基于小波分析的多频率信号的提取小波变换毕业论文

学校代码： 论文成绩： 学生学号： 2220051953 大连海事大学毕 业 论 文二一零年六月装订线基于小波分析的多频率信号的提取专业班级： 姓 名： 指导教师： 信息科学技术学院内容摘要小波分析是一门正在迅速发展的新兴学科，目前，它在实际中得到了广泛的应用。研究小波的新理论、新方法以及新应用具有重要的理论意义和实用价值。本文旨在介绍小波的基本理论，提出小波信号提取信号算法，进一步拓宽小波的应用范围。主要工作包括：简要介绍了小波的发展以及应用，详细讨论了小波分析的基本理论,介绍了时频分析的基本原理，连续小波变换，离散小波变换和二进小波变换，概括了小波包分析的基本原理，给出了小波变换的快速算法和重构算法，分析了它们对实际应用的影响和作用。简要介绍了 Matlab 的发展及其小波工具包，本文主要工作对信号进行小波分析都在 Matlab 环境下运行。讨论了应用小波变换进行信号滤波的方法以及用小波包来做分析的原因，并通过正交小波包对信号的分解，把频率成分复杂的信号分解到各个频带上，根据需要提取指定频率的信号，然后用小波包重构算法对信号进行重构，可实现对信号的提取。本文中信号是根据要求构造的信号，为了简单起见，构造 3 频率叠加信号，根据叠加方式的不同又分在同一时间上的叠加和不同时间段上的叠加，对这两种情况都做了具体分析，并应用了 Matlab 时频分析工具包，对其进行时频分析，得到频谱。关键词：小波包分解 小波包重构 信号提取AbstractWavelet analysis is a rapidly developing and novel subject.Nowadays，it has been widedly used in practical applications.To study the new theory，methods and applications of wavelet is of great theoretical significance and practical value.Thisdissertation aims to consummate the wavelet theory，present some new waveletde-extraction algorithms and develop the new scopes of wavelet applications.The thesis mainly includes the following aspects：As the development and application of wavelet is briefly introduced ,the fundamental theories of wavelet analysis are discussed in detail.Continuouswavelet transform，discrete wavelet transform and dyadic wavelet transform areincluded.The fast algorithm of discrete dyadic wavelet transform is given.Finally，ananalysis is made on the influence of the wavelet bases on practical applications bystudying their mathematical properties.Briefly introduce the development of Matlab and wavelet toolbox,and the work is based on Matlab.Discuss the method of flitering using wavelet transform, and the reason of using wavelet toolbox. It decomposes the signal with complex frequency into different band by wavelet toolbox, and delete the signal on some band, then reconstruction the signal by toolbox algorithm,this course can achieve the target of signal extraction.The signal is made of three different signals in the article, and its composed at the same time and at different time of the three signals.they are both discussed,and to get the frequency spectrum we uses the new product of Matlab called Time-Frequency analysis toolbox to do theanalysis.Key