201309-201401.上师大数学分析(i)期末试卷(b卷)--参考答案

上海师范大学标准试卷2013 2014 学年 第一学期 考试日期 2014 年 1 月 日 考试时间：120 分钟数学分析（一） 期末考试（B 卷）专业 年级 班 姓名 学号 题号 一 二 三 四 五 六 总分得分我承诺，遵守上海师范大学考场规则 ，诚信考试。 签名：_得分 一、叙述下列概念定理（本大题满分 9 分，每小题 3 分）1. 一元函数在一点连续的归结原则.函数 那么 处连续的充要条件是,的 一 邻 域 中 有 定 义在)(0xf xf0在)(.lim有nnnn 2. 一元函数在一点处可导.函数 如果极限 存在,我们称函,的 一 邻 域 中 有 定 义在)(0xf Axfx00lim数 处可导,导数值为 A.0在3. 柯西(Cauchy)微分中值定理. 那 么).,(0且,上 可 导)(在上 连 续在)( baxbabaxgf g存在 .使 得,fgf得分 二、判断题,对的打, 错的打（本大题满分 10 分，每小题 2 分）1. 无穷大量加无穷大量是无穷大量. ( )2. 区间上可导函数的导函数的间断点必定是第二类间断点.( )3.函数的极值点处导数值为零. ( )4. 闭区间上非常值连续函数,如端点处函数值相同,必存在一点其导数值为零. ( )5. 若 在 的某邻域内有三阶导数,且导数连续 , , 则)(xf0 00 xf条件三阶导数 是 成为 的拐点的充要条件.x0)(f( )得分 三、填空题（本大题满分 15 分，每小题 3 分）1. 设 .)7(,49)3(lg12fxf 则 342lg12. 1 .nnnlim3. 1/2 .xxsco13204. 导函数 cos(2xcosx)(2cosx-2xsinx) .)i(5. n 阶导数 .4cosn 243cosnx得分 四、求解下列各题（本大题满分 36 分，每小题 6 分）1. 求极限 .inxlmta02x.1)cosexp( )cosinlexp()sinltaep(原 式 0202 0202xsinlta02m mm x xx 2.设函数 求 a, b,使得 连续.0,1sin,ixbaxf 处在 0)f(x.1:处 连 续 当 且 仅 当0在)(,所 以 .1sinlm)0(,)01sinlm0 0 baxf bxfx3. 详细写出利用导数判断方程 的实根的个数和范围的过程.|ln2x.内 有 唯 一 的 实 根)0,(在),所 以 .)(lim021时0内 无 根在所 以 .02ln)2(.,;0(21,时0im定 义 域|,ln记 0 xf xfxfxxx xf4. 求由参数方程 确定的函数 的一阶导数和二阶导数.0sinco3aty )(xy.sin31sin3,cocoe4222 tatadyx5. 设 为二阶可导函数,求函数 的一阶微分.xxlgy)(nln)(2 dxdy6. 设用某仪器进行测量时,测得 n 次实验数据为 .问以怎样的数值 表示an,21 x所要测量的真值,才能使它与这 n 个数值之差的平方和最小?1得 到02.平 方 和 112 nkkknkyaxxxy得分 五、证明题（本大题满分 20 分，每小题 5 分）1. 设 证明: nn6,011 .并 求 出 此 极 限,存 在limxn).舍 去2(3即,6:则 由 递 推 公 式 得 到.a设 存 在所 以.6则 ,假 设4110:单 调 递 减0limlim21 1k2 aax xxn nkkkkn2. 已知 .1)ln(x1:则0.原 式 得 证时0,)( .单 调 递 增)(,0)1ln(11)ln .0,(记证 明 原 式 等 价 于 证 明 xf xfxxxf3. 设 f(x)为区间a, b上二阶可导函数,f(a)=f(b)=0,并且存在一点 c, acb, 使得 f(c)0.证明:至少存在一点 d, adb, 使得两阶导数 .0xf.即 可取.0, .0)(),()()(2121 221 xffba cbfcacc4. 上一致连续. )0,sy在xin.上 一 致 连 续),0故 函 数 在 .上 连 续 从 而 一 致 连 续1,0又 它 在;上 一 致 连 续1在sin所 以 2cos2sin| ,1221 211121 2 xx xy x得分 六、论述作图题（本大题满分 10 分）讨论函数 的定义域,渐近线,单调区间,极值(点),凹凸区间,xxyarctn2拐点,并作出其图像.定义域为 R,奇函数,