《管理运筹学》习题2解答

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薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇芇薃薇罿肀葿薆肂芆莅蚆螁聿芁蚅袄芄薀蚄羆肇薆蚃膈节蒁蚂袈膅莇蚁羀莁芃蚀肃膃薂蚀螂荿蒈蝿袄膂莄螈羇莇芀螇聿膀虿螆衿羃薅螅羁芈蒁螄肃肁莇螄螃芇芃螃袅聿薁袂羈芅蒇袁肀肈莃袀螀芃艿衿羂肆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀袇袆莀莆蒃罿膃节蒂肁莈薀薂螀膁蒆薁袃莆莂薀肅腿莈蕿膇肂蚇薈袇 管理运筹学习题 2 一、分别用图解法和单纯形法（用大 M 法和两阶段法都可以）求解下列线性规划问题：12 46minzxs.t,由二、以下各模型目标函数都是求最大值，根据各自的最优表下结论（要判断解的类型）：（1）cj -2 -3 -1 0 0 -M -MCB XB B-1b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7-3-2x2x19/54/501103/5-2/5-3/101/51/10-2/53/10-1/5-1/102/5 j=cj-zj 0 0 0 -1/2 1/2 -M+1/2 -M+1/2（2）cj 10 15 12 0 0 0 -MCB XB B-1b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7100-Mx1x3x73/23/31/210039/809/16-43/800103/161/16-7/16-1/801/16-3/8000-1001 j=cj-zj 0 -43M/80+31/80 -30/16 -7M/16-3M/80+1/8-M 0（3）cj 2 -1 2 0 -M 0 -M 0 -MCB XB B-1b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x922-1x1x3x23/47/27/4100001010-1/4-1/2-1/41/41/21/43/8-1/4-1/8-3/81/41/81/81/4-3/8-1/8-1/43/8 j=cj-zj 0 0 0 5/4 -M-3/4 -3/8 -M+3/8 -9/8 -M+9/8三、有三个发电站产地 B1， B2，B 3 需要从两个煤矿 A1， A2 购买煤炭，各自的产量、需求量以及每万吨煤炭的运价（千元）如表 1 所示。问如何调运煤炭，使得总运输费用最小？表 1 产销平衡表和单位运价表发电站 Bj煤矿 AiB1 B2 B3 产量（万吨）A1 23 62 23 6A2 15 77 21 2每月对煤的需求量（万吨） 3 1 5要求：（1）请建立该问题的线性规划模型，如果有必要再化为标准问题。 （2）用表上作业法求解：用最小元素法确定初始方案；用闭回路法或者位势法验证初始方案是否最优？如果非最优，请用闭回路法调整，直至求出最优方案。四、某工厂生产两种产品。甲、乙两种产品每件生产工时分别为 6 小时，2 小时，总生产工时计划定为 24 小时。甲产品和乙产品每生产一件对 A 原料消耗量都为 1 单位，原料A 计划购买量为 5 单位。乙产品每生产品一件对 B 原料的消耗为 5 单位，甲产品生产不需要 B 原料，该原料计划购买量为 5 单位。要求依次满足下列目标：（1）计划工时数尽可能充分利用但最好不要超过；（2）原料 A 购买量最好不超过计划规定量；（3）原料 B 购买量最好也不要超过计划购买量。请建立该问题的线性目标规划模型并用图解法或单纯型法求解。管理运筹学习题 2 解答一.分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题： 1212 46minzxs.t,由解：（一）用图解法求解，过程如下：1.各种约束条件如图 1 所示，其中线段 AB 为可行域。A 点和 B 点坐标分别为(4/3,1/3)、 （2,1）2.画出目标函数的一条等值线：-2x 1+4x2=0,如图所示。它沿法线向下平移，目标函数值 z 越来越小。3.