word: wavelet packet decomposition wavelet packet reconstraction signal extraction目录1 绪论 .11.1 小波发展简史 .11.2 小波分析及其应用 .21.3 本文的主要工作 .32 小波分析理论简介 .42.1 时频分析基础 .42.2 多分辨分析 .52.3 连续小波变换与离散小波变换 .62.4 小波变换的快速算法 .72.5 小波包分析 .103 相关 MATLAB 基础 .133.1 Matlab 简介 .133.2 Matlab 小波函数 .144 多频率信号提取的实现 .154.1 多个信号在不同时间上的叠加 .154.2 不同时间上信号叠加的提取 .164.3 多个信号在同一时间上的叠加 .194.4 同一时间上信号叠加的提取 .20结 论 .24参考文献 .2511 绪论小波分析是近十几年来在国际上掀起研究热潮并有广泛应用价值的一个研究领域，探讨小波的新理论、新方法以及新应用成为当今数学界和工程界的一个发展方向。其涉及面之广、影响之大、发展之迅猛是空前的。小波分析之所以得到快速发展是因为它克服了 Fourier 分析的缺点和局限性，是 Fourier 分析的一个突破性进展，是一种崭新的时频分析方法。 1经典的 Fourier 分析是通过信号的频谱来研究分析信号的特性的，是一种纯频域分析。自 1992 年 Fourier 发表他的热传导解析理论以来，Fourier 分析便成为最完美的数学理论与最广泛和有效地被应用着的(无论是在数学内部还是在科学与工程中)数学方法之一。虽然 Fourier 分析方法方便有效，然而，经典的 Fourier 变换有它固有的缺点，由 Fourier 变换的定义可见，Fourier 变换取决于信号在实轴(- ，+)上的整体性质，因此不能反映出信号在局部时间范围中的特征，即在时空域中没有任何分辨Fourier 变换在任何有限频段上的信息都不足以确定在任意小范围内的信号，无论在理论上还是在实践中这个事实都带来许多困难和不便。在许多实际问题中，人们所关心的恰是信号在局部时间范围中的特征。例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么位置出现什么样的反射波。这正是 Fourier 变换难以奏效的弱点，而小波分析则给信号处理领域带来了崭新的思想。小波分析以不同的尺度(或分辨率)来观察信号，对信号分析的这种多尺度( 或分辨率)的观点是小波分析的核心。小波分析与傅立叶分析的本质区别在于：Fourier 分析只是考虑时域与频域之间的一对一映射，它只是用单个变量的基函数表示信号；小波分析则是用联合的时间尺度函数来分析信号的，从根本上克服了傅立叶分析只能在时间域或频率域分析信号的缺陷。小波分析与时频分析的区别则在于：时频分析是在时频平面上分析信号，小波分析虽然也是在二维平面上分析信号，但不是在时频平面上，而是在所谓的时间尺度平面上。众所周知，信号处理现如今已经成为当代科学技术活动中不可缺少的一部分，而在小波分析的许多领域中，都可以将其归结为信号处理问题。 2小波分析可以对信号进行时域和频域分析，具有时频局部化和变分辨特性，是一种新的多分辨分析方法，特别适合分析和处理非平稳信号，被誉为信息信号的“显微镜”。作为信号处理和分析的工具，傅立叶分析曾在数字信号处理领域占据绝对的位置，但随着小波理论的日趋完善，小波分析显示了其强大的生命力和显著的优越性，并且正在信号处理以及其它许多领域取得越来越广泛和深入的应用。1.1 小波发展简史近几年来，一种被称为小波变换的数学理论和方法正在科学技术界引起了一场轩然大波。在数学家们看来，小波分析是一个新的数学分支，是泛函分析、Fourier 分析、样条分析、调和分析的最完美结晶。小波分析源于信号分析，小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析方法的提出，可以追溯到 1910 年 Haar 提出的小“波”规范正交几基及 1938 年 Littlewood-Paley 对 Fourie 级数建立的 L-P 理论，即按二进制频率成分分组，Fourier 变换的相位变化本质上不影响函数的形状和大小。其后，Calderon 于 1975 年用其早年发现的再生公式给出抛物型空间上 H1 的原子分解，它的离散形式已接近小波展开，只是还无法得到组成一个正交系的结论。1981 年，法国地球物理学家 Morlet 在分析地震波的局部性质时，发现传统的 Fourier 变换难以达到要求，于是引入“小波”概念对信号进行分解。随后，理论物理学家 Grossman 对 Morlet 的这种信号按一个确定函数的伸缩，平移系展开的可行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。真正的小波热开始于 1986年，当时 Meyer 创造性地构造了具有一定衰减性的光滑函数 ，其二进制伸缩与平移2 ：j ,k Z 构成 L2(R)的规范正交基。