大学物理答案

1大学物理课后答案微积分在力学解题中的运用微积分是大学物理学习中应用很多的一种数学运算,在力学中较为突出,也是初学大学物理课程时遇到的一个困难要用好微积分这个数学工具,首先应在思想上认识到物体在运动过程中,反映其运动特征的物理量是随时空的变化而变化的一般来说,它们是时空坐标的函数运用微积分可求得质点的运动方程和运动状态这是大学物理和中学物理最显著的区别例如通过对质点速度函数中的时间t 求一阶导数就可得到质点加速度函数另外对物理量数学表达式进行合理变形就可得出新的物理含义如由 ,借助积分求和运算tdav可求得在t 1 -t2 时间内质点速度的变化；同样由 也可求得质点r的运动方程以质点运动学为例,我们可用微积分把运动学问题归纳如下：第一类问题：已知运动方程求速度和加速度；第二类问题：已知质点加速度以及在起始状态时的位矢和速度,可求得质点的运动方程在力学中还有很多这样的关系,读者不妨自己归纳整理一下,从而学会自觉运用微积分来处理物理问题,运用时有以下几个问题需要引起大家的关注：(1) 运用微积分的物理条件在力学学习中我们会发现,和 等描述质点运动规律的公式,只是式ta0v201tar和式 在加速度 为恒矢量条件下积分后的td0 ttd0va结果此外,在高中物理中只讨论了一些质点在恒力作用下的力学规律和相关物理问题,而在大学物理中则主要研究在变力和变力矩作用下的力学问题,微积分将成为求解上述问题的主要数学工具(2) 积分运算中的分离变量和变量代换问题以质点在变力作2用下作直线运动为例,如已知变力表达式和初始状态求质点的速率,求解本问题一条路径是：由F m a 求得a的表达式 ,再由式dv adt 通过积分运算求得v,其中如果力为时间 t 的显函数 ,则a a(t),此时可两边直接积分,即 ；但如果力是速率v 的显函数,则a t0dv0a(v),此时应先作分离变量后再两边积分,即 ；又如力是t0d1vv0位置x 的显函数,则a a(x),此时可利用 得 ,并取代原式中txd的dt ,再分离变量后两边积分,即 , 用变量代换的方法可xa0v0求得v( x)表达式,在以上积分中建议采用定积分,下限为与积分元对应的初始条件,上限则为待求量第一章 质点运动学1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为 ,式326tx中x 的单位为m,t 的单位为 s求：(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t4 s 时质点的速度和加速度分析 位移和路程是两个完全不同的概念只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等质点在t 时间内的位移x 的大小可直接由运动方程得到： ,而在求路0xt程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了为此,需根据 来确定其运动方向改变0dtx的时刻t p ,求出 0t p 和 tpt 内的位移大小 x1 、x 2 ,则t 时间内的路程 ,如图所示,至于t 4.0 s 时质点速度和加速度可用21xs3和 两式计算txd2解 (1) 质点在 4.0 s内位移的大小 m3204x(2) 由 dt得知质点的换向时刻为(t0不合题意)s2pt则 m.8021x44所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为 21s(3) t4.0 s时 1s0.4sm8dtxv2s0.42.36ta1 -9 质点的运动方程为 2301tx5y式中x,y 的单位为 m,t 的单位为试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向解 (1) 速度的分量式为 ttx601dvy45当t 0 时, v ox -10 m -1 , voy 15 m -1 ,则初速度大小为41200 sm.8yxv设v o与x 轴的夹角为 ,则 23tan0xyv12341(2) 加速度的分量式为, 2sm60dtaxv2sm40dtayv则加速度的大小为 22s1.7yx设a 与x 轴的夹角为,则 3tanxy-3341(或32619)ijira )sm0.(2cos)(2sn)(d 22 tTRtTRt1 -13 质点沿直线运动,加速度a4 -t2 ,式中a的单位为m -2 ,t的单位为如果当t 3时,x9 m,v 2 m -1 ,求质点的运动方程分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决由 和 可得tadvtx和 如aa(t)或v v(t),则可两边直接积分如果a tadvx或v 不是时间 t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分解 由分析知,应有 ta0d0v得 (1)0314vt5由 tx0d0v得 (2)0421xtt将t3时,x9 m,v2 m -1代入(1) (2)得v 0-1 m -1,x00.75 m 于是可得质点运动方程为 75.0142tx1 -14 一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度aA -Bv,式中A 、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数 ,因此 ,需将式dv a(v)dt 分离变量为 后再tad)(v两边积分解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点(1) 由题意知 (1)vBAtad用分离变量法把式(1)改写为(2)t将式(2) 两边积分并考虑初始条件,有 tBA0d0vv得石子速度 )1(Bte由此可知当,t 时, 为一常量,通常称为极限速度或收尾速v度(2) 再由 并考虑初始条件有)1(dBteAtyvteAytBd)1(d0得石子运动方程 )(2Btt61 -22 一质点沿半径为R 的圆周按规律 运动,v 0 、b 201bts都是常量(1) 求t 时刻质点的总加速度；(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b？(3) 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈？分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标由给定的运动方程s s( t),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a ,而加速度的法向分量为an v2 /R这样,总加速度为a a e anen至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量ss t -s0因圆周长为2R,质点所转过的圈数自然可求得解 (1) 质点作圆周运动的速率为 btts0dv其加速度的切向分量和法向分量分别为, tsat2Rtan202)(故加速度的大小为 )(4022btattnv其方向与切线之间的夹角为 Rbtatn20)(rcr(2) 要使ab,由 可得tbR402)(1v(3) 从 t0 开始到tv 0 /b 时,质点经过的路程为 bst20v因此质点运行的圈数为 bRsn4220v7第二章 牛顿定律2 -6 图示一斜面,倾角为 ,底边AB 长为l 2.1 m,质量为m 的物体从题2 -6 图斜面顶端由静止开始向下滑动,斜面的摩擦因数为0.14试问 ,当 为何值时,物体在斜面上下滑的时间最短？ 其数值为多少？分析 动力学问题一般分为两类：(1) 已知物体受力求其运动情况；(2) 已知物体的运动情况来分析其所受的力当然,在一个具体题目中,这两类问题并无截然的界限,且都是以加速度作为中介,把动力学方程和运动学规律联系起来本题关键在列出动力学和运动学方程后,解出倾角与时间的函数关系f(t ),然后运用对t 求极值的方法即可得出数值来解 取沿斜面为坐标轴Ox,原点O 位于斜面顶点,则由牛顿第二定律有 magmcossin(1)又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有 22cossin1costgatl则 (2)ltcssi为使下滑的时间最短,可令 ,由式(2)有0dt0sincoscosin8则可得 ,12tano49此时 s.0cssicoglt2 -8 如图(a)所示,已知两物体A、B 的质量均为m 3.0kg 物体A 以加速度a 1.0 m -2 运动,求物体B 与桌面间的摩擦力( 滑轮与连接绳的质量不计)分析 该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立同时也要注意到张力方向是不同的解 分别对物体和滑轮作受力分析图(b)由牛顿定律分别对物体A、B 及滑轮列动力学方程,有mA g -F m A a (1)F1 -F m B a (2)F -2F1 0 (3)考虑到m A m B m, F F , F1 F 1 ,a2a,可联立解得物体与桌面的摩擦力 Nag724f .9讨论 动力学问题的一般解题步骤可分为：(1) 分析题意,确定研究对象,分析受力,选定坐标；(2) 根据物理的定理和定律列出原始方程组；(3) 解方程组 ,得出文字结果；(4) 核对量纲,再代入数据,计算出结果来2 -9 质量为m 的长平板A 以速度v在光滑平面上作直线运动,现将质量为m 的木块 B 轻轻平稳地放在长平板上,板与木块之间的动摩擦因数为 ,求木块在长平板上滑行多远才能与板取得共同速度？分析 当木块B 平稳地轻轻放至运动着的平板A 上时,木块的初速度可视为零,由于它与平板之间速度的差异而存在滑动摩擦力,该力将改变它们的运动状态根据牛顿定律可得到它们各自相对地面的加速度换以平板为参考系来分析,此时,木块以初速度-v(与平板运动速率大小相等、方向相反)作匀减速运动 ,其加速度为相对加速度,按运动学公式即可解得 该题也可应用第三章所讲述的系统的动能定理来解将平板与木块作为系统,该系统的动能由平板原有的动能变为木块和平板一起运动的动能,而它们的共同速度可根据动量定理求得又因为系统内只有摩擦力作功,根据系统的动能定理,摩擦力的功应等于系统动能的10增量木块相对平板移动的距离即可求出解1 以地面为参考系,在摩擦力F mg 的作用下,根据牛顿定律分别对木块、平板列出动力学方程F mg ma 1F -F m a2a1 和a 2 分别是木块和木板相对地面参考系的加速度若以木板为参考系,木块相对平板的加速度a a 1 a2 ,木块相对平板以初速度- v 作匀减速运动直至最终停止由运动学规律有- v2 2as由上述各式可得木块