当目标函数平移到 A(4/3,1/3)点时，zmin z 。所以本题有唯一最优解 X* (4/3,1/3)T，最优目标函数值 z*=-24/3+41/3=-4/3。(二)用单纯形法求解（用大 M 法和两阶段法都可），大 M 法求解 1.将原模型化为标准型（1）令 y1=2-x10，x2=y2- y3(其中 y2, y30)则 x12- y1将、代入原约束条件，并化简整理得到：（2）在式左边加入松弛变量 y4,化为：2 y1-y2+ y3+y4=1式不用标准化,已经是标准形式。（3）将、代入目标函数得：min z=-4+2 y 1+4y2-4 y3+0y4令 w-z ，则目标函数化为：max w=4-2 y1-4y2+4 y3+0y4所以，标准型即：BAx24 3 2 1-1 0 1 2 3 4 x1x1-x2=1-2x1+4x2=0x124x1+2x263 js.t,1234342 00jmaxwyys.t,2.在式左边加入人工变量 y5，并在目标函数中加入罚因子 M(M 为很大的正数)，则标准型化为规范型，如下所示： 1234545 jyMs.t,3.列单纯形表求解，过程如下：cj -2 -4 4 0 -MCB XB B-1b y1 y2 y3 y4 y5 i0-My4y51121-111-110011/21 j=cj-zj -M -2+M -4+M 4-M 0 0-2-My1y51/21/210-1/23/21/2-3/21/2-1/2011/3 j=cj-zj -1-1/2M 0 -5+3/2M 5-3/2M 1-1/2M 0-2-4y1y22/31/310010-11/3-1/31/32/3 j=cj-zj -8/3 0 0 0 -2/3 -M+11/34.结论：因为所有非基变量检验数 j0(j=3,4,5) ，且 3=0, 人工变量 y5=0，所以上述规范型模型有无穷多最优解，当前基可行解(2/3,1/3,0,0,0) T 为最优解（其他最优解不能通过单纯形法求出， ） 。相应的 x*12- y*1=2-2/3=4/3 ；x *2=y*2- y*3=1/3-13a,0=1/3；min z=-max w=-(-8/3+4)=-4/3。用两阶段法求解（接大 M 法第 2 步以后）第一阶段：先列单纯形表求解如下模型：5134 0jmxwys.t,cj 0 0 0 0 -1CB XB B-1b y1 y2 y3 y4 y5 i0-1y4y51121-111-110011/21 j=cj-zj 1 1 -1 0 00-1y1y51/21/210-1/23/21/2-3/21/2-1/2011/3 j=cj-zj 0 3/2 -3/2 -1/2 000y1y22/31/310010-11/3-1/31/32/3 j=cj-zj 0 0 0 0 0 -1因为所有非基变量检验数 j0(j=3,4,5) ，所以停止迭代， w=0，进入第二阶段继续求解。第二阶段，去掉人工变量 y5，恢复非人工变量目标系数，在以上最后一步基础上继续求解：cj -2 -4 4 0CB XB B-1b y1 y2 y3 y4 i-2-4y1y22/31/310010-11/3-1/3 j=cj-zj -8/3 0 0 0 -2/34.结论同大 M 法第 4 步。二.以下各模型目标函数都是求最大值，根据各自的最优表下结论（要判断解的类型）：（1）cj -2 -3 -1 0 0 -M -MCB XB B-1b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7-3-2x2x19/54/501103/5-2/5-3/101/51/10-2/53/10-1/5-1/102/5 j=cj-zj 0 0 0 -1/2 1/2 -M+1/2 -M+1/2（2）cj 10 15 12 0 0 0 -MCB XB B-1b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7100-Mx1x3x73/23/31/210039/809/16-43/800103/161/16-7/16-1/801/16-3/8000-1001 j=cj-zj 0 -43M/80+31/80 -30/16-7M/16-3M/80+1/8-M 0（3）cj 2 -1 2 0 -M 0 -M 0 -MCB XB B-1b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x922-1x1x3x23/47/27/4100001010-1/4-1/2-1/41/41/21/43/8-1/4-1/8-3/81/41/81/81/4-3/8-1/8-1/43/8 j=cj-zj 0 0 0 5/4 -M-3/4 -3/8 -M+3/8 -9/8 -M+9/8解：（1）结论：因为所有非基变量检验数 j0(j=3,4,5,6,7)， 30 且 、人工变15a量 x6x 70，所以有无穷多最优解。以 x3 为进基变量继续迭代，可求出另外一个最优解。cj -2 -3 -1 0 0 -M -MCB XB B-1b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 i-3-2x2x19/54/501103/5-2/5-3/101/51/10-2/53/10-1/5-1/102/53 j=cj-zj 0 0 0 -1/2 1/2 -M+1/2 -M+1/2-1-2x3x132015/32/310-1/201/6-1/31/20-1/61/3 j=cj-zj 0 0 0 -1/2 -1/2 -M+1/2 -M+1/2所以，本题最优解其中一个为：X 1*=(4/5,9/5,0,0,0,0,0)T；另一个最优解为：X 2*=(2,3,0,0,0,0,0)T； max z=-39/5-24/5=-13-22=-7（2）结论：因为所有非基变量检验数 j0(j=2,4,5,6)但人工变量 x7=1/20，所以此问题无可行解。（3）结论：非基变量检验数 45/40，而 a/i40(i=1,2,3)，故此问题无有限最优解（或为无界解） 。三、有三个发电站产地 B1， B2，B 3 需要从两个煤矿 A1， A2 购买煤炭，各自的产量、需求量以及每万吨煤炭的运价（千元）如表 1 所示。问如何调运煤炭，使得总运输费用最小？表 1 产销平衡表和单位运价表发电站 Bj煤矿 AiB1 B2 B3 产量（万吨）A1 23 62 23 6A2 15 77 21 2每月对煤的需求量（万吨） 3 1 5要求：（1）请建立该问题的线性规划模型，如果有必要再化为标准问题。 （2）用表上作业法求解：用最小元素法确定初始方案；用闭回路法或者位势法验证初始方案是否最优？如果非最优，请用闭回路法调整，直至求出最优方案。解：（1）设产地 Ai（i=1,2 ）调运到销地 Bj（j=1,2,3）的煤炭为 xij 万吨，可建立以下模型：23121321231231213min 657.50(,;1,23)ijiijzcxxxxstxj（2）因为总产量 8 万吨（=6+2）小于总需求量 9 万吨（ =3+1+5） ，所以本问题不是标准运输问题。增加一个虚拟产地 A3，它的单位运价 c31=c32=c33=0，产量为 9-8=1（万吨） 。（3）第一步：用最小元素法确定初始方案（方案可能有以下三种，随着添加 0 位置不同而不同） 。或 或(0)(1)(5)2()361(0)572 () 0015215201520方法二：伏格尔法（本题用此法求出的初始基可行解就是最优解） (1)()(5)2()360()5726 0 1 8 (1)-() 01052方法三：西北角法(3)(1)(2)()263()057 0 () 1 () 312第二步：求非基变量检验数，验证初始方案(最小元素法求得的第一种初始方案) 是否最优。法一：用位势法求检验数。求解见下表所示： 销地产地B1 B2 B3 UiA1 0 23 0 62 0 23 0A2 0 15 23 77 6 21 -8A3 0 0 -39 0 0 0 -23Vj 23 62 23因为 min( 22, 23, 32, 33| ij0，所以方案二就是唯一最优方案。决策结论：产地 A1 向销地 B1 调运煤炭 1 万吨，向销地 B3 调运煤炭 5 万吨；产地 A2向销地 B1 调运煤炭 2 万吨；销地 B2 的需求量由虚拟产地 A3 来满足，实际上它的需求量 1万吨完全未得到满足。