动量矩定理例题

第 12 章 动量矩定理12-1 质量为 m 的点在平面 Oxy 内运动，其运动方程为： tbyax2sinco式中 a、b 和 为常量。求质点对原点 O 的动量矩。解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 tbtyvax2cosdi质点对点 O 的动量矩为 tatmttamxvMLyx cos2sin)i(0 yxb3co212-3 如图所示，质量为 m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为 A，质心为C，AC = e；轮子半径为 R，对轴心 A 的转动惯量为 JA；C 、 A、 B 三点在同一铅直线上。（1）当轮子只滚不滑时，若 vA 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。 （2）当轮子又滚又滑时，若 vA 、 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。解：（1）当轮子只滚不滑时 B 点为速度瞬心。轮子角速度 质心 C 的速度 )(eRvCvA轮子的动量 （方向水平向右）mep对 B 点动量矩 BJL由于 222 )( )( eRJAC 故 vemeLAB2（2）当轮子又滚又滑时由基点法求得 C 点速度。 evAA轮子动量 （方向向右）)(vpAC对 B 点动量矩 ) ( )( )(2emRJeRmv mJLAA A 12-5 图示水平圆板可绕 z 轴转动。在圆板上有一质点 M 作圆周运动，已知其速度的大小为常量，等于 v0，质点 M 的质量为 m，圆的半径为 r，圆心到 z 轴的距离为 l，M 点在圆板的位置由 角确定，如图所示。如圆板的转动惯量为 J，并且当点 M 离 z 轴最远在点 M0 时，圆板的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，求圆板的角速度与 角的关系。解：以圆板和质点 M 为系统，因为系统所受外力（包括重力和约束反力） ，对 z 轴的矩均为零，故系统对 z 轴动量矩守恒。在任意时刻 M 点的速度包含相对速度 v0 和牵连速度 ve。其中 。设质点 M 在 M0 位置为起始位置，该瞬时系统对 z 轴的动量矩为Ove)(01rlmvLz在任意时刻： )()(e02 vMJzzz由图（a）可看出 )cos2(cos202 lrlmrlJ根据动量矩守恒定律 21zL代入解得 )s( 20lrlm12-7 图示两带轮的半径为 R1 和 R2，其质量各为 m1 和 m2，两轮以胶带相连接，各绕两平行的固定轴转动。如在第一个带轮上作用矩为 M 的主动力偶，在第二个带轮上作用矩为的阻力偶。带轮可视为均质圆盘，胶带与轮间无滑动，胶带质量略去不计。求第一个M带轮的角加速度。解：分别取两皮带轮为研究对象，其受力分析如图所示，其中 。以顺时针转向为正，分21,T别应用两轮对其转动轴的转动微分方程有 )( )(121211MRJ将 121:, , RT代入式（1） 、 （2） ，联立解得 211J式中 ，211RmJ2J211)(M12-9 图示通风机的转动部分以初角速度 绕中心轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，0即 ，其中 k 为常数。如转动部分对其轴的转动惯量为 J，问经过多少时间其转动角速度减少为初角速度的一半？又在此时间内共转过多少转？解：以通风机的转动部分为研究对象，应用动量矩定理得 MJt)(d把 代入后，分离变量kMtkJd上式积分 tkJ0d20o解得 n1kt再对式（1）积分，将等式左边积分上限改为 ，得tJd00解得 tJke即 ttd0故 )e1(e0tJktJk把 代入，得2n1t )2n10由于 所以e kJ最后得转动部分共转过圈数 N42012-11 均质圆轮 A 质量为 m1，半径为 r1，以角速度 绕杆 OA 的 A 端转动，此时将轮放置在质量为 m2 的另一均质圆轮 B 上，其半径为 r2，如图所示。轮 B 原为静止，但可绕其中心自由转动。放置后，轮 A 的重量由轮 B 支持。略去轴承的摩擦和杆 OA 的重量，并设两轮间的摩擦系数为 f。问自轮 A 放在轮 B 上到两轮间没有相对滑动为止，经过多少时间？解：分别取轮 A、 B 为研究对象，其受力和运动分析如图（a）及（b）所示，根据刚体绕定轴转动的微分方程式，对 A、 B 轮分别有 2211drFtJBA分离变量并积分 trFJtBAd0d2211得到 trJ2211由题意知 ，将其代入以上两式，联立求解得121:r21JtrFJ注意到 。代入上式解得gfmFrmr 1N221, )(21fgrt12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为 50 mm，无初速地沿倾角 的轨道滚下，20设只滚不滑，5 秒内轮心滚动的距离为 s = 3 m。试求轮子对轮心的惯性半径。