概率论与数理统计第四版第二章习题答案

概率论与数理统计 第二章习题1 考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年内意外死亡，则公司赔付 20万元，若投保人因其它原因死亡，则公司赔付 5 万元，若投保人在投保期末自下而上，则公司无需传给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为 0.0002，因其它原因死亡的概率为 0.0010，求公司赔付金额的分崣上。解 设赔付金额为 X，则 X 是一个随机变量，取值为 20 万，5 万，0，其相应的概率为 0.0002；0.0010；0.9988，于是得分布律为X 20（万） 5 万 0xp0.0002 0.0010 0.99882.（1）一袋中装有 5 只球，编号为 1,2，3,4，5。在袋中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律（2）将一颗骰子抛掷两次，以 X 表示两次中得到的小的点数，试求 X 的分布律。解 （1）在袋中同时取 3 个球，最大的号码是 3,4，5。每次取 3 个球，其总取法：，若最大号码是 3，则有取法只有取到球的编号为 1,2，3 这一种取法。3540C因而其概率为 23510CP若最大号码为 4，则号码为有 1,2，4；1，3,4； 2，3，4 共 3 种取法，其概率为 35X若最大号码为 5，则 1，2,5；1,3，5；1，4,5；2,3，5；2,4，5；3,4，5 共 6 种取法其概率为 25360CP一般地 ，其中 为最大号码是 的取法种类数，则随机变量3521)(xXp21xxX 的分布律为X 3 4 5xp103610（2）将一颗骰子抛掷两次，以 X 表示两次中得到的小的点数，则样本点为S（1,1） ， （1,2） ， （1,3） ， （6,6） ，共有 36 个基本事件，X 的取值为 1,2，3,4，5,6，最小点数为 1，的共有 11 种，即（1,1， ） ， （1,2） ， （2,1）， （1,6） ， （6,1） ，；36P最小点数为 2 的共有 9 种，即（2,2） ， （2,3） ， （3,2） ， （3,6） ， （6,3） ，；X最小点数为 3 的共有 7 种， ；736PX最小点数为 4 的共有 5 种， ；54最小点数为 5 的共有 3 种， ；3最小点数为 6 的共有 1 种， 16PX于是其分布律为X1 2 3 4 5 6kp973653613 设在 15 只同类型的产品中有 2 只次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以 X 表示取出的次品的次数，（1）求 X 的分布律；（2）画出分布律的图形。解 从 15 只产品中取 3 次每次任取 1 只，取到次品的次数为 0，1，2。在不放回的情形下，从 15 只产品中每次任取一只取 3 次，其总的取法为： ，3154P其概率为 若取到的次品数为 0，即 3 次取到的都是正品，其取法为 3121其概率为 125435pX若取到的次品数为 1，即有 1 次取正品，2 次取到次品，其取法为 123132CP其概率为 132545pX若取到的次品数为 2， ，其概率为 。1103于是其分布律为 X 0 1 2xp2355（2）分布律图形略。4 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为 ，失败的概率为 （p1qp） ，01p（1）将试验进行到出现一次成功为止，以 X 表示所需要的试验次数，求 X 的分布律。 （此时称 X 服从以 为参数的几何分布。 ） 。p（2）将试验进行到出现 次成功为止，以 Y 表示所需要的试验次数，求 Y 的分布r律。 （此时称 Y 服从以 ， 为参数的巴斯卡分布或负二项分布。 ）解 （1）X 的取值为 ，对每次试验而言，其概率或为 1，或为 所以1,2,n q其分布律为1 2 3 4 n kp qp3qp1(2)Y 的取值为 ，对每次试验而言，其概率或为 1，或为 所以其分,rn q布律为Y r12rrkkp Cqpr rCqp5.一房间有 3 扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞往了房间，它只能从开着的窗子飞出去，鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。（1）以 X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求 X 的分布律。（2）户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以 Y 表示这只聪明鸟为了飞出房间试飞的次数，如房主所说的是确实的，试求 Y 的分布律。（3）求试飞次数 X 小于 Y 的概率；求试飞次数 Y 小于 X 的概率。解 （1）X 服从 的几何分布，其分布律为31p1 2 3 k31)2(2)Y 所有可能的取值为 1,2，3.方法一 31Yp21方法二 由于鸟飞向扇窗是随机的，鸟飞出指定窗子的尝试次数也是等可能的，即321YpYp即 Y 的分布律为1 2 3 k1(3) 3,23, YXpYXpYXp39231278 3,2,1,1 4 iiXpYpXYpXYp1)(3)2()3(9242 ii816.一大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻 每个设备被使用的概t率为 0.1，问在同一时刻（1）恰有 2 个设备被使用的概率是多少？（2）至少有 3 个设备被使用的概率是多少？（3）至多有 3 个设备被使用的概率是多少？（4）至少有 1 个设备被使用的概率是多少？解 设对每个设备的观察为一次试验，则试验次数为 5 且各次试验相互独立，于是).0,5(BX（1）恰有 2 个设力被使用，即 ：2X079.)1.(.35Cp（2）至少有 3 个设备被使用，即 ：543 XpXp5525 1.09.109.10 CC86（3）至多有 3 个设备被使用，即 ：4XpXp 545.).(.95.0（4）至少有一个设备被使用，即 11pp505).(.C4091.7 设事件 A 在每次试验中发生的概率为 0.3，A 发生不少于 3 次时指示灯发出信号，（1）进行 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行 7 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。