“单独二胎”政策的影响研究数学建模

“单独二胎”政策的影响研究数学建模1“单独二胎”政策的影响研究数学建模摘 要：本文根据 2010 年全国第六次人口普查数据建立了 Leslie 模型，在未实施“单独二胎”政策时假设 2010 年以后生育率不变，利用 Leslie 模型对我国人口数量、人口结构、性别比和老龄化等的预测。由于 2014 年实施“单独二胎”政策，所以将 2014 年的人口数据作为实施“单独二胎”政策后测算的初始数据，通过建立韦伯分布模型，对生育模式进行调整，实现对生育率的改变，可以实现对实施“单独二胎”政策后我国的人口总量、人口结构、性别比和老龄化等的预测。假设 2020 年实施“全面二胎”政策，根据 Leslie 模型预测的实施“单独二胎”政策后我国的人口数据，将 2020 年的人口数据作为实施“全面二胎”政策后测算的初始数据，通过建立的韦伯分布模型，改变生育率，可以实现对实施“全面二胎”政策后我国的人口总量、人口结构、性别比和老龄化等的预测。建模结果表明：未实施“单独二胎”政策，我国人口将在 2022 年达到人口最大值 13.898 亿人，实施“单独二胎”政策后我国人口将在 2024 年达到人口最大值 14.17 亿人，之后我国人口呈现急剧减少的趋势，但是根据人口预测，实施“单独二胎”政策后我国人口一直比未实施“单独二胎”政策的人口多，并且我国人口日益呈现老龄化，实施“单独二胎”政策前后，到 2050 年时老年人口比例已分别达到 37.3688%和 34.913%，我国老龄化人口数量急剧增多，老龄化现象不断加重，虽然实施“单独二胎”政策相对未实施“单独二胎”政策能够减少老龄化人口比例，但是也无法避免老龄人口增多的问题，从而使得劳动人口减少；同时，实施“单独二胎”政策会导致男女性别比下降的趋势减缓，实施“单独二胎”政策前后，到 2050 年时性别比分别为 101.0744：100和 101.6886：100。当我国 2020 年开始实施“全面二胎”政策后，预计在 2029年我国人口达到最大值 14.921 亿人，同时，实施“全面二胎”政策后我国儿童阶段人口，即 0-6 岁人口在 2033 年以后逐渐增多，少年阶段人口，即 7-17 岁人口在 2041 年后开始逐渐增多，青年阶段人口，即 18-40 岁人口在 2030 年后开始平稳增多，虽然中年阶段人口，即 41-65 岁人口 2030 年后呈现减少趋势，但是老年阶段人口，即 66 岁以后人口在 2040 年以后呈现逐渐减少的趋势，并且在实施“全面二胎”政策后 60 岁以上老年人口比例相对有所减小，2050 年以内均稳定在 30%以下，人口老龄化问题有所缓和，同时，人口性别比也在102105 之间，属于正常水平。鉴于建模分析，对生育政策进行适当的调整和完善，将更有利于人口和计划生育工作，同时也是从长期人口与发展的战略目标考虑、放宽生育政策的关键一步。关键词：Leslie 模型；韦伯分布；“单独二胎”政策；“全面二胎”政策；人口预测21 问题重述人口问题是关乎国家生存与发展的重大战略问题人口的增长取决于各种环境因素，合理的人口预测是一个非常重要的课题上世纪 90 年代初，我国人口总量虽然保持持续增长，但惯性趋弱如果维持现行计划生育政策不变，总人口在达到峰值后将快速减少随着经济社会的发展和群众生活水平的提高，少生优生、优育优教的生育观念正在形成2013 年十八届三中全会通过的中共中央关于全面深化改革若干重大问题的决定对外发布，其中提到“坚持计划生育的基本国策，启动实施一方是独生子女的夫妇可生育两个孩子的政策” ，这标志着“单独二孩 ”政策将正式实施。单独二胎政策实施对我国人口的数量、结构将产生很大的影响因此，预测放开二胎对我国人口增长的影响是当前我国宏观人口政策研究的一个重要课题请自行收集数据，并指出数据来源，并回答如下问题：1.如果不考虑“单独二胎”政策的影响，请对中国人口数量和结构进行预测，包括人口总量、人口总量变化趋势，性别比，老龄化等。2.分析“单独二胎”政策对中国人口数量和结构的影响，包括人口总量、人口总量变化趋势，性别比，老龄化等。3.比较分析该政策实施前后人口数量变化趋势，找出人口变化的拐点并分析其实际意义。以中国人口年鉴或者陕西省人口年鉴数据进行具体分析。4.如今，国家对“全面二胎”政策也正在拟议中，试分析“全面二胎”政策对人口总量和结构的影响。5.根据所建模型，对中国未来人口政策提出合理化建议。2 问题分析针对问题 1，不考虑“单独二胎”政策的影响，只考虑生育率、死亡率对人口的影响。