便些。如果把图上距离改写成米为单位，在化简比的时候较麻烦。 “猴 ”写了长的图上距离与实际距离的比， “鸟”写了 宽的图上距离和实际距离的比，两个比化简成相同的比。因此，求平面图的比例尺，只要利用一组对应的图上距离和实际距离就够了。揭示比例尺的意义。通过写图上距离与实际 距离的比，学生初步感受了比例尺的内涵。在此基础上，教材指出“ 图上距离和实际距离的比，叫做比例尺。 ”两个数学式子，既精炼 地表示了比例尺的意义，又表达了求比例尺的方法。认识线段比例尺。线段比例尺是比例尺的另一种表示形式。教学线段比例尺有两点作用，一是进一步体会比例尺的意义，二是能方便地解决求图上距离或实际距离的问题。教材通过解释比例尺11000 的具体含义引出线段比例尺，突出线段比例尺的特点，能直观地表示图上 1 厘米相当于实际若干米（千米）。线段比例尺与数字比例尺的意义是一致的，可以互相转化。如 P49“练一练” 第 1 题，左图的比例尺是 12200000 表示图上 1 厘米相当于实际距离 2200000 厘米（即 22 千米），相应的线段比例尺也是图上 1 厘米表示实际 22 千米。右图的线段比例尺是图上 1 厘米相当于实际 22 米（即 2200 厘米），相应的数字比例尺就是 12200。6利用比例尺，求实际距离或图上距离。利用已知的比例尺，可以求实际距离或者求图上距离。例 7 是求实际距离的问题，求图上距离的问题安排在练习里。例 7 鼓励解决问题的方法多样化， “猴”联 系数字比例尺的意义解题， “兔” 利用线段比例尺解题。另外，还教学列比例解决问题。7安排实践活动， 进一步理解图形放大、 缩小的概念。实践活动面积的变化探索图形放大，面积变化与边长变化的联系。第一 项活动是测量长方形放大后与放大前的长、宽，按图形放大的概念分别写出长的比和宽的比，估计放大后长方形面积与放大前的比是几比几，通过计算检验估计，初步体验图形放大时边长变化的比与面积变化的比是不同的。第二项活动测量正方形、三角形、圆的有关长度并计算面积，把数据填入表格，发现面积变化与长度变化的关系。第三项活动应用发现的变化关系在校园平面图里提出问题、解决问题。各项活动的内容多、容量大，要仔细看书，明白每项活动的任务与要求。发现规律需要过程，三项活动体现出“ 初步感知研究发现理解应用” 的过程，学生不 仅获得知识，也 发展了数学思维。通过实践活动，对图形按一定的比放大或缩小能有更清楚的认识， 进一步明白这里的比是相应边的长度比，不是图形的面积比。第四单元 确定位置一、教学内容学生认识了生活中的八个方向，能够用量角器量角与画角，还掌握了比例尺的知识。本单元综合应用已有的经验，用方向和距离比较准确地表示物体所在的位置。编排 3 道例题和一个练习，把教学内容分成四段。例 1，理解新的方向词，用方向和距离讲述物体的位置；例 2，根据物体所在的方向和距离，在平面图上指出它的位置；例 3，用方向和距离描述行走的路线；实践活动实际测量二、教材编写特点和教学建议1知道了物体所在的方向和距离，就能确定位置。生活中用方向表示物体的位置不大精确，因为东北、东南、西北、西南的范围比较宽，而且仅有方向，没有距离。用方向和距离比较准确地表示物体的位置，涉及了方位、角度、实际 距离三个具体内容。引出新的方向词。本单元先后教学四个方向 词，它们是北偏东、北偏西、南偏东、南偏西， 这些词是人们约定的，不能随意创造或变化。例 1 联系原有经验，航海情境图上灯塔 1 在轮船的东北方向，灯塔 2 在轮船的西北方向。教材指出，东北方向叫做北偏东，西北方向叫做北偏西，引出了两个新方向词。在原有方向知识基础上认识新方向词，有助于理解词的具体含义。北偏东即正北往东偏些，北偏西即正北往西偏些。理解了北偏东、北偏西，再 认识 南偏东、南偏西就容易了。用角度准确表示方向。北偏东仍然是较宽的范 围，用来表示方向还不够精确。教材指出“ 从航海图上可以看到，灯塔 1 在轮船的北偏东 30方向。 ”这里的北偏东 30方向表示了 轮船为端点的一条射线，灯塔 1 是这条射线上的一个点。因此，方向词的后面添上角的度数，才能准确描述物体所在的方向。教学这个知识，不仅让学生学会如何表示方向，还要体会这样表示的好处。