解 设 A 发生的次数为 X，则 ， ，设 B“指示灯发出信号”(,0.3)Bn:5,7（1） 53().kkPBC3245055(0.)7(0.3)7(.3)7CC1981.24168或 254320()(.).()(.).kPBX同理可得 （2）7753()(0.)05kkPC或 27162570()1(.)(.)(.3).3kPBX8.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6，0.7，今各投 3 次，求（1）两人投中的次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率。解 记甲投中的次数为 X，乙投中的次数为 Y，则 ， ，)6.0,(BX)7.0,3(Y0333(.6)4(0.).4pC2813.)(.0223X0646.1pC同理， 27.).(3Y89.01341)(.22Cp)70(3Y若记 A 为事件“两人投中次数相等” ，B 为事件“甲比乙投中的次数多” ，则,)(3030 iYpiXiXpii 32076.64.27.8.19.4.1.415528又 1,010.28.07.6PXYPXY2243143,3.16.5832102906PXYPXY,1.8.4323615所以 )(YXpB0,30,20,1YXp231 20.76.4.58.648.9526 439.有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：从中任取 10 件，经检验无次品，接受这批产品，次品大于 2 拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5 件，仅当 5 件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为 10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率。（2）需作第二次检验的概率。（3）这批产品按第二次检验的标准被接受的概率。（4）这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率。（5）这批产品被接受的概率解 设 X 为“第一次检验出的次品数” ，Y 为“第二次检验出的次品数” ，则，)1.0,(B)1.0,5(BY（1）这批产品第一次检验后接收，即没有发现次品，也就是 X0，而349.0).(9.)(101Cp（2）需作第二次检验，即第一次检验发现次品数为 1 或 2 件： 22121XpXp0192810 10(.)9(.)(.)9iiiiCC 51.0（3）这批产品按第二次检验的标准接收，即在第二次取出的 5 件产品中没有次品：Y5905).(.)1(Cp90.（4） 这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过，即： ,2YX（两事件相互独立）10p 210XpY58.9.34.（5） ),(X.34.09.6210.有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各 4 杯，如果从中挑 4 杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验 10 次，成功 3 次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）解 （1）可看作是古典概型问题，总挑法数为 ，则成功一次的挑法为4870C，于是试验成功一次的概率的为 .4C481p（2）设成功的次数为 X，则 )70,(B4310 163.)( p因为能成功 3 次的概率特别小，所以可以认为他确有区分的能力。11 尽管在几何教科书已经讲过仅用直尺和园规三等分任意角是还可能的，但是每一年总是有一些“发明者”撰写关于仅用园规和直尺将角三等分的文章。设某地区每年撰写此类文章的篇数 X 服从参数为 6 的泊松分布，求明年没有此类文章的概率。解 泊松分布 ,01,2!kePX当 时，明年没有此类文章，即 ，于是明年没有此类文章的概率606.4785.!e12 一电话总机每分钟收到的呼唤次数 X 服从参数为 4 的泊松分布。求（1）某一分钟恰有 8 次的概率。（2）某一分钟呼唤次数大于 3 的概率。解 （1）当 ， 时，某一分钟恰有 8 次的概率4k84650.139.0 .2974!24ePX（2）当 时，某一分钟呼唤次数大于 3 的概率313PXPX0412434!ee43(8)711.290. 0.431.56913.某一公安局在长度为 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X 服从参数为 的泊t 2t松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计） 。（1）求某一天中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率；（2）求某一天中午 2 时至下午 5 时至少收到 1 次紧急的概率。解 因为 ，所以t（1）某一天中午 12 时至下午 3 时，即 ，则 ，对应的泊松分布为t5.23， ，!)5.1(.keXp,10从而某一天中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率231.05.1eXp（2）求某一天中午 2 时至下午 5 时，即 ， ，对应的泊松分布为t5.2， ，!).(.2kep,10从而某一天中午 2 时至下午 5 时至少收到 1 次紧急的概率（查表 时 ） ，98.!).(1.查 表kkeX2.5,0k0.821PX于是 01.917PX方法二 .8015.2epp14 某人家中在时间间隔 （小时）内接到电话的次数服从参数为 的泊松分布。t 2t（1）若他外出计划用时 10 分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少？（2）若他希望外出时没有电话的概率至少为 0.5，问他外出应控制最长的时间是多少？解 （1）若他外出计划用时 10 分钟，则 ，16t23t其间有电话铃响一次的概率130.3.0.718.2!ePXe（2）若他希望外出