假定 2010 年后的生育率不变，基于 2010 年全国人口普查数据 1建立 Leslie 矩阵，利用 Leslie 模型进行人口总量、人口结构、性别比和老龄化等的预测。针对问题 2，考虑“单独二胎”政策的影响，2014 年开始实施“单独二胎”政策， “单独二胎”政策实施后我国人口的出生率将会发生较大变化，将会在今后二十多年，保持相对较高但有所衰减的人口增长率，因此，建立韦伯分布模型，通过改变生育模式实现对生育率的改变，从而根据模型一预测的 2014 年人口数据值可以实现对实施“单独二胎”政策后我国的人口总量、人口结构、性别比和老龄化等的预测。针对问题 3，根据模型一以及模型二的建立和求解，通过数据绘图可以清楚直观的对比“单独二胎”政策实施前后人口数量变化趋势，并找出其中的拐点，予以分析说明，同时可以对“单独二胎”政策实施前后的人口结构、性别比以及老龄化问题进行比较分析。针对问题 4，假设 2020 年实施“全面二胎”政策，根据模型一和模型二的建立，利用模型二改变生育模式，能够实现对“全面二胎”政策实施后的人口总量和结构进行预测。针对问题 5，根据建立的模型，分析我国在不同生育政策下的人口状况，3如人口总量、人口结构、性别比和老龄化等，并对我国面临的人口问题以及未来的人口政策提出合理化的建议。3 问题假设(1)预测年限期间没有大规模自然灾害导致的死亡率变化。(2)没有国内外大范围人口流动。(3)国家经济发展水平按当前态势稳步发展。(4)原有一胎及二胎以上生育水平保持原有趋势。(5)政策全面放开满足条件家庭按意愿生育。(6)2014 年起实施 “单独二胎”政策。(7)2020 年起实施 “全面二胎”政策。(8)婚配完全随机。(9)在预测人口模型中，假设不考虑与境外的迁入迁出问题。4 模型一的建立与求解4.1 Leslie 人口模型记时段 第 年龄组的人群数量 ，第 年龄组的ki (),k01,2.,.ixini生育率为 ，第 年龄组的死亡率为 ，生存率为 ， ，我们假设 和ibdisiidib不随时段 变化，在稳定的环境下这个假设是合理的。 的变化规律由以id ()xk下的基本事实得到：时段 第一年龄组人口数量是时段 各年龄组生育数量1k之和，即 21()()ni ixkbxk（1）时段 第 年龄组的人口数量是时段 第 年龄组生存下来的数量，即1ki i()s(),2,.nkxxk （2）计时段 种群按年龄组的分布变量为：12(),(),()Tn（3）由生育率 和生存率 构成的矩阵ibis123430.bsL（4）则（1） 、 （2）可表为(1)(,01,2.xkk4（5）当矩阵 L 和按年龄组的初始分布向量 已知时，可以预测任意时段 人(0)xk群按年龄组的分布为kL(),12,.k（6）4.2 年龄划分标准基于前述假设及所建立的 Leslie 模型，讨论在不同时期内总人口的年龄分布状况。经查询人口相关资料，1994 年以前国际上对年龄段的划分标准是 14 岁以前为少儿，15 岁至 64 岁为青壮年和逐渐进入的劳动年龄段(中国划分为到 60 岁)；65 岁以上为老年人。后来，中国给出了最新的年龄分段标准，并将年龄分为下列五个阶段，其中所属年龄均为周岁 3：第一阶段，童年：0 岁-6 岁(1)婴儿期 0-3 周；(2) 小儿期 4 周-2.5 岁；(3)幼儿期 2.5 岁-6 岁。第二阶段，少年：7 岁-17 岁(1)启蒙期 7 岁 -10 岁；(2)逆反期 11 岁-14 岁；(3)成长期 15 岁-17 岁。第三阶段，青年：18 岁-40 岁(1)青春期 18-28 岁；(2) 成熟期 29-40 岁。第四阶段，中年：41-65 岁(1)壮实期 41-48 岁；(2) 稳健期 49-55 岁；(3)调整期 56-65 岁。第五阶段，老年：66 岁以上(1)初老期 66-72 岁；(2) 中老期 73-84 岁；(3)年老期 85 岁以后。以上人口分类数据可作为 Leslie 模型的生成数据。4.3 模型求解不考虑“单独二胎”政策的影响，只考虑生育率、死亡率对人口的影响。假定 2010 年后的生育率不变，根据 2010 年第六次人口普查数据，结合上述Leslie 模型建模原理与分析，按童年、少年、青年、中年、老年五个阶段对2010-2050 年的人口结构、人口总数、老龄化比例及性别比，依据 Leslie 模型进行预测，预测结果如图 1-图 4 所示。