继 Meyer 提出了小波变-j/2j,k(t)=()jtk换之后，Lemarie 和 Battle 又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987 年，Mallat 巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中的小波函数的构造及信号按小波变换的分解及重构，从而成功地统一了在此之前的 Meyer、Lemarie 和 Battle 提出的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化情形，并将相应的算法现今称之为 Mallat 算法有效应用于图象分解与重构。与此同时，Daubechies 构造了具有有限支集的正交小波基，她的工作已成为小波研究的经典文献之一。这样小波分析的系统理论初步得到了建立。1988 年，Ameodo 及 Grasseau 等人将小波变换运用于混沌动力学及分形理论以研究湍流及分形生长现象。1990 年，崔锦泰和王建中构造了基于样条函数的所谓的单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析的生成函数及相应的小波函数。同时，Beylkin、Coifman 等将小波变换应用于算子理论。 1991 年，Jaffard 及Laurencot 将小波变换应用于偏微分方程数值解，而 Wickerhanser 等将 Mallat 算法进一步深化，得到了小波包算法，它对频带的划分突破了小波分析等划分的限制，拓宽了小波信号分析的适用范围，但是解决的关键问题是最优基选择和信号的自适应最优表示。Goodman 等 1994 年基于 r 元多分辨分析建立了小波的基本理论框架，并给出了样条多小波的例子。1995 年，Sweldens 提出了通过提升方法(lifting scheme)构造新二代小波的新思想。利用这种方法可以构造非欧空间中不允许伸缩和平移，从而 Fourier 变换已不再适用的情形下的小波基，使小波的构造摆脱了对 Fourier 变换的依赖性。1996 年，Donovan、Geronimo、Hardin 和 Massopust 将分形理论中的迭代函数系统用于双尺度差分方程组，再次利用分形差值构造了所谓的 DGHM 小波。 1998 年，为了解决小波处理中高维奇异性等所带来的问题，Gandes 在他的博士论文中首次提出了 “脊波”(ridgelet)的概念。脊波是用一系列脊函数的叠加来表示相当广泛的函数类，同时具有基于离散变换的“近似正交”的脊函数框架。脊波的理论框架是由 Gandes 和 Donoho 完成的，它能够对高维空间中的直线状和超平面状的奇异性进行很好的逼近。 3时至今日，小波理论已相当丰富，并在继续蓬勃发展着。1.2 小波分析及其应用小波分析是近期发展起来的新兴数学分支，小波分析的出现，是不同学科、不同领域的交流与交叉学科发展的结果，它无论是对数学还是对其它应用学科都产生了深远的影响。在数学界，它被认为是现代分析完美的总结，是继 Fourier 分析之后调和分析发展史上的又一里程碑。在应用领域，特别是信号处理、图象处理、语音分析、模式识别、量子物理及众多非线性科学领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。小波分析是基于对 Fourier 分析的继承和发展而来的一种全新的时频分析方法。我们知道，Fourier 基中的函数在频率域是完全局部化的，但在空间域或时间域上无任何局部性，相反地，Haar 系中的函数在时间域上虽局部性很好，但它在 Fourier 变量域上局部性却很差，小波基却兼有它们的优点。而寻求关于时间变量与频率变量都适合的基是 Balian 所提倡的，为了体现 Balian 的这一思想，Gabor 于 1964 年引入了窗口 Fourier 变换，但是窗口 Fourier变换是一种窗口大小及形状固定的时频局部化分析。但因为频率和周期成反比，因此，反映信号高频成分需要窄的时间窗，反映信号低频成分需要宽时间窗。这样，窗口 Fourier 变换就无能为力了。而小波分析就是这样一种窗口大小固定但形状可以改变，因而满足以上要求的时-频局部化分析方法。因为小波函数 是一个对称双窗函数，当 的中心及半径分别为 t*和 时，同时当 的 Fourier 变换 ? 的中心及半径分别为 *(有对称性，我们只考虑正半频率轴，从而 *0)和3，则 的伸缩、平移函数系 a,b 的中心及半径分别为 b +at*和 a (设 a0), a,b 的 Fourier变换 的中心为,ab而半径为 ，亦即其时频窗由 变为*/ *,tt,现固定 b，则当 a 逐步减小时，窗的中心*,att1*,a1逐步向高频方向移动，同时窗的宽度减小，但窗的高度增加；当 a 逐步增大时，窗的中心逐步向低频方向移动，同时窗的宽度增大，但窗的高度减小，尽管窗口面积的大小不变。也就是说，小波分析在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，能够在低频部分得到较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分正好相反，得到的是较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。