解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（a）所示，根据刚体平面运动微分方程有（1）FmgCsinJC = Fr （2）因轮子只滚不滑，所以有 aC = r （3）将式（3）代入式（1） 、 （2）消去 F 得到 grJC2sin上式对时间两次积分，并注意到 t = 0 时 ，则0 ,)(2si)(sin)(sin222 rgtmrgrJmgtC把 r = 0.025 m 及 t = 5 s 时， 代入上式得 3m 90 .130sin58.90.1isi 2222 t12-15 图示两小球 A 和 B，质量分别为 mA = 2 kg，m B =1 kg，用 AB = l = 0.6m 的杆连接。在初瞬时，杆在水平位置，B 不动，而 A 的速度 ，方向铅直向上，如图所示。/s6.v杆的质量和小球的尺寸忽略不计。求：（1）两小球在重力作用下的运动；（2）在 t = 2 s时，两小球相对于定坐标系 Oxy 的位置；（3）t = 2 s 时杆轴线方向的内力。解：取球 A、 B 和连杆进行研究，系统只受重力作用，定坐标系 Oxy，其坐标原点 O 取在运动开始前系统的质心 C 点上如图（ a） 。由于 mA ：m B = 2 ：1，所以 AC ：BC = 1：2；AC = 0.2 m，BC = 0.4 m。（1）由于系统水平方向不受外力，且开始时系统静止，所以系统质心 C 的坐标 xC = 0。又由于对质心 C 的外力矩之和为零，系统对质心 C 的动量矩守恒，由此得 )()(22AvB代入数据解得 ，t由质心运动定理 MaC = F 在 y 方向投影式 yFMaCy式中 ，m = m A + mB，yCgmBA)(代入上式并对时间两次积分，得到 212ctC由初始条件知 t = 0 时， 0,/s 4.0CAyvy求得 ,4.21cm 214.0gtyC两小球的运动可由两小球与 AB 杆组成系统的平面运动方程表达：tgtyxC214.0（2）t = 2 s 时， rad tyC = - 17.1 m由此可见两球与杆所组成的系统所占有位置与初始位置平行，仅向下移动了 17.1 m 的距离。（3）t = 2 s 时杆轴线方向的内力为拉力，由于 ，故其大小为rad/s N 95.32022T CBAF12-17 图示均质杆 AB 长为 l，放在铅直平面内，杆的一端 A 靠在光滑铅直墙上，另一端B 放在光滑的水平地板上，并与水平面成 角。此后，令杆由静止状态倒下。求（1）杆0在任意位置时的角加速度和角速度；（2）当杆脱离墙时，此杆与水平面所夹的角。解：（1）取均质杆为研究对象，受力分析及建立坐标系 Oxy 如图（a） ，杆 AB 作平面运动，质心在 C 点。刚体平面运动微分方程为 )3( sin2cos22 )1( NNlFlJmgyxABCA由于 ,yxC将其对间 t 求两次导数，且注意到 ，得到,)5( )sinco(24 si2lyC将式（4） 、 （5）代入式（1） 、 （2）中，得 mgmlFBA)sinco(i2N再将 FNA， FNB 的表达式代入式（ 3）中，得 sin)cosi(4s)incos(4 2222 lglmlJC即 gl把 代入上式得12lJCcos23l而 td分离变量并积分得 dcos23d00lg)sin(i30lg（2）当杆脱离墙时 FNA = 0，设此时 1则 )cosi(21NmA将 和 表达式代入上式解得01sin3i)sin3arc(0112-19 均质实心圆柱体 A 和薄铁环 B 的质量均为 m，半径都等于 r，两者用杆 AB 铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为 ，如图所示如杆的质量忽略不计，求杆 AB的加速度和杆的内力。解：分别取圆柱 A 和薄铁环 B 为研究对象，其受力分析如图（a） 、 （b）所示，A 和 B 均作平面运动，杆 AB 作平动，由题意知。T,FA对圆柱 A 有 )2( 1sin11TJrFmga对薄铁环 B 有 )4( 3i22F联立求解式（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） ，并将 ，以及根据只T22,FmrJrBA滚不滑条件得到的 a = r 代入，解得 （压力）及 sin71Tgsin74ga12-21 图示均质圆柱体的质量为 m，半径为 r，放在倾角为 的斜面上。一细绳缠绕在60圆柱体上，其一端固定于点 A，此绳与 A 相连部分与斜面平行。若圆柱体与斜面间的摩擦系数为 ，试求其中心沿斜面落下的加速度 aC。31f解：取均质圆柱为研究对象，其受力如图（a）所示，圆柱作平面运动，则其平面运动微分方程为 )3( 60sin2 co01 )(TNTFmgaFrJC而 F = fFN （4）圆柱沿斜面向下滑动，可看作沿 AD 绳向下滚动，且只滚不滑，所以有 aC= r把上式及 代入式（3） 、 （4）解方程（1）至（4） ，得1faC = 0.355g （方向沿斜面向下）12-23 均质圆柱体 A 和 B 的质量均为 m，半径为 r，一绳缠在绕固定轴 O 转动的圆柱 A 上，绳的另一端绕在圆柱 B 上，如图所示。摩擦不计。求：（1）圆柱体 B 下落时质心的加速度；（2）若在圆柱体 A 上作用一逆时针转向，矩为 M 的力偶，试问在什么条件下圆柱体B 的质心加速度将向上。解：（1）分别取轮 A 和 B 研究，其受力如图（a） 、 （b）所示，轮 A 定轴转动，轮 B 作平面运动。对轮 A 运用刚体绕定轴转动微分方程（1）rFJT对轮 B 运用刚体平面运动微分方程有(2)Bmag（3）T再以 C 为基点分析 B