用距离准确表示位置。北偏东 30讲了方向，在 这个方向上，哪里是灯塔 1？于是，量出灯塔 1 到轮船的图上距离，根据比例尺，算出实际距离。 “轮船北偏东 30方向 6 千米处”准确地描述了灯塔 1 的位置。例 1 有序地安排三个知识点的教学，让学生逐步体会方向和距离能够确定位置。2在平面图上指出物体的位置。例 2 根据物体所在的方向与距离，在平面图上标出它的位置。这道例题里没有新的知识，只是理解“北偏东 40方向 2 千米处” 的基础上画图。画 图通常分两步，先画出北偏东 40方向，再在这个方向上画出相应的点。教材让学生先画图，再交流画的方法与体会。用量角器画射线。 “北偏东 40”是以灯塔为端点的一条射线的方向，在图上表示清凉岛的位置，应该画出这条射线。画射线可以使用量角器，把表示灯塔的点作顶点，正北方向为角的一条边，偏东 40角的另一条边就是北偏东 40方向。算出图上距离，在射线上描点。2 千米是清凉 岛到灯塔的实际距离，在平面图上表示清凉岛的位置，需要这两点间的图上距离。平面图绘出的是线段比例尺， “鸟”选用了比较方便的算法求图上距离。算出图上距离 4 厘米，就能用直尺在射线上找到相应的点表示清凉岛。3用方向和距离描述行走的路线。例 3 说说李伟从家到学校的路线，在现实的情境里应用方向距离确定位置的知识。李伟家到学校的路线是三条线段组成的折线，描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行走的方向与路程。 “兔”和“鸟” 描述的共同点是都清楚讲述了方向与路程，不同点在用的方向词上。两种讲述都正确，要提倡像“ 鸟”那样说，通过具体应用巩固确定位置的知识。示意图上有两个 60角，其中一个用于描述上学路线，另一个描述放学路线。4测定地面上相隔较远的两点间的距离。受测量工具的限制，地面上相隔较远的两点间的距离，往往不能一次就直接量得。这就需要先通过两点测定一条直线，把两点间的距离分成几段，逐段测量并相加。实践活动实际测量教学这种方法。认识工具。测量较短的长度，有各种尺供选 用。平整土地、兴修水利、架桥铺 路都需要测量较长的距离，仅用尺不能直接度量，还需其他工具，如标杆、测绳等。测定直线。使用标杆在两点之间测定直线，是这次实践活动的主要内容。教材通过图画表达在 A、B 两点间测 定直线的方法，先在A 点和 B 点各 竖一根标杆，然后在两点间的 C 点和 D 点竖标杆。要使所有标杆都在同一条直线上，一名男孩观察，女孩在调整。这样就把 A、B 两点 间的距离分成三段测量，各段 长 度的总和就是 A、B 两点间的距离。看懂图示的方法以后，在操场上选择相距较远的两点，实践这种方法。步测。没有测量工具或者测量要求不高的时 候，可以步测。步测需要知道一步的长度，教材指导获得步长的方法，设计了求步长的活动。学生按教材的设计，就能算出平均步长。目测。如果对测量结果的要求不高，还可以目 测。教材讲了什么是目测，介 绍了练习目测的方法。目测技术要经过大量练习才会逐渐掌握，小学生只能知道目测，进行的目测是很不精确的。第五单元 正比例和反比例一、教学内容本单元在常见数量关系的基础上编排，教学正比例关系和反比例关系。与过去的大纲教材相比，本单元加强对正比例和反比例的理解，重视对 正比例关系图像的认识与简单应用，不利用正比例、反比例解答应用题。全单元编排 3 道例题、一个练习，教学内容分成两段。例 1、例 2，正比例的意义、正比例的 图像；例 3，反比例的意义。二、教材编写特点和教学建议1细致安排学生的首次感知。正比例概念和反比例概念都要在充分的感知活动中形成，例 1和例 3 分别是学生首次感知正比例关系与反比例关系，教材作了很细致的安排。例 1 把感知过程设计成四步。写比、求比值、解释比值。例 1 呈现的表格里是一辆汽车行驶的时间和路程的数据，让学生从中选择几组相对应的路程和时间，分别写出比并求出比值，发现所有比的比值都是 80，体会这个比值是汽车行驶的速度，这辆汽车的行驶速度始终不变。用数量关系式表示比值一定。写出的各个比的数量关系相同，可以用式子“ 速度（一定）”表示它们的共同特征。学生对“路程比时间等于速度”很熟悉，而 “速度（一定）” 是例 1