正是在这种意义下，它有极敏感的“变焦”特性，被誉为“数学显微镜” 。小波分析是对 Fourier 分析的推广乃至根本性革命的结果，是一个优于 Fourier 分析的有效的分析工具，已广泛地应用于众多的科学和工程领域，并取得了卓越的成效。它的应用范围主要包括：(1)小波在数学领域中的应用 4，如如求解微分方程、积分方程、函数逼近、分形、混沌问题、概率小波、非线性分析等等。(2)小波在信号处理中的应用 56，包括对信号进行分析与检测、识别、信号的滤波去噪、地质勘探、机械故障分析、地震检测等等。(3)小波在图象处理中的应用，其中包括图象边缘信息提取与检测、图象数据压缩、图象去噪、图象编码、信息保密等等。(4)小波在通信中的应用 7，如 CDMA、自适应均衡、扩频通信、分形调制等方面的应用。小波分析是不同学科，不同领域的交流与交叉学科发展的结果，是科学家、工程师与数学家们共同创造的，是理论与实践的相互促进与激励的产物。经过许多学科领域十多年的共同探讨研究，重要的数学形式已经建立，理论基础更加坚实，使得应用更加广泛和深入；反过来，这些应用研究也推动了小波理论的不断丰富和完善。1.3 本文的主要工作在现代科学技术领域里，电子信息系统的应用范围极为广泛，主要有通信、导航、雷达、声纳、地震勘探、医学仪器、振动工程和射电天文等等。而电子信息系统的发展进程和信息的利用程度是分不开的，而信息的利用程度又和信号与信息系统的技术的发展紧密联系。信号是信息的载体，信号处理技术的发展为电子信息系统的发展指明了方向，信号处理技术的发展和应用水平在一定意义上是一个国家和社会的科技水平的重要标志之一。而信号处理已成为现代科学中重要的学科分支之一，并且，随着信号处理理论和方法的日趋系统化，信号处理进入了一个新的发展时期，同时成为信息科学中发展最迅速的学科之一。随着其应用领域的不断扩大，也促使人们在理论和方法上向更高层次的探索，人们从刚开始研究高斯噪声、平稳信号等较理想的状况转而去研究非平稳、非高斯信号以及时变、非因果、非线性系统等这些已成为现代信号处理的热点的较复杂的情形。而使研究这些热点问题成为可能的是数学工具和方法的不断发展和完善，特别是近几年来蓬勃发展起来的小波分析，它是分析非平稳信号的无与伦比的强有力的工具，为信号处理领域带来了新生，推动着信号处理进入崭新的历史发展时期，小波分析成为继 Fourier 分析之后的又一具有变革意义的数学方法和工具，是当前信号处理领域中非常盛行的解决问题所采用的分析方法。本文主要侧重于小波分析在信号处理中的应用研究。本文第一章是绪论部分，主介绍了小波的发展历史，小波分析的一些特性以及小波分析在一些领域中的应用情况，并对本文的全部工作做一简单的概述总结。本文第二4章主要是介绍小波分析的一些相关基本理论，主要包括：多分辨分析的内容、连续小波变换和离散小波变换以及小波包分析的知识，还给出了小波变换的快速算法及其两种具体的实现方法。本文第三章简要介绍了 MATLAB 以及其包含的小波函数。本文第四章主要介绍了小波包对多频率信号的提取方法。2 小波分析理论简介2.1 时频分析基础在介绍小波之前，我们先来介绍一下时频分析，为了克服 Gabor 变换和小波变换用于时变信号无法同时获得高的时间分辨率和频率分辨率的缺陷,使基函数能自适应选取, S. Qian、D. Chen 和Mallat 几乎同时提出了以投影能量最大为准则的自适应投影信号分解法。自适应投影分解法将任一给定信号 s(t)表示为一组基元函数的线性组合(2-1)()()nstcgt式中: 为分解系数; 为第 n 个基原子。通常基原子集是一无穷集 ,最大投影匹配原则是每次投ncn影前都在信号集中选择最佳的投影使得投影值最大。经过首次分解后,信号为(2-2)0()sstcgR对残余量 Rs 采用同样的原则,进行分解,这样经过逐次分解,信号就可以表示为 N 个基函数的线性叠加,当残余量足够小时,信号就近似表示信号原子的线性叠加。1998 年 Norden E.Huang 首次提出了经验模态分解方法,主要思想是把一个时间序列的信号,分解成一组稳态和线性的数据序列集,即本征模函数。经验模态分解的方法:首先找出信号 s(t)的所有极大值点和极小值点,将其用三次样条函数分别拟合为原数据序列的上、下包络线,上下包络线的均值为平均包络线 m1;将原数据序列减去 m1,可得到一个去掉低频的新数据序列 h1,即 h1=s(t)-m1。重复上述过程,直到最后一个数据序列不可分解。这样,把原始信号分解成多个序列,对每个序列进行 W inger 分析,组合形成消除了干扰项的原信号的时频分布。参数模型法的分辨率不受采样频率和采样点数的限制,特别适用于短数据序列的谱估计,可获得高的谱分辨率。对非平稳随机信号,在短数据序列段内可认为是平稳随机时,所取短数据序列沿整个信号序列滑动,就形成了信号的自适应谱。T. S. Rao 和 Grenier 将平稳信号的参数建模方法推广到非平稳信号,扩展为时变参数模型情况。首先对信号建立时变的差分方程模型,通过参数估计技术获得模型的系数,然后求每个时刻的参数谱,最终得到信号的联合时频谱。由于时变的 ARMA 模型参数估计非常麻烦,且方法较少。在综合考虑模型参数估计的计算速度、算法的简单性以及效率等因素后,人们常首选非平稳信号的时变 AR