52010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 20501.151.21.251.31.351.4x 109上上上上上/上上上上上图 1 2010-2050 年的人口总量预测2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 20500.511.522.533.544.555.5x 108上上上上/上0-6上7-17上18-40上41-65上66上上图 2 2010-2050 年的人口结构62010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 205010152025303540上上上上/%图 3 60 岁以上老年人口比例2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050101101.5102102.5103103.5104104.5105上上上上上上上上上上图 4 性别比从图 1 可以看出，我国人口总数在 2010-2022 年呈增长趋势，在 2022 年左右将达到最大值，13.898 亿人，2022 年以后，将呈现急剧下降的趋势；从图 2中可以看到我国人口在童年、少年、青年、中年、老年五个阶段分布状况，其中童年阶段，即 0-6 岁的人口较少，在 2010-2020 年间人口变化不明显，2020年之后基本呈现逐渐减少的趋势，少年阶段，即 7-17 岁的人口较童年阶段人口要多，在 2010-2022 年间数量没有明显变化，2022 年之后也呈现逐渐减少的趋势，青年阶段，即 18-40 岁的人口自 2010 年之后呈现急剧减少的趋势，中年阶段，即 41-65 岁的人口开始呈现逐渐增多的趋势，在 2030 年达到最大值，之后急剧减少，老年人口，即 66 岁以上的人口呈现逐渐增多的趋势，在 2040 年人口达到最大值，之后稳定在最大值附近稍有减少，由于总人口在 2022 年以后呈7现急剧下降的趋势，所以老年人口相当于在不断增多，从图 3 中可以明显看出，我国老龄人口比例不断攀升，老龄化现象不断加重，到 2050 年时老年人口比例已达到 37.3688%，社会将面临严重的老龄化问题；从图 4 中可以明显看出，自2010 年之后我国的人口性别比呈现逐渐下降的趋势，在 2050 年男女比例将会是 101.0744：100，男女数量基本持平。5 模型二的建立与求解因为任何随机分布函数的积分值为 1,所以需要对年龄别生育率的统计数据进行标准化处理,用累计(分胎次)年龄别生育率除以累计(分胎次)的总和生育率,使其和为 1,这样得到的标准化的年龄别生育率不会改变其本身的分布特点。反映到图示上就等同于以同一比例缩小或放大年龄别生育率曲线。将妇女年龄别生育率的数学形式 变形为 。式中 就是指标准化的年龄别()Bg()bx()bxgB()bxB生育率,这个统计数据是已知的。用韦伯分布的数学形式表示生育模式为 4：100()ab()expa()bbgx x（7）式中， 为总和生育率, 为特定的生育模式， 为妇女年龄别生育率, B (x 为生育年龄 , ， 为初始生育年龄，取 =14，参数 a 和 b 决定了生15,49x0 0育模式的形状。由于 2014 年开始实行“单独二胎”政策，所以根据模型一预测出的 2014年人口数据，利用模型二对生育率的预测，通过改变模型一中的生育率，可以得到实行“单独二胎”政策之后的人口总数、人口结构、老龄化及性别比的变化。具体如图 5-图 8 所示。2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 20501.241.261.281.31.321.341.361.381.41.42x 109上上上上上/上上上上上图 5 “单独二胎”政策后人口总量预测82010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 20500.511.522.533.544.555.5x 108上上上上/上0-6上7-17上18-40上41-65上66上上图 6 “单独二胎”政策后人口结构2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 20501618202224262830323436上上上上/%图 7 “单独二胎”政策后 60 岁以上老年人口比例92010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050101.5102102.5103103.5104104.5105上上上上上上上上上上图 8 “单独二胎”政策后性别比从图 1 可以看出，我国在 2014 年实施“单独二胎”政策后，人口总数在2014-2024 年呈增长趋势，在 2024