最小总运费=231+062+23 5+152+01=168（千元） 。四、某工厂生产两种产品。甲、乙两种产品每件生产工时分别为 6 小时，2 小时，总生产工时计划定为 24 小时。甲产品和乙产品每生产一件对 A 原料消耗量都为 1 单位，原料A 计划购买量为 5 单位。乙产品每生产品一件对 B 原料的消耗为 5 单位，甲产品生产不需要 B 原料，该原料计划购买量为 5 单位。要求依次满足下列目标：（1）计划工时数尽可能充分利用但最好不要超过；（2）原料 A 购买量最好不超过计划规定量；（3）原料 B 购买量最好也不要超过计划购买量。请建立该问题的线性目标规划模型并用图解法或单纯型法求解。解：首先，建立该问题的线性目标规划模型，如下：设甲、乙两种产品的产量分别为 x1、x 2 件。1123121231min ()i,)645.5,0(,23)或 写 成 izPddPxstdxi图解法求解，如下图所示：(1)分别以 x1、x 2 为横坐标和纵坐标建立直角坐标系，将x1、x2 取值范围、各约束条件表示在坐标系中，并用箭头标出正负6x1+2x2=24 D 0 1 2 3 4 5 d+3 d-3 C d-1 d+1 d-2 d+2 B A 12108642 x1 x2 x1+x2=5 5x2=5 偏差变量增大方向。在各级目标实现之前，可行域为第一象限及 及 x1、x 2 的非负半轴。(2)对于第一级目标 P1，要求 min(d1-+d1+)，在线段 AD 上任一点都可满足。(3)第二级目标 P2，要求 min d2+，可行域由线段 AD 缩小为线段 BD。(4)第三级目标 P3，要求 min d3+，可行域由线段 BD 缩小为线段 CD。即线段 CD 上任一点的坐标都可以全部满足三级目标。C、D 两点坐标分别为（11/3,1） 、 （4,0） 。但 C 点两种原料的利用率最高，都尽可能接近计划规定量（ 14/3,5） 。因此，最优解 X*=(11/3,1) T+(1-)(4,0) T（注解：所有级别的目标都完全实现时，可以称为最优解，否则只能称为满意解） 。单纯形法求解如下：（1）原模型已经是标准型，其中基变量分别为 d1-、d 2-、d 3-。（2）列单纯形表求解，如下：在第一次迭 代以后，对于三 个级别目标， 均有j0 但 非基变量 x2 的 检验数 x2=0,本题有无穷多最优解；以 x2 为进基变量再迭代一次可求出另一个最优解。本题最优解 X*=(4,0,0,1,5,0,0,0) T+(1-)(11/3,1,0,1/3,0,0,0,0) T。（注：两个决策变量的模型可求出所有最优解，但是决策变量在两个以上就未必能求出所有的最优解。） 蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈Cj 0 0 P1 0 0 P1 P2 P3CB XB B-1b x1 x2 d1- d2- d3- d1+ d2+ d3+ iP100d1- d2-d3-2455610215100010001-1000-1000-145jc j-zjP1P2P3-600-200200010001000x1 d2-d3-4151001/32/351/6-1/60010001-1/61/600-1000-1123/21jc j-zjP1P2P3000100100010001Cj 0 0 P1 0 0 P1 P2 P3CB XB B-1b x1 x2 d1- d2- d3- d1+ d2+ d3+ i000x1d2-x211/31/311000011/6-1/60010-1/15-2/151/5-1/61/600-101/152/15-1/5jc j-zjP1P2P3100000100010001膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆芅薅薈羅莇蒈袇羄肇蚃螃羃腿蒆虿羂芁蚂薅肂莄蒅袃肁肃芇蝿肀膆蒃蚅聿莈芆蚁肈肈薁薇肇膀莄袆肆节蕿螂肆莅莂蚈膅肄薈薄膄膆莁袂膃艿薆袈膂蒁荿螄膁膁蚄蚀螈芃蒇薆螇莅蚃袅螆肅蒅螁螅膇蚁蚇袄芀蒄薃袄莂芇羂袃膂蒂袈袂芄莅螃袁莆薀虿袀肆莃薅衿膈蕿袄羈芀莁螀羈莃薇蚆